Questions de cours.
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Sur le cours d’algèbre de première année.
Cette feuille rassemble des questions de cours (ou très proches du cours) dans le
désordre, à la plupart desquelles vous devez savoir répondre sans la moindre hésita-
tion. D’autres sont légèrement plus subtiles (ou volontairement imprécises) mais tout
élève devrait savoir les interpréter (ce qui fait partie de l’exercice) et avoir une réponse
argumentée à donner. Certaines sont régulièrement posées aux oraux de concours !
Attention, ces questions couvrent tout le programme d’hypokhâgne.
Donner la définition de l’espace vectoriel engendré par une partie.
Quelle est la différence entre « non tous nuls » et « tous non nuls » ?
Montrer que vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de
A.
Une intersection d’espaces vectoriels est-elle un espace vectoriel ? Et une union
d’espaces vectoriels ?
Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E, à quelle condition a-t-on FG=
E?
Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. Fet Gsont supplémentaires dans E.
2. FG={0} et F+G=E.
Une base est-elle toujours une famille libre ?
Y a-t-il des familles non liées qui ne sont pas des bases ?
Existe-t-il une famille génératrice qui n’est pas une base?
Deux matrices semblables ont-elles le même rang ?
La famille {x,2x} est-elle liée ?
L’ensemble des fonctions telles que f(0) =f(1)2est-il un sous-espace vectoriel ?
L’ensemble des fonctions paires est-il un espace vectoriel ?
Pourquoi ne peut-on pas dire que Rest un Z-espace vectoriel ?
La famille (0,1,1,0,0),(1,1,1,1,0) est-elle une base de R5?
Toutes les bases ont-elles le même nombre d’éléments ?
Toute sur-famille d’une famille génératrice est-elle génératrice ?
Soient xet ydeux vecteurs non nuls et α,βdeux scalaires tels que αx+βy=0.
Est-ce que αet βsont nuls ?
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QArsenal de questions de cours. Q
Y a-t-il des familles libres infinies?
Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un supplémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un complémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il un unique supplémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il un unique complémentaire ?
Quelle est la dimension de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?
Une application linéaire injective est-elle toujours surjective ?
Une application surjective est-elle toujours injective ?
Qu’est-ce qu’un corps ?
Une famille génératrice est-elle toujours libre.
Xet X2forment-ils une famille libre ?
L’ensemble des fonctions dérivables de Rdans Rest-il un espace vectoriel ?
Qu’en-est-il de l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée s’annule en
0 ?
Trouver une matrice non inversible.
L’ensemble des fonctions continues est-il un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions
Montrer que vect(;)={0}.
Toute les applications linéaires ont-elles un polynôme annulateur?
Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?
Quelle est la différence entre une matrice et une application linéaire ?
Soient Aet Bdeux matrices telles que AB =0. Est-ce que A=0 ? Est-ce que B=0 ?
Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R?
Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R3?
Rest-il un groupe ?
Trouver une application linéaire de rang 1, de rang 2, de rang n, de rang .
R+est-il un sous-espace vectoriel de C?
Q3est-il un Q-espace vectoriel ?
L’ensemble des vecteurs (x,y) tels que x>0 et y<0 est-il un sous-espace vecto-
riel de R2?
Si une famille contient une famille liée est-elle liée ?
Une famille libre est-elle toujours génératrice. dérivables ?
L’ensemble des fonctions continues vérifiant limx→+∞ f(x)=1 est-il un espace
vectoriel ?
Combien y a-t-il de bases de Rn?
L’application xx2est-elle linéaire ?
Combien de matrices possède une application linéaire ?
Une matrice de passage est-elle toujours inversible ?
Énoncer une condition sur le noyau d’une application linéaire pour qu’elle soit
injective. La prouver.
Est-il vrai que le noyau et l’image d’un endomorphisme sont toujours en somme
directe ?
Que dire d’une endomorphisme dont l’image est incluse dans le noyau ?
Trouver deux sous-espaces vectoriels dont la somme n’est pas directe.
Énoncer le théorème du rang.
Quel est le rang de l’application nulle?
2
QArsenal de questions de cours. Q
Quel est le rang de l’application identité?
Trouver (et démontrer) deux condition pour que deux sous-espaces vectoriels
soient en somme directe.
Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Rn. Est-ce que dim(F)+dim(G)=n?
Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Rn. Si dim(F)+dim(G)=n, que dire
de Fet de G?
FetGsont deux sous-espaces vectoriels de Rntels que F+G=Rn. A-t-on dim(F)+
dim(G)=n?
Á quelle condition sur son rang une matrice est-elle inversible ?
Rest-il un R-espace vectoriel ?
Rest-il un R-espace vectoriel ?
Cest-il un C-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
Cest-il un R-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
La famille {0} est-elle liée ?
Une famille de 5 vecteurs dans R3est-elle libre ?
Deux nombres réels sont-ils liés sur R? Et sur Q?
Tous les espaces vectoriels sont-ils isomorphes ?
La famille {(1,1),(1,1)} est-elle une base de R2?
Est-il toujours vrai qu’une application injective est bijective ?
Est-il toujours vrai qu’une application injective entre espaces vectoriels est bijec-
tive ?
Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
est bijective ?
Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
de dimension finie est bijective ?
Montrer qu’une application linéaire est uniquement déterminée par l’image des
vecteurs de base de l’espace de départ.
Énoncer la formule du changement de base.
Qu’est-ce qu’une matrice de passage ?
Le rang d’une matrice est 1. Est-elle inversible ?
Le rang d’une matrice est maximal. Est-elle inversible ?
Combien y a-t-il d’espaces vectoriels réels de dimension 3, à isomorphisme près ?
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