Chapitre 13 Compléments en probabilités

Chapitre 13
1
1.1
Compléments en probabilités
Dénombrement
Tirages successifs avec remise (listes)
Propriété 1 (Définition). Pour une urne composée de n boules n ∈ N∗ numérotées de 1 à n , si on tire successivement
avec remise p boules p ∈ N∗ (p peut être supérieur à n), il y a np résultats possibles.
Chaque résultat est une p-liste de l’ensemble à n éléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n} et se note par exemple : (1; 2; 5; 3; 2; 4; . . . ; 1)
1.2
Factorielle d’un entier, permutations d’un ensemble
Définition 1. n ∈ N∗ le nombre entier "factorielle n", noté n! est définit par :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 =
k=n
Y
k . Par convention on pose 0! = 1
k=1
Propriété 2. Il y a n! façons de permuter n éléments distincts ( n! permutations d’un ensemble à n éléments).
Exemple 1.
1. E = {A; B; C} Donner les permutations de E
2. Donner le nombre d’anagrammes possibles pour les mots suivants (le sens n’importe pas) :
(a) CHIEN
1.3
(b) CAROTTE
(c) TANANARIVE
Tirages successifs sans remises (arrangements)
Propriété 3 (Définition). Pour une urne composée de n boules n ∈ N∗ numérotées de 1 à n , on tire successivement
n!
sans remise p boules (1 6 p 6 n). Il y a donc : n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − (p − 1)) =
résultats
(n − p)!
possibles. Ce nombre se note Apn et est appelé un arrangement de p éléments parmi les n éléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n}.
Remarque 1. Ann = n! un arrangement de n éléments parmi n est une permutation .
1.4
Tirages simultanés (combinaisons)
Propriété 4 (Définition). Pour une urne
composée de n boules n ∈ N∗ numérotées de 1 à n , on tire simultanément
n
n!
p boules (1 6 p 6 n). Il y a donc : p = Cpn = p!(n−p)!
résultats possibles.
Chaque résultat est appelé une combinaison de p éléments parmi les n éléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n}.
Remarque 2. Une combinaison de p éléments parmi les n éléments correspond à une partie à p éléments d’un
n!
parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
ensemble à n éléments, ainsi il y a np = p!(n−p)!
0
= 1 il y a une seule partie à 0 élément (∅) de l’ensemble à 0 élément (∅).
Remarque 3.
0
Exemple 2. E = {A; B; C} Donner les parties de E.
1.5
Propriétés des combinaisons, triangle de Pascal
n
n
Propriété 5.
1. Soient n et p deux entiers naturels avec 0 6 p 6 n alors
=
p
n−p
n+1
n
n
2. Formule de Pascal : si n > 1 et 0 6 p 6 n − 1 on a : p+1 = p + p+1 .
Voici une disposition pratique de la deuxième propriété ci-dessus permettant de calculer les coefficients binômiaux : np que l’on appelle le triangle de Pascal :
HH
p
HH
0 1 2
3
4 5 6
HH
p
n
H
H
HH
...
p
p+1
n
0
1
H
H
..
..
..
1
1 1
... . . .
2
1 2 1
n
n
n
...
3
1 3 3
1
p
p + 1
4
1
4
6
4
1
n+1
n+1
...
...
5
1 5 10 10 5 1
p+1
6
1 6 15 20 15 6 1
1.6
Formule de Newton
Exemple 3. a et b étant deux nombres (complexes), développer (a + b)2 , (a + b)3 , (a + b)4 . Que remarquer ?
Théorème 1 (Formule du binôme de Newton). Pour tous complexes a et b et n un entier naturel , on a :
(a + b)n =
k=n n n 0
n n−1 1
n n−k k
n 0 n X n n−k k
a b +
a
b + ···
a
b + ···
a b =
a
b
0
1
k
n
k
k=0
Exemple 4. Soit E un ensemble à n ∈ N éléments , justifier qu’il y a 2n parties de E.
2
Complément sur la loi bînomiale
Rappel (Loi binômiale). Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p étant donné, soit X la variable aléatoire qui
est égale au nombre de succès. On dit alors que X suit la loi binômiale de paramètres n et p. On note X ֒→ B(n; p)
2.1
Propriétés de la loi binômiale
Théorème 2 (Loi binômiale). Si X suit la loi binômiale de paramètres n et p, alors pour tout k ∈ {0; 1; · · · ; n} :
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
Remarque 4. La probabilité d’avoir n succès est P (X = n) = pn et celle d’avoir n échecs est P (X = 0) = (1 − p)n
Exemple 5.
