Chapitre 12 : Lois de probabilité continues

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues
I. Lois de probabilité à densité
Dans les situations précédentes, on a rencontré des variables aléatoires dites discrètes :elles ne prennent
qu’un nombre fini de valeurs. Par exemple la loi équirépartie lors du lancer d’un dé équilibré ; ou encore la loi
binomiale B(n, p) : la variable aléatoire prend alors ses valeurs dans un ensemble fini : {0,1, ..., n}.
Une variable aléatoire est dite continue lorsqu’elle prend toutes les valeurs d’un intervalle Ide R.
Définition 1.
Exemple
Choisir au hasard un nombre de l’intervalle [0; 1000]. La variable aléatoire Xqui correspond au nombre obtenu
a pour valeurs possibles tous les réels de [0; 1000] ; la variable aléatoire Xest continue.
1Activité d’introduction
Activité 1 p 322 : A traiter sur feuille annexe.
2Définitions
Une densité de probabilité sur Iest une fonction fdéfinie sur un intervalle Ide Rvérifiant les
conditions suivantes :
•fest continue et positive sur I.
•l’intégrale de fsur Iest égale à 1.
Définition 2.
Exemple
La fonction fdéfinie sur [0; 1] par f(x) = 3x2est une densité de probabilité : En effet :
•......................................................................................................
•......................................................................................................
•......................................................................................................
Soit Xune variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans
un intervalle Ide Ret fune densité de probabilité sur I. La
loi de Xadmet fcomme densité de probabilité lorsque :
Pour tout intervalle [a, b] contenu dans I, la probabilité que
Xappartienne à [a ;b] est égale à l’aire sous la courbe de f
sur [a, b]. Autrement dit :
P(X∈[a, b]) = P(a6X6b) = Zb
a
f(t)dt
Définition 3.
Cf
P(a6X6b)
a b
Remarque
p(X∈I) = 1, en effet RIf(t)dt= 1, Iest l’univers, il est constitué de toutes les valeurs possibles de la
variable aléatoire X.
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3Propriétés
@
Remarque
p(X=a) = 0 pour tout a∈I, en effet Ra
af(t)dt= 0. Ainsi un évènement de probabilité nulle n’est pas
forcément impossible. On peut par conséquent utiliser indifféremment les symbôles <et 6, ou >et >.
Pour tout aet bdans Ion a :
•P(a < X < b) = P(a6X < b) = P(a < X 6b) = P(a6X6b)
•P(X > a) = 1 −P(X6a) = 1 −P(X < a)
•P(a < X < b) = P(X < b)−P(X < a)
Proposition 1.
4Espérance
Soit Xune variable aléatoire continue de fonction de densité fsur l’intervalle I.L’espérance ma-
thématique de X est le réel défini par :
E(X) = ZI
tf (t)dt
Définition 4.
Travail en autonomie
Savoir-faire 1 page 325.
II. Loi uniforme sur l’intervalle [a, b]
1Activité d’introduction : simulation de la loi uniforme à l’aide d’un tableur
Simulation : Dans 1000 cellules de la première colonne du tableur, on a entré la fonction = ALEA() qui
génère aléatoirement des nombres compris entre 0 et 1.
Pour compter le nombre de tirages inférieurs à 0,1, on a utilisé dans la cellule C2, la formule
:=NB.SI(A1 :A1000 ;"<0,1").
A B C D E
1 0.258687995 Nombre de tirages Fréquence Probabilité
2 0.824278204 inférieurs à 0,1
3 0.506972616 entre 0,1 et 0,2
4 0.97180694 entre 0,4 et 0,7
5 0.82297982 supérieurs à 0,6
6 0.525033369
1. Quelles formules entrer en C3,C4 et C5 pour obtenir ces effectifs ?
C3 :=NB.SI(A1 :A1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C4 :=NB.SI(A1 :A1000 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C5 :=NB.SI(A1 :A1000 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Donner une valeur pour le nombre de tirages dans chacun des cas, après avoir effectué plusieurs simulations
à l’aide de la touche touche F9.
3. En déduire une estimation de la fréquence et de la probabilité dans chacun des cas .
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4. Comparez les probabilités entre elles. Que peut-on en conlure ?
..........................................................................................................
..........................................................................................................
La loi uniforme correspondont au choix au hasard d’un nombre dans un intervalle [a, b]. On vient de constater
que la probabilité que le nombre choisi au hasard soit dans un intervalle est proportionnelle à la longueur de cet
intervalle. Voyons le tableau de proportionnalité suivant :
Intervalle [a, b] [c, d]
Longueur
Probabilité x
............................................................................................................
