Chapitre 13 Compléments en probabilités

Chapitre 13 Compléments en probabilités
1 Dénombrement
1.1 Tirages successifs avec remise (listes)
Propriété 1 (Définition).Pour une urne composée de nboules n∈N∗numérotées de 1 à n, si on tire successivement
avec remise pboules p∈N∗(ppeut être supérieur à n), il y a nprésultats possibles.
Chaque résultat est une p-liste de l’ensemble à néléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n} et se note par exemple : (1; 2; 5; 3; 2; 4; ...; 1)
1.2 Factorielle d’un entier, permutations d’un ensemble
Définition 1. n∈N∗le nombre entier "factorielle n", noté n!est définit par :
n! = n×(n−1) ×(n−2) × · · · × 2×1 =
k=n
Y
k=1
k. Par convention on pose 0! = 1
Propriété 2. Il y a n!façons de permuter néléments distincts ( n!permutations d’un ensemble à néléments).
Exemple 1. 1. E={A;B;C}Donner les permutations de E
2. Donner le nombre d’anagrammes possibles pour les mots suivants (le sens n’importe pas) :
(a) CHIEN (b) CAROTTE (c) TANANARIVE
1.3 Tirages successifs sans remises (arrangements)
Propriété 3 (Définition).Pour une urne composée de nboules n∈N∗numérotées de 1 à n, on tire successivement
sans remise pboules (16p6n). Il y a donc : n×(n−1) ×(n−2) × · · · × (n−(p−1)) = n!
(n−p)! résultats
possibles. Ce nombre se note Ap
net est appelé un arrangement de péléments parmi les néléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n}.
Remarque 1. An
n=n!un arrangement de néléments parmi nest une permutation .
1.4 Tirages simultanés (combinaisons)
Propriété 4 (Définition).Pour une urne composée de nboules n∈N∗numérotées de 1 à n, on tire simultanément
pboules (16p6n). Il y a donc : n
p= Cp
n=n!
p!(n−p)! résultats possibles.
Chaque résultat est appelé une combinaison de péléments parmi les néléments {1 ;2 ;3 ;. . . ;n}.
Remarque 2. Une combinaison de péléments parmi les néléments correspond à une partie à péléments d’un
ensemble à néléments, ainsi il y a n
p=n!
p!(n−p)! parties à péléments d’un ensemble à néléments.
Remarque 3. 0
0= 1 il y a une seule partie à 0élément (∅) de l’ensemble à 0élément (∅).
Exemple 2. E={A;B;C}Donner les parties de E.
1.5 Propriétés des combinaisons, triangle de Pascal
Propriété 5. 1. Soient net pdeux entiers naturels avec 06p6nalors n
p=n
n−p
2. Formule de Pascal : si n>1et 06p6n−1on a : n+1
p+1=n
p+n
p+1.
Voici une disposition pratique de la deuxième propriété ci-dessus permettant de calculer les coefficients binô-
miaux :n
pque l’on appelle le triangle de Pascal :
HHHHH
H
n
p... p p + 1
.
.
.... .
.
..
.
.
n... n
pn p+ 1
n+ 1 ... ... n+ 1
p+ 1
HHHHH
H
n
p0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1