1. (Métropole, juin 2011, partie B) On choisit successivement 10 personnes de la population au
hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10
personnes, sachant que 2% des personnes sont contaminées par le virus dans la population.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
2. (d’après Métropole 22 juin 2010)
(a) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale
à:
7
6 1
7
7
1
21
•
× ×
•
×
×
•
40
10 9 3
10 10 3
(b) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5
tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale
à:
2 3
3 2
3
7
3
7
33 × 72
5
5
•
×
×
•
×
×
•
2
2
105
10
10
10
10
3. (Amérique du Sud novembre 2009) On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune
des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles étant
exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le
mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A aux troisième
et quatrième questions et C à la cinquième question.
(a)
i. Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?
ii. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
E : « le candidat a exactement une réponse exacte ».
F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».
G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome ».
(b) Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au
hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
32
.
243
ii. Calculer la probabilité, arrondie à 10−2 , qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.
i. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et p =
Propriété 6 (Espérance et variance). Si X suit la loi binômiale de paramètres n et p, alors :
E(X) = np et V (X) = np(1 − p)
3
Lois de probabilités continnues
3.1
Introduction et généralités
Certaines variables aléatoires peuvent prendre des valeurs dans un intervalle de R (on dit quelles sont continues)
dans ce cas la méthode qui consistait à donner la probabilité 1 pour toutes les valeurs de l’univers image (toutes les
valeurs prises par X) afin de trouver la loi de X n’est plus possible.
On s’interessera maintenant au calcul de la probabilité d’évènements de la forme : X ∈ [a; b] que l’on notera :
p(a ≤ X ≤ b) (ou encore p([a; b]))
Définition 2 (Densité de probabilité). Soit I un intervalle .
On appelle densité de probabilité sur I une fonction f continue positive telle que :
Z
f (x)dx = 1.
I
2
peut-elle être une densité de probabilité sur [1; 10] ?
x3
k
2. Déterminer le réel k pour que la fonction f définie par f (x) = soit une densité de probabilité sur [1; e].
x
Définition 3 (Loi de probabilité). On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs dans I suit la loi de probabilité sur
I de densité f lorsque pour tout nombres α et β de I on a :
Z β
f (x)dx
P (α ≤ X ≤ β) =
Exemple 6.
1. La fonction f définie par f (x) =
α
Propriété 7. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de proba sur I de densité f . Alors pour α et β dans I :
1) P (X > α) = 1 − P (X ≤ α)
2) P (X = α) = 0
3) P (α < X < β) = P (α ≤ X ≤ β)
Remarque 5. Pour alléger les notations on notera souvent P (α ≤ X ≤ β) = P ([α; β])
3.2
Deux exemples de lois de probabilité continues
Définition 4 (Loi uniforme ). C’est le cas où l’on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [a ; b] (comme
1
dans l’introduction 3.1), la densité de probabilité est constante sur [a ; b], on a donc : f =
b−a
Théorème 3. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a; b], alors pour tous nombres α et β de
[a; b] :
Z β
1
β−α
longueur de[α; β]
P (X ∈ [α; β]) = P ([α; β]) =
dx =
=
b−a
longueur de[a; b]
α b−a
Exemple 7.
1. Soit X le temps d’attente (en minutes) à un arret de bus , on suppose que X suit la loi uniforme
uniforme sur [0; 15]. Quelle est la probabilité que vous attendiez entre 7 et 12 minutes ?
2. On choisit au hasard un nombre réel dans [−1; 4]suivant la loi uniforme uniforme.
Quelle est la probabilité d’obtenir π ? Un réel x où x ≤ π ? Un réel x tel que x ≥ 0
Définition 5 (Loi exponentielle). On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) sur [0; +∞[ si sa
densité de probabilité vaut sur [0; +∞[ : f (x) = λe−λx . (voir figure 1)
Z β
h
iβ
En particulier :
λe−λx dx = −e−λx = e−λα − e−λβ .
ainsi P ([α; β]) =
α
α
Z t
h
it
λe−λx dx = −e−λx = 1 − e−λt et donc P ([t; +∞[) = P (X ≥ t) = 1 − P ([0; t]) = e−λt
P ([0; t]) =
0
0
8.
1. On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit la loi exponentielle de paramètre 0,1.
Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie .
On sait qu’une voiture a déjà 10 ans . Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12 ans de durée de vie ?
Comparer le résultat précédent avec la probabilité qu’une voiture dépasse 2 ans de durée de vie .
ln 2
2. Montrer que le réel a tel que p(X > a) = p(X 6 a) est égal à
.
λ
Exemple
(a)
(b)
(c)
1. Elle serait nulle car l’univers est infini.
λ
Cf
P ([0, t])
P ([t, +∞[)
t
Figure 1 – Loi exponentielle
3.2.1
Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition 6. On considère X la variable aléatoire donnant la durée de vie d’un individu ou d’un objet.