............................................................................................................
Exercice 1
1. Prouver que la fonction fdéfinie sur [a, b], par f(t) = 1
b−aest une densité de probabilité.
2. En déduire que la loi uniforme est une loi à densité.
2Propriétés
Une variable aléatoire Xsuit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [a, b] si, pour tout intervalle
[c, d] contenu dans [a, b] , on a :
P(X∈[c, d]) = P(c6X6d) = d−c
b−a
Proposition 2.
Exercice 2
La concentration d’une substance varie entre 0 mg/L et 1 mg/L . Elle est mesurée par une machine déréglée
qui donne au hasard un nombre compris entre 0 et 1. On note Cla variable aléatoire qui donne la concentration
de la substance en mg/L. Csuit la loi uniforme sur [0 ;1]. Calculer la probabilité d’obtenir un résultat entre
0,5 et 0,75 . Même question pour un résultat supérieur à 0,7.
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a, b], alors, l’espérance est :
E(X) = a+b
2
Proposition 3 (Espérance).
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Démonstration E(X) = Rb
atf (t)dt=.......................................................................
............................................................................................................
Travail en autonomie
Savoir-faire 2 page 325, exercice 51 page 337.
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III. La loi exponentielle
1Activité d’introduction
Activité 3 page 323 : A traiter sur feuille annexe
2Définition et propriétés
Soit λun réel strictement positif et la fonction fdéfinie sur [0; +∞[ par f(x) = λe−λx.
•fest une densité de probabilité.
•La loi de probabilité qui admet cette fonction pour densité de probabilité est appelée loi expo-
nentielle de paramètre λ.
Proposition-Définition 5.
Remarque
L’ensemble de définition de la fonction fn’est pas borné ; le domaine correspondant à l’aire sous la courbe
(limité par la courbe, l’axe des abscisses, la droite d’équation x= 0) est infini. La condition : « l’aire sous la
courbe est égale à 1 » s’écrira lim
x→+∞Rx
0λe−λtdt= 1 (ceci se démontre).
P(X∈[0,+∞]) = 1
λ
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, et aet bdes réels positifs.
Alors :
•P(a6X6b) = e−λa −
e−λb
•P(X>a) = e−λa •P(X6a) = 1 −e−λa
Proposition 4.
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Démonstration Soit pour tout réel positif x,f(x) = λe−λx. Une primitive de fsur [0,+∞[ est : F(x)= ......
P(a6X6b)=............................................................................................
P(X6a) = P(0 6X6a)=...............................................................................
P(X>a) = 1 −P(X6a)= ..............................................................................
Soit Tune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous réels positifs
tet hon a :
PT>t(T>t+h) = P(T>h)
Proposition 5 (Loi sans vieillisement).
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Démonstration : A traiter sur feuille annexe
Remarque
Cette propriété traduit le fait que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement (ou
sans mémoire) : Quel que soit l’âge td’un objet, la probabilité qu’il vive encore une durée hsupplémentaire
ne dépend que de het non de l’âge t.
Exercice 3
La durée de vie X, en heures, d’un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de paramètre
λ= 0,0006.
1. Calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout
de 500 heures.
2. En déduire la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard et en état de marche au bout de 1000
heures, soit encore en état de marche au bout de 1500 heures .
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, (λ > 0), l’espérance est :
E(X) = 1
λ
.
Proposition 6 (Espérance).
Exercice 4 Démonstration de la proposition
1. Soit pour tout réel positif t,f(t) = λe−λt et h(t) = tf (t). Déterminer les réels aet btels que
H(t) = (at +b)e−λt soit une primitive de hsur [0,+∞[.
2. Déterminer Rx
0tλe−λtdtpour tout réel xpositif.
3. En déduire E(X).
Exercice 5 D’après Métropole Juin 2015
Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λest un réel strictement positif
donné.
1. (a) Soit cet ddeux réels tels que 0 6c < d.
Démontrer que la probabilité P(c6X6d) vérifie
P(c6X6d) = e−λc −e−λd
(b) Déterminer une valeur de λà 10−3près de telle sorte que la probabilité P(X > 20) soit égale à
0,05.
(c) Donner l’espérance de la variable aléatoire X.
2. (a) Dans la suite de l’exercice on prend λ= 0,15. Calculer P(10 6X620).
(b) Calculer la probabilité de l’évènement (X > 18).
Travail en autonomie
Savoir-faire 3, 4 et 5 page 327
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