questions d`algèbre.

Questions de cours.
bXc
Sur le cours d’algèbre de première année.
Cette feuille rassemble des questions de cours (ou très proches du cours) dans le
désordre, à la plupart desquelles vous devez savoir répondre sans la moindre hésita-
tion. D’autres sont légèrement plus subtiles (ou volontairement imprécises) mais tout
élève devrait savoir les interpréter (ce qui fait partie de l’exercice) et avoir une réponse
argumentée à donner. Certaines sont régulièrement posées aux oraux de concours !
Attention, ces questions couvrent tout le programme d’hypokhâgne.
– Donner la définition de l’espace vectoriel engendré par une partie.
– Quelle est la différence entre « non tous nuls » et « tous non nuls » ?
– Montrer que vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de
A.
– Une intersection d’espaces vectoriels est-elle un espace vectoriel ? Et une union
d’espaces vectoriels ?
– Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E, à quelle condition a-t-on F∪G=
E?
– Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. Fet Gsont supplémentaires dans E.
2. F∩G={0} et F+G=E.
– Une base est-elle toujours une famille libre ?
– Y a-t-il des familles non liées qui ne sont pas des bases ?
– Existe-t-il une famille génératrice qui n’est pas une base?
– Deux matrices semblables ont-elles le même rang ?
– La famille {x,2x} est-elle liée ?
– L’ensemble des fonctions telles que f(0) =f(1)2est-il un sous-espace vectoriel ?
– L’ensemble des fonctions paires est-il un espace vectoriel ?
– Pourquoi ne peut-on pas dire que Rest un Z-espace vectoriel ?
– La famille (0,1,1,0,0),(1,1,1,1,0) est-elle une base de R5?
– Toutes les bases ont-elles le même nombre d’éléments ?
– Toute sur-famille d’une famille génératrice est-elle génératrice ?
– Soient xet ydeux vecteurs non nuls et α,βdeux scalaires tels que αx+βy=0.
Est-ce que αet βsont nuls ?
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QArsenal de questions de cours. Q
– Y a-t-il des familles libres infinies?
– Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un supplémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un complémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il un unique supplémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il un unique complémentaire ?
– Quelle est la dimension de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?
– Une application linéaire injective est-elle toujours surjective ?
– Une application surjective est-elle toujours injective ?
– Qu’est-ce qu’un corps ?
– Une famille génératrice est-elle toujours libre.
–Xet X2forment-ils une famille libre ?
– L’ensemble des fonctions dérivables de Rdans Rest-il un espace vectoriel ?
– Qu’en-est-il de l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée s’annule en
0 ?
– Trouver une matrice non inversible.
– L’ensemble des fonctions continues est-il un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions
– Montrer que vect(;)={0}.
– Toute les applications linéaires ont-elles un polynôme annulateur?
– Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?
– Quelle est la différence entre une matrice et une application linéaire ?
– Soient Aet Bdeux matrices telles que AB =0. Est-ce que A=0 ? Est-ce que B=0 ?
– Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R?
– Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R3?
–R−est-il un groupe ?
– Trouver une application linéaire de rang 1, de rang 2, de rang n, de rang ∞.
–R+est-il un sous-espace vectoriel de C?
–Q3est-il un Q-espace vectoriel ?
– L’ensemble des vecteurs (x,y) tels que x>0 et y<0 est-il un sous-espace vecto-
riel de R2?
– Si une famille contient une famille liée est-elle liée ?
– Une famille libre est-elle toujours génératrice. dérivables ?
– L’ensemble des fonctions continues vérifiant limx→+∞ f(x)=1 est-il un espace
vectoriel ?
– Combien y a-t-il de bases de Rn?
– L’application x→x2est-elle linéaire ?
– Combien de matrices possède une application linéaire ?
– Une matrice de passage est-elle toujours inversible ?
– Énoncer une condition sur le noyau d’une application linéaire pour qu’elle soit
injective. La prouver.
– Est-il vrai que le noyau et l’image d’un endomorphisme sont toujours en somme
directe ?
– Que dire d’une endomorphisme dont l’image est incluse dans le noyau ?
– Trouver deux sous-espaces vectoriels dont la somme n’est pas directe.
– Énoncer le théorème du rang.
– Quel est le rang de l’application nulle?
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QArsenal de questions de cours. Q
– Quel est le rang de l’application identité?
– Trouver (et démontrer) deux condition pour que deux sous-espaces vectoriels
soient en somme directe.
–Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Rn. Est-ce que dim(F)+dim(G)=n?
–Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Rn. Si dim(F)+dim(G)=n, que dire
de Fet de G?
–FetGsont deux sous-espaces vectoriels de Rntels que F+G=Rn. A-t-on dim(F)+
dim(G)=n?
– Á quelle condition sur son rang une matrice est-elle inversible ?
–R∗est-il un R-espace vectoriel ?
–R∗est-il un R∗-espace vectoriel ?
–Cest-il un C-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
–Cest-il un R-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
– La famille {0} est-elle liée ?
– Une famille de 5 vecteurs dans R3est-elle libre ?
– Deux nombres réels sont-ils liés sur R? Et sur Q?
– Tous les espaces vectoriels sont-ils isomorphes ?
– La famille {(1,1),(1,−1)} est-elle une base de R2?
– Est-il toujours vrai qu’une application injective est bijective ?
– Est-il toujours vrai qu’une application injective entre espaces vectoriels est bijec-
tive ?
– Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
est bijective ?
– Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
de dimension finie est bijective ?
– Montrer qu’une application linéaire est uniquement déterminée par l’image des
vecteurs de base de l’espace de départ.
– Énoncer la formule du changement de base.
– Qu’est-ce qu’une matrice de passage ?
– Le rang d’une matrice est 1. Est-elle inversible ?
– Le rang d’une matrice est maximal. Est-elle inversible ?
– Combien y a-t-il d’espaces vectoriels réels de dimension 3, à isomorphisme près ?
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