QArsenal de questions de cours. Q
– Y a-t-il des familles libres infinies?
– Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un supplémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il toujours un complémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il un unique supplémentaire ?
– Un sous-espace vectoriel admet-il un unique complémentaire ?
– Quelle est la dimension de la somme directe de deux sous-espaces vectoriels ?
– Une application linéaire injective est-elle toujours surjective ?
– Une application surjective est-elle toujours injective ?
– Qu’est-ce qu’un corps ?
– Une famille génératrice est-elle toujours libre.
–Xet X2forment-ils une famille libre ?
– L’ensemble des fonctions dérivables de Rdans Rest-il un espace vectoriel ?
– Qu’en-est-il de l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée s’annule en
0 ?
– Trouver une matrice non inversible.
– L’ensemble des fonctions continues est-il un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions
– Montrer que vect(;)={0}.
– Toute les applications linéaires ont-elles un polynôme annulateur?
– Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?
– Quelle est la différence entre une matrice et une application linéaire ?
– Soient Aet Bdeux matrices telles que AB =0. Est-ce que A=0 ? Est-ce que B=0 ?
– Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R?
– Combien y a-t-il de sous-espaces vectoriels dans R3?
–R−est-il un groupe ?
– Trouver une application linéaire de rang 1, de rang 2, de rang n, de rang ∞.
–R+est-il un sous-espace vectoriel de C?
–Q3est-il un Q-espace vectoriel ?
– L’ensemble des vecteurs (x,y) tels que x>0 et y<0 est-il un sous-espace vecto-
riel de R2?
– Si une famille contient une famille liée est-elle liée ?
– Une famille libre est-elle toujours génératrice. dérivables ?
– L’ensemble des fonctions continues vérifiant limx→+∞ f(x)=1 est-il un espace
vectoriel ?
– Combien y a-t-il de bases de Rn?
– L’application x→x2est-elle linéaire ?
– Combien de matrices possède une application linéaire ?
– Une matrice de passage est-elle toujours inversible ?
– Énoncer une condition sur le noyau d’une application linéaire pour qu’elle soit
injective. La prouver.
– Est-il vrai que le noyau et l’image d’un endomorphisme sont toujours en somme
directe ?
– Que dire d’une endomorphisme dont l’image est incluse dans le noyau ?
– Trouver deux sous-espaces vectoriels dont la somme n’est pas directe.
– Énoncer le théorème du rang.
– Quel est le rang de l’application nulle?
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