Chapitre 11

Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 11 – Probabilité
Conditionnement et indépendance
I. Probabilité conditionnelle
1- Exemple
Dans un lycée contenant N élèves, 45% des élèves sont des filles,
55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70%
externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes.
On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du
lycée, on note le résultat obtenu qui peut être "fille interne", "fille
externe", "garçon interne" ou "garçon externe".
On peut représenter cette situation par le graphique ci-contre,
appelé arbre pondéré.
Remarquez que la somme des probabilités inscrites sur les
branches issues d’un même nœud est égale à 1. Ceci est vrai
quelque soit l’arbre pondéré.
Cette loi est connue sous le nom de loi des nœuds.
Le chemin -0.45↔F−0.7↔E r epré se nt e l ’év én e me nt "l a fic h e ti ré e e st c el le d ’une fille e xter ne ".
On l e no te l’é vé ne me nt F∩E
Calculons la probabilité de cet événement :
Si N est la population totale des élèves, le nombre de filles est 0.45×N et puisque parmi elles, 70% sont externes, le nombre de filles
externes est 0.70×0.45×N.
Ainsi, parmi les N élèves, 0.70×0.45×N sont des filles externes donc en supposant l’équiprobabilité (du fait que le tirage se fait au
hasard), P(F∩E)=
nb de filles externes
nb total d′élèves
=
0.70×0.45×N
N
=0.45×0.70
Notons que cette probabilité est le produit des no mbres inscrits sur chaque branche du chemin.
Interprétons les nombres sur chaque branche :
Le nombre inscrit sur la branche -0.45↔F est la probabilité que la fiche soit celle d’une fille, donc P(F)=0.45
Le nombre inscrit sur la branche F−0.7↔E est la probabilité d’obtenir la fiche d’un élève externe sachant que c’est une fille..
Cette probabilité se note P
F
(E) et se lit "probabilité de E sachant F".
On a donc P(F∩E)=P(F)×P
F
(E) et donc P
F
(E)=
P(F∩E)
P(F)
2- Probabilité de B sachant A
Définition : Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle.
La probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est le nombre noté P
A
(B) et défini par
P
A
(B)=
P(A∩B)
P(A)
Conséquences sur la probabilité d’une intersection :
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles :
P(A∩B)=P
A
(B)P(A)=P
B
(A)P(B)
Illustration sur des arbres pondérés :
Le chemin en trait plein représente
l’événement A∩B. La probabilité de ce
chemin cad de cet événement est le
produit de ses branches :
P(A∩B)=P
A
(B)P(A)
Le chemin en trait plein représente aussi
l’événement A∩B. La probabilité de
ce chemin cad de cet événement est
le produit de ses branches :
P(A∩B)=P
B
(A)P(B)

Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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Remarques : Soit A et B deux événements. A de probabilité non nulle. Alors
• P
A
( )
Ò
B=1−P
A
(B) et P
Ò
A
( )
Ò
B=1−P
Ò
A
(B).
• P
A
(A)=1
• Si A et B sont incompatibles alors P
A
(B)=0
3- Formule de probabilités totales
(a) Cas particulier
Soit A un événement de probabilité non nulle.
Alors, pour tout événement B, B étant l’union des événements incompatibles A∩B et Ò A∩B
on a :
P(B)=P(A∩B)+P
( )
Ò
A∩B
=P
A
(B)P(A)+P
Ò
A
(B)P
( )
Ò
A
(b) Généralisation
Définition : Dire que les événements A
1
, A
2
, …, A
n
forment un système complet de Ω ou une partition de Ω signifie que les
événements A
i
sont non vides, incompatibles deux à deux (┐i, ┐j, A
i
∩A
j
=Ø) et que leur réunion est Ω
( )
A
1
∟A
2
∟…∟A
n
=Ω.
Théorème : Formule des probabilités totales
Soit A
1
, A
2
, …, A
n
une partition de Ω.
Alors pour tout événement B, B étant la réunion des événements incompatibles B∩A
1
, B∩A
2
, …, B∩A
n
,
P(B)=P
( )
B∩A
1
+P
( )
B∩A
2
+…P
( )
B∩A
n
=P
A
1
(B)P
( )
A
1
+P
A
2
(B)P
( )
A
2
+…+P
A
n
(B)P
( )
A
n
II. Indépendance
1. Indépendance de deux événements.
Définition : On dit que deux événement A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)×P(B).
Cela revient à dire, si P(A)ý0, que P
A
(B)=P(B) et si P(B)ý0 que P
B
(A)=P(A))
Remarque : La seconde formulation rend plus naturelle la définition : il parait normal de considérer comme "indépendants", au sens
intuitif du terme, deux événements A et B dès lors que la réalisation de B ne dépend pas de celle de A (et inversement).
Propriété : Si deux événements A et B sont indépendants alors Ò A et B le sont aussi, ainsi que A et Ò B et que Ò A et Ò B.
2. Indépendance de deux variables aléatoires
Définition : Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω.
Deux variables aléatoires sur Ω, X et Y sont dites indépendantes lorsque pour toute valeur x prise par X et pour toute valeur y prise
par Y : P(X=x et Y=y)=P(X=x)×P(Y=y)
III. Modélisation d’expériences indépendantes
1- Expériences indépendantes.
Il est fréquent qu’une expérience aléatoire E consiste à enchainer plusieurs expériences E
1
, E
2
, …, E
n
. Si chacune d’elles se déroule
dans des conditions qui ne dépendent pas des résultats des autres épreuves, on dit en langage courant que ces épreuves E
k
sont
indépendantes.
Dans ce cas, un résultat de E est la donnée d’une n−liste ordonnée donnant les résultats obtenus aux épreuves E
1
, E
2
, …, E
n
.
En accord avec les règles de fonctionnement des arbres pondérés, on modélise l’expérience aléatoire E en définissant la probabilité
d’une liste de résultats comme le produit des probabilités de chacun de ces résultats.
P
(
A
∩
B
)
P
(
)
Ò
A∩B

