Chapitre 12 : Lois de probabilité continues

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
I.
Lois de probabilité à densité
Dans les situations précédentes, on a rencontré des variables aléatoires dites discrètes : elles ne prennent
qu’un nombre fini de valeurs. Par exemple la loi équirépartie lors du lancer d’un dé équilibré ; ou encore la loi
binomiale B(n, p) : la variable aléatoire prend alors ses valeurs dans un ensemble fini : {0, 1, ..., n}.
Définition 1.
Une variable aléatoire est dite continue lorsqu’elle prend toutes les valeurs d’un intervalle I de R.
Exemple
Choisir au hasard un nombre de l’intervalle [0; 1000]. La variable aléatoire X qui correspond au nombre obtenu
a pour valeurs possibles tous les réels de [0; 1000] ; la variable aléatoire X est continue.
1
Activité d’introduction
Activité 1 p 322 : A traiter sur feuille annexe.
2
Définitions
Définition 2.
Une densité de probabilité sur I est une fonction f définie sur un intervalle I de R vérifiant les
conditions suivantes :
• f est continue et positive sur I.
• l’intégrale de f sur I est égale à 1.
Exemple
La fonction f définie sur [0; 1] par f (x) = 3x2 est une densité de probabilité : En effet :
• ......................................................................................................
• ......................................................................................................
• ......................................................................................................
Définition 3.
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans
un intervalle I de R et f une densité de probabilité sur I. La
loi de X admet f comme densité de probabilité lorsque :
Pour tout intervalle [a, b] contenu dans I, la probabilité que
X appartienne à [a ;b] est égale à l’aire sous la courbe de f
sur [a, b]. Autrement dit :
P (X ∈ [a, b]) = P (a 6 X 6 b) =
Z
b
f (t)dt
P (a 6 X 6 b)
Cf
a
b
a
Remarque
p(X ∈ I) = 1, en effet
variable aléatoire X.
R
I
f (t)dt = 1, I est l’univers, il est constitué de toutes les valeurs possibles de la
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3
Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
Propriétés
@
Remarque
R
p(X = a) = 0 pour tout a ∈ I, en effet aa f (t)dt = 0. Ainsi un évènement de probabilité nulle n’est pas
forcément impossible. On peut par conséquent utiliser indifféremment les symbôles < et 6, ou > et >.
Proposition 1.
Pour tout a et b dans I on a :
• P (a < X < b) = P (a 6 X < b) = P (a < X 6 b) = P (a 6 X 6 b)
• P (X > a) = 1 − P (X 6 a) = 1 − P (X < a)
• P (a < X < b) = P (X < b) − P (X < a)
4
Espérance
Définition 4.
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle I. L’espérance mathématique de X est le réel défini par :
E(X) =
Z
tf (t)dt
I
Travail en autonomie
Savoir-faire 1 page 325.
II.
Loi uniforme sur l’intervalle [a, b]
1
Activité d’introduction : simulation de la loi uniforme à l’aide d’un tableur
Simulation : Dans 1000 cellules de la première colonne du tableur, on a entré la fonction = ALEA() qui
génère aléatoirement des nombres compris entre 0 et 1.
Pour compter le nombre de tirages inférieurs à 0,1, on a utilisé dans la cellule C2, la formule
:=NB.SI(A1 :A1000 ;"<0,1").
1
2
3
4
5
6
A
0.258687995
0.824278204
0.506972616
0.97180694
0.82297982
0.525033369
B
C
Nombre de tirages
D
Fréquence
E
Probabilité
inférieurs à 0,1
entre 0,1 et 0,2
entre 0,4 et 0,7
supérieurs à 0,6
1. Quelles formules entrer en C3,C4 et C5 pour obtenir ces effectifs ?
C3 :=NB.SI(A1 :A1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C4 :=NB.SI(A1 :A1000 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5 :=NB.SI(A1 :A1000 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Donner une valeur pour le nombre de tirages dans chacun des cas, après avoir effectué plusieurs simulations
à l’aide de la touche touche F9.
3. En déduire une estimation de la fréquence et de la probabilité dans chacun des cas .
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Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
4. Comparez les probabilités entre elles. Que peut-on en conlure ?
..........................................................................................................
..........................................................................................................
La loi uniforme correspondont au choix au hasard d’un nombre dans un intervalle [a, b]. On vient de constater
que la probabilité que le nombre choisi au hasard soit dans un intervalle est proportionnelle à la longueur de cet
intervalle. Voyons le tableau de proportionnalité suivant :
Intervalle
Longueur
Probabilité
[a, b]
[c, d]
x
............................................................................................................