1.6 Formule de Newton
Exemple 3. aet bétant deux nombres (complexes), développer (a+b)2,(a+b)3,(a+b)4. Que remarquer ?
Théorème 1 (Formule du binôme de Newton).Pour tous complexes aet bet nun entier naturel , on a :
(a+b)n=n
0anb0+n
1an−1b1+···n
kan−kbk+···n
na0bn=
k=n
X
k=0 n
kan−kbk
Exemple 4. Soit Eun ensemble à n∈Néléments , justifier qu’il y a 2nparties de E.
2 Complément sur la loi bînomiale
Rappel (Loi binômiale).Un schéma de Bernoulli de paramètres net pétant donné, soit Xla variable aléatoire qui
est égale au nombre de succès. On dit alors que Xsuit la loi binômiale de paramètres net p. On note X ֒→ B(n;p)
2.1 Propriétés de la loi binômiale
Théorème 2 (Loi binômiale).Si Xsuit la loi binômiale de paramètres net p, alors pour tout k∈ {0; 1; ···;n}:
P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
Remarque 4. La probabilité d’avoir nsuccès est P(X=n) = pnet celle d’avoir néchecs est P(X= 0) = (1 −p)n
Exemple 5. 1. (Métropole, juin 2011, partie B) On choisit successivement 10 personnes de la population au
hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10
personnes, sachant que 2% des personnes sont contaminées par le virus dans la population.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
2. (d’après Métropole 22 juin 2010)
(a) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire si-
multanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale
à :
•21
40 •7 10 ×6 9×1 3•7 10 ×7 10 ×1 3
(b) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5
tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale
à :
•33×72
105•5
2×3
102
×7
103
•5
2×3
103
×7
102
3. (Amérique du Sud novembre 2009) On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune
des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A,Bet C), une seule d’entre elles étant
exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le
mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu Baux première et deuxième questions, Aaux troisième
et quatrième questions et Cà la cinquième question.
(a) i. Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?
ii. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
E: « le candidat a exactement une réponse exacte ».
F: « le candidat n’a aucune réponse exacte ».
G: « le mot-réponse du candidat est un palindrome ».
(b) Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au
hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
On désigne par Xle nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.

i. Justifier que la variable aléatoire Xsuit la loi binomiale de paramètres n= 28 et p=32
243.
ii. Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.
Propriété 6 (Espérance et variance).Si Xsuit la loi binômiale de paramètres net p, alors :
E(X) = np et V(X) = np(1 −p)
3 Lois de probabilités continnues
3.1 Introduction et généralités
Certaines variables aléatoires peuvent prendre des valeurs dans un intervalle de R(on dit quelles sont continues)
dans ce cas la méthode qui consistait à donner la probabilité 1pour toutes les valeurs de l’univers image (toutes les
valeurs prises par X) afin de trouver la loi de Xn’est plus possible.
On s’interessera maintenant au calcul de la probabilité d’évènements de la forme : X∈[a;b]que l’on notera :
p(a≤X≤b)(ou encore p([a;b]))
Définition 2 (Densité de probabilité).Soit Iun intervalle .
On appelle densité de probabilité sur Iune fonction fcontinue positive telle que : ZI
f(x)dx = 1.
Exemple 6. 1. La fonction fdéfinie par f(x) = 2
x3peut-elle être une densité de probabilité sur [1; 10] ?
2. Déterminer le réel kpour que la fonction fdéfinie par f(x) = k
xsoit une densité de probabilité sur [1; e].
Définition 3 (Loi de probabilité).On dit qu’une variable aléatoire Xà valeurs dans Isuit la loi de probabilité sur
Ide densité florsque pour tout nombres αet βde Ion a :
P(α≤X≤β) = Zβ
α
f(x)dx
Propriété 7. Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi de proba sur Ide densité f. Alors pour αet βdans I:
1) P(X > α) = 1 −P(X≤α)2) P(X=α) = 0 3) P(α < X < β) = P(α≤X≤β)
Remarque 5. Pour alléger les notations on notera souvent P(α≤X≤β) = P([α;β])
3.2 Deux exemples de lois de probabilité continues
Définition 4 (Loi uniforme ).C’est le cas où l’on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [a;b](comme
dans l’introduction 3.1), la densité de probabilité est constante sur [a;b], on a donc : f=1
b−a
Théorème 3. Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b], alors pour tous nombres αet βde
[a;b]:
P(X∈[α;β]) = P([α;β]) = Zβ
α
1
b−adx =β−α b−a=longueur de[α;β] longueur de[a;b]
Exemple 7. 1. Soit Xle temps d’attente (en minutes) à un arret de bus , on suppose que Xsuit la loi uniforme
uniforme sur [0; 15]. Quelle est la probabilité que vous attendiez entre 7 et 12 minutes ?
2. On choisit au hasard un nombre réel dans [−1; 4]suivant la loi uniforme uniforme.
Quelle est la probabilité d’obtenir π? Un réel xoù x≤π? Un réel xtel que x≥0
Définition 5 (Loi exponentielle).On dit que Xsuit une loi exponentielle de paramètre λ(λ > 0) sur [0; +∞[si sa
densité de probabilité vaut sur [0; +∞[:f(x) = λe−λx. (voir figure 1)
ainsi P([α;β]) = Zβ
α
λe−λxdx =h−e−λxiβ
α=e−λα −e−λβ . En particulier :
P([0; t]) = Zt
0
λe−λxdx =h−e−λxit
0= 1 −e−λt et donc P([t; +∞[) = P(X≥t) = 1 −P([0; t]) = e−λt
Exemple 8. 1. On suppose que la durée de vie Xd’une voiture suit la loi exponentielle de paramètre 0,1.
(a) Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie .
(b) On sait qu’une voiture a déjà 10 ans . Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12 ans de durée de vie ?
(c) Comparer le résultat précédent avec la probabilité qu’une voiture dépasse 2 ans de durée de vie .
2. Montrer que le réel atel que p(X > a) = p(X6a)est égal à ln 2
λ.
1. Elle serait nulle car l’univers est infini.