On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu (l’objet) soit vivant
(fonctionne) à l’instant t + h sachant qu’il est vivant (fonctionne) à l’instant t ne dépend pas de son âge t :
P(X≥t) (X ≥ t + h) = P (X ≥ h)
Remarque 6. La durée de vie d’un atome radioactif suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
Théorème 4 ("ROC"). Une variable aléatoire X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si
elle suit une loi exponentielle (autrement dit : « loi de durée de vie sans vieillissement = loi exponentielle »).
3.3
3.3.1
Annales
d’après Asie juin 2011
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée
par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ strictement positif), c’est-à-dire que
la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t (t positif) s’exprime par :
Z t
λe−λx dx.
F (t) = p(X 6 t) = p([0 ; t]) =
0
1. ROC. Pré-requis :
p(A ∩ B)
(a) pB (A) =
(où A et B sont deux évènements tels que p(B) 6= 0) ;
p(B)
(b) p A = 1 − p(A) (où A est un évènement) ;
(c) p([a ; b]) = F (b) − F (a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a 6 b).
F (t + s) − F (t)
,
Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a : p[t ; +∞] ([t ; t + s]) =
1 − F (t)
et que p[t ; +∞] ([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t.
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0, 2.
2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des 2 1ères années est e−0,4 .
3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours des 2 premières années, quelle est, arrondie au
centième, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
3.3.2
Antilles-Guyane, juin 2006, 4 points
Partie A
Soit X une variable aléatoire continue
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
Z a
λe−λt dt. La courbe donnée en annexe 1 représente la fonction densité associée.
On rappelle que P (X 6 a) =
0
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P (X 6 1).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.
Partie B
On pose λ = 1, 5.
1. Calculer P (X 6 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près par excès.
2. Calculer P (X > 2).
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 6 X 6 2) = 0, 173 à 10−3 près.
Z x
1, 5te−1,5t dt.
4. Calculer l’intégrale F (x) =
0
Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F (x) ; on obtient l’espérance mathématique de la variable X.
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des
cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre
λ = 1, 5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification
qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
(a) Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0, 915 à 10−3 près.
(b) Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres
suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
(a) Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
(b) Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?
2
1
1
3.4
2
3
4
Amérique du sud, novembre 2005, 4 points
Les parties A et B sont indépendantes
Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en
apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant
vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.
Partie A
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat
de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants
défectueux achetés. Alain achète 50 composants.
1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur
approchée de cette probabilité à 10−1 près.
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée
de cette probabilité à 10−2 près.
3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
Partie B
On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de
paramètre λ1 = 5 × 10−4 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi
exponentielle de paramètre λ2 = 10−4 (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).
1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1000 heures :
(a) si ce composant est défectueux ;
(b) si ce composant n’est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités 10−2 près.
2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.
Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement
est :
−4
−4
P (T > t) = 0, 02e−5×10 t + 0, 98e−10 t .
(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).
3. Sachant que le composant acheté est en état de fonctionner 1000 heures après son installation, quelle est la
probabilité que ce composant soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.
4
Adéquation à une loi équirépartie
4.1
Objectif
L’idée est de comparer les résultats observés à partir d’une expérience, d’un échantillon (c’est la partie statistique),
avec les valeurs attendues données par une loi de probabilité et ainsi de voir si les résultats de cette expérience sont
en adéquation avec cette loi de probabilité.
4.2
4.2.1
Exercices bac
Baccalauréat S France septembre 2005, Partie B
On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme équilibré. On numérote donc de 1 à 4 les 4 faces du
dé, et on le lance 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face est cachée ; on obtient :
face i
effectif ni
1
30
2
48
3
46
4
32
4 X
1 2
.
fi −
On note fi la fréquence relative à la face ni et
le réel
4
i=1
On simule ensuite 1 000 fois l’expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l’ensemble (1; 2; 3; 4)
4 X
1 2
Fi −
puis, pour chaque simulation, on calcule d2 =
, où Fi est la fréquence d’apparition du nombre i. Le
4
d2obs
i=1
9e décile de la série statistique des 1 000 valeurs de d2 est égal à 0,0098.
Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10 %, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?
4.2.2
Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2004, extrait
Les 1 000 premières décimales de π sont données par un ordinateur. En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces
décimales, on obtient le tableau suivant :
Valeurs
0
1
2
3
4 5 6 7
8
9
Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106
Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.
k=9
X
(fk − 0, 1)2 où fk représente, pour l’expérience, la fréquence observée
Pour chaque expérience, on a calculé d2 =
k=0
du chiffre k. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et
d9 ), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3 ) et la médiane (Me) :
d1 = 0, 000 422 ; Q1 = 0, 000 582 ; Me = 0, 000 822 ; Q3 = 0, 001 136 ; d9 = 0, 001 45..
En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de π, on obtient :
0, 000 456 0, 004 56 0, 000 314
Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π, fait l’hypothèse que la série est issue
de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse
quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?
Oui Non Il ne peut pas conclure.