............................................................................................................
Exercice 1
1. Prouver que la fonction f définie sur [a, b], par f (t) =
1
est une densité de probabilité.
b−a
2. En déduire que la loi uniforme est une loi à densité.
2
Propriétés
Proposition 2.
Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [a, b] si, pour tout intervalle
[c, d] contenu dans [a, b] , on a :
P (X ∈ [c, d]) = P (c 6 X 6 d) =
d−c
b−a
Exercice 2
La concentration d’une substance varie entre 0 mg/L et 1 mg/L . Elle est mesurée par une machine déréglée
qui donne au hasard un nombre compris entre 0 et 1. On note C la variable aléatoire qui donne la concentration
de la substance en mg/L. C suit la loi uniforme sur [0 ;1]. Calculer la probabilité d’obtenir un résultat entre
0,5 et 0,75 . Même question pour un résultat supérieur à 0,7.
Proposition 3 (Espérance).
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a, b], alors, l’espérance est :
E(X) =
a+b
2
✟
☛
R
Démonstration ✠
E(X) = ab tf (t)dt =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✡
............................................................................................................
Travail en autonomie
Savoir-faire 2 page 325, exercice 51 page 337.
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III.
Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
La loi exponentielle
1
Activité d’introduction
Activité 3 page 323 : A traiter sur feuille annexe
2
Définition et propriétés
Proposition-Définition 5.
Soit λ un réel strictement positif et la fonction f définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx .
• f est une densité de probabilité.
• La loi de probabilité qui admet cette fonction pour densité de probabilité est appelée loi exponentielle de paramètre λ.
Remarque
L’ensemble de définition de la fonction f n’est pas borné ; le domaine correspondant à l’aire sous la courbe
(limité par la courbe, l’axe des abscisses,
la droite d’équation x = 0) est infini. La condition : « l’aire sous la
R x −λt
courbe est égale à 1 » s’écrira lim 0 λe dt = 1 (ceci se démontre).
x→+∞
λ
P (X ∈ [0, +∞]) = 1
Proposition 4.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, et a et b des réels positifs.
Alors :
• P (a 6 X 6 b) = e−λa −
e−λb
• P (X > a) = e−λa
• P (X 6 a) = 1 − e−λa
✟
☛
Démonstration ✠
Soit pour tout réel positif x, f (x) = λe−λx . Une primitive de f sur [0, +∞[ est : F (x) = . . . . . .
✡
P (a 6 X 6 b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (X 6 a) = P (0 6 X 6 a) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (X > a) = 1 − P (X 6 a) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proposition 5 (Loi sans vieillisement).
Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous réels positifs
t et h on a :
PT >t (T > t + h) = P (T > h)
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Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
✟
☛
Démonstration ✠
: A traiter sur feuille annexe
✡
Remarque
Cette propriété traduit le fait que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement (ou
sans mémoire) : Quel que soit l’âge t d’un objet, la probabilité qu’il vive encore une durée h supplémentaire
ne dépend que de h et non de l’âge t.
Exercice 3
La durée de vie X, en heures, d’un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de paramètre
λ = 0, 0006.
1. Calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout
de 500 heures.
2. En déduire la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard et en état de marche au bout de 1000
heures, soit encore en état de marche au bout de 1500 heures .
Proposition 6 (Espérance).
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, (λ > 0), l’espérance est :
E(X) =
1
λ
.
Exercice 4 Démonstration de la proposition
1. Soit pour tout réel positif t, f (t) = λe−λt et h(t) = tf (t). Déterminer les réels a et b tels que
H(t) = (at + b)e−λt soit une primitive de h sur [0, +∞[.
2. Déterminer
Rx
0
tλe−λt dt pour tout réel x positif.
3. En déduire E(X).
Exercice 5 D’après Métropole Juin 2015
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif
donné.
1. (a) Soit c et d deux réels tels que 0 6 c < d.
Démontrer que la probabilité P (c 6 X 6 d) vérifie
P (c 6 X 6 d) = e−λc − e−λd
(b) Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P (X > 20) soit égale à
0,05.
(c) Donner l’espérance de la variable aléatoire X.
2. (a) Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0, 15. Calculer P (10 6 X 6 20).
(b) Calculer la probabilité de l’évènement (X > 18).
Travail en autonomie
Savoir-faire 3, 4 et 5 page 327
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