P([0, t]) P([t, +∞[)
t
λCf
Figure 1 – Loi exponentielle
3.2.1 Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition 6. On considère Xla variable aléatoire donnant la durée de vie d’un individu ou d’un objet.
On dit que Xsuit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu (l’objet) soit vivant
(fonctionne) à l’instant t+hsachant qu’il est vivant (fonctionne) à l’instant tne dépend pas de son âge t:
P(X≥t)(X≥t+h) = P(X≥h)
Remarque 6. La durée de vie d’un atome radioactif suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
Théorème 4 ("ROC").Une variable aléatoire Xsuit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si
elle suit une loi exponentielle (autrement dit : « loi de durée de vie sans vieillissement = loi exponentielle »).
3.3 Annales
3.3.1 d’après Asie juin 2011
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée
par une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle de paramètre λ(λstrictement positif), c’est-à-dire que
la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t(tpositif) s’exprime par :
F(t) = p(X6t) = p([0 ; t]) = Zt
0
λe−λx dx.
1. ROC. Pré-requis :
(a) pB(A) = p(A∩B)
p(B)(où Aet Bsont deux évènements tels que p(B)6= 0) ;
(b) pA= 1 −p(A)(où Aest un évènement) ;
(c) p([a;b]) = F(b)−F(a)(où aet bsont des nombres réels positifs tels que a6b).
Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a : p[t; +∞]([t;t+s]) = F(t+s)−F(t)
1−F(t),
et que p[t; +∞]([t;t+s]) est indépendant du nombre réel t.
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2.
2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des 2 1ères années est e−0,4.
3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours des 2 premières années, quelle est, arrondie au
centième, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
3.3.2 Antilles-Guyane, juin 2006, 4 points
Partie A
Soit Xune variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
On rappelle que P(X6a) = Za
0
λe−λtdt. La courbe donnée en annexe 1 représente la fonction densité associée.
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P(X61).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ.

Partie B
On pose λ= 1,5.
1. Calculer P(X61), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3près par excès.
2. Calculer P(X>2).
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P(1 6X62) = 0,173 à10−3près.
4. Calculer l’intégrale F(x) = Zx
0
1,5te−1,5tdt.
Déterminer la limite quand xtend vers +∞de F(x); on obtient l’espérance mathématique de la variable X.
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des
cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre
λ= 1,5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification
qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
(a) Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à10−3près.
(b) Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres
suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
(a) Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
(b) Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?
1
2
1234
3.4 Amérique du sud, novembre 2005, 4 points
Les parties A et B sont indépendantes
Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en
apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant
vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.
Partie A
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat
de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle Xle nombre de composants
défectueux achetés. Alain achète 50 composants.
1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur
approchée de cette probabilité à 10−1près.
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée
de cette probabilité à 10−2près.
3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
Partie B
On suppose que la durée de vie T1(en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de
paramètre λ1= 5 ×10−4et que la durée de vie T2(en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi
exponentielle de paramètre λ2= 10−4(on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).