questions d`algèbre.

Questions de cours.
bXc
Sur le cours d’algèbre de première année.
Cette feuille rassemble des questions de cours (ou très proches du cours) dans le
désordre, à la plupart desquelles vous devez savoir répondre sans la moindre hésitation. D’autres sont légèrement plus subtiles (ou volontairement imprécises) mais tout
élève devrait savoir les interpréter (ce qui fait partie de l’exercice) et avoir une réponse
argumentée à donner. Certaines sont régulièrement posées aux oraux de concours !
Attention, ces questions couvrent tout le programme d’hypokhâgne.
– Donner la définition de l’espace vectoriel engendré par une partie.
– Quelle est la différence entre « non tous nuls » et « tous non nuls » ?
– Montrer que vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de
A.
– Une intersection d’espaces vectoriels est-elle un espace vectoriel ? Et une union
d’espaces vectoriels ?
– Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E , à quelle condition a-t-on F ∪G =
E?
– Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. F et G sont supplémentaires dans E .
2. F ∩G = {0} et F +G = E .
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Une base est-elle toujours une famille libre ?
Y a-t-il des familles non liées qui ne sont pas des bases ?
Existe-t-il une famille génératrice qui n’est pas une base ?
Deux matrices semblables ont-elles le même rang ?
La famille {x, 2x} est-elle liée ?
L’ensemble des fonctions telles que f (0) = f (1)2 est-il un sous-espace vectoriel ?
L’ensemble des fonctions paires est-il un espace vectoriel ?
Pourquoi ne peut-on pas dire que R est un Z-espace vectoriel ?
La famille (0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1, 0) est-elle une base de R5 ?
Toutes les bases ont-elles le même nombre d’éléments ?
Toute sur-famille d’une famille génératrice est-elle génératrice ?
Soient x et y deux vecteurs non nuls et α, β deux scalaires tels que αx + βy = 0.
Est-ce que α et β sont nuls ?
1
Q
Arsenal de questions de cours.
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Q
Y a-t-il des familles libres infinies ?
Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un supplémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un complémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il un unique supplémentaire ?
Un sous-espace vectoriel admet-il un unique complémentaire ?
Quelle est la dimension de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?
Une application linéaire injective est-elle toujours surjective ?
Une application surjective est-elle toujours injective ?
Qu’est-ce qu’un corps ?
Une famille génératrice est-elle toujours libre.
X et X 2 forment-ils une famille libre ?
L’ensemble des fonctions dérivables de R dans R est-il un espace vectoriel ?
Qu’en-est-il de l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée s’annule en
0?
Trouver une matrice non inversible.
L’ensemble des fonctions continues est-il un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions
Montrer que vect(;) = {0}.
Toute les applications linéaires ont-elles un polynôme annulateur ?
Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?
Quelle est la différence entre une matrice et une application linéaire ?
Soient A et B deux matrices telles que AB = 0. Est-ce que A = 0 ? Est-ce que B = 0 ?
Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R ?
Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R3 ?
R− est-il un groupe ?
Trouver une application linéaire de rang 1, de rang 2, de rang n, de rang ∞.
R+ est-il un sous-espace vectoriel de C ?
Q3 est-il un Q-espace vectoriel ?
L’ensemble des vecteurs (x, y) tels que x > 0 et y < 0 est-il un sous-espace vectoriel de R2 ?
Si une famille contient une famille liée est-elle liée ?
Une famille libre est-elle toujours génératrice. dérivables ?
L’ensemble des fonctions continues vérifiant limx→+∞ f (x) = 1 est-il un espace
vectoriel ?
Combien y a-t-il de bases de Rn ?
L’application x → x 2 est-elle linéaire ?
Combien de matrices possède une application linéaire ?
Une matrice de passage est-elle toujours inversible ?
Énoncer une condition sur le noyau d’une application linéaire pour qu’elle soit
injective. La prouver.
Est-il vrai que le noyau et l’image d’un endomorphisme sont toujours en somme
directe ?
Que dire d’une endomorphisme dont l’image est incluse dans le noyau ?
Trouver deux sous-espaces vectoriels dont la somme n’est pas directe.
Énoncer le théorème du rang.
Quel est le rang de l’application nulle ?
2
Q
Arsenal de questions de cours.
Q
– Quel est le rang de l’application identité ?
– Trouver (et démontrer) deux condition pour que deux sous-espaces vectoriels
soient en somme directe.
– F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rn . Est-ce que dim(F ) + dim(G) = n ?
– F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rn . Si dim(F ) + dim(G) = n, que dire
de F et de G ?
– F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rn tels que F +G = Rn . A-t-on dim(F )+
dim(G) = n ?
– Á quelle condition sur son rang une matrice est-elle inversible ?
– R∗ est-il un R-espace vectoriel ?
– R∗ est-il un R∗ -espace vectoriel ?
– C est-il un C-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
– C est-il un R-espace vectoriel ? Quelle est sa dimension ?
– La famille {0} est-elle liée ?
– Une famille de 5 vecteurs dans R3 est-elle libre ?
– Deux nombres réels sont-ils liés sur R ? Et sur Q ?
– Tous les espaces vectoriels sont-ils isomorphes ?
– La famille {(1, 1), (1, −1)} est-elle une base de R2 ?
– Est-il toujours vrai qu’une application injective est bijective ?
– Est-il toujours vrai qu’une application injective entre espaces vectoriels est bijective ?
– Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
est bijective ?
– Est-il toujours vrai qu’une application linéaire injective entre espaces vectoriels
de dimension finie est bijective ?
– Montrer qu’une application linéaire est uniquement déterminée par l’image des
vecteurs de base de l’espace de départ.
– Énoncer la formule du changement de base.
– Qu’est-ce qu’une matrice de passage ?
– Le rang d’une matrice est 1. Est-elle inversible ?
– Le rang d’une matrice est maximal. Est-elle inversible ?
– Combien y a-t-il d’espaces vectoriels réels de dimension 3, à isomorphisme près ?
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