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Un exemple :
On considère l’expérience aléatoire E qui consiste à enchainer les
trois expériences suivantes :
E
1
: On lance une pièce de monnaie équilibrée; les issues de
l’expérience sont notés P et F.
E
2
: On tire au hasard un jeton dans une urne qui contient 5
jetons dont 3 numérotés "1" et 2 numérotés "4"; les issues de
l’expérience seront notés J
1
et J
4
E
3
: On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 2
boules rouges et 1 boule verte; les issues de l’expérience seront
notés R et V.
Lorsque l’on effectue successivement les trois expériences E
1
, E
2
,
E
3
, l’issue de l’une quelconque des trois expériences ne dépend
pas de l’issue des autres expériences; ces expériences sont donc
indépendantes.
L’arbre ci-contre indique toutes les listes de résultats possibles
pour E :
(on "pondère" les branches de l’arbre en adoptant pour chaque expérience E
1
, E
2
, E
3
, le modèle de la loi équirépartie et en
appliquant l’indépendance des expériences (ainsi par exemple P
F
( )
J
1
=P
( )
J
1
=
3
5
).
La probabilité d’obtenir la liste
( )
P,J
1
,V est le produit des probabilités des événements P, J
1
et V cad
1
2
×
3
5
×
1
3
.
2- Cas particuliers où les expériences répétées sont identiques et indépendantes.
Il s’agit du cas particulier où les expériences E
1
, E
2
, …, E
n
sont les répétitions d’une
même épreuve.
Un exemple : tirages successifs avec remise.
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires.
On tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne
puis on tire à nouveau une boule de l’urne. Le fait que la première boule tirée soit
remise entre les deux tirages rend ces tirages identiques et indépendants. L’arbre ci-
contre indique les listes de résultats possibles :
On considère l’événement S :"obtenir une boule rouge exactement".
S est réalisé par les listes (evts élémentaires) (R,V), (R,N), (V,R) et (N,R) donc la
probabilité d’un événement étant la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constituent, P(S)=P((R,V))+P((R,N))+P(( V,R))+P(( N,R)).
Or la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun des
résultats donc P((R,V))=
4
9
×
3
9
; P((R,N))=
4
9
×
2
9
; P((V,R))=
3
9
×
4
9
;
P((N,R))=
2
9
×
4
9
. D’où P(S)=
4
9
×
2
9
+
3
9
×
4
9
+
2
9
×
4
9
=
40
81
.
On effectue maintenant n tirages successifs avec remise (nÃ2). Ces tirages sont
donc identiques et indépendants.
Calculons la probabilité p
n
pour qu’au moins une des boules soit rouges :
Notons A
n
l’événement :"au moins une des boules est rouge". L’événement contraire est A
n
: "aucune des boules n’est rouge"
cad que A
n
n’est composé que de l’événement élémentaire
( )
Ò
R,Ò R,…, Ò R.
Les tirages étant identiques et indépendants, P
( )
A
n
=
5
9
n
d’où p
n
=P
( )
A
n
=1−P
( )
A
n
=1−
5
9
n
.
Déterminons le plus petit entier n tel que p
n
Ã0.99 :
p
n
Ã0.99ñ1−
5
9
n
Ã0.99ñ–
5
9
n
Ã-0.01ñ
5
9
n
Â0.01ñln
5
9
n
Âln0.01 (car la fct ln est strictement croissante sur IR
+*
)
ñ nln
5
9
Âln0.01 ñ nÃ
ln0.01
ln
5
9
(car ln
5
9
<0). Or
ln0.01
ln
5
9
ó7.8 donc le plus petit entier n tel que p
n
Ã0.99 est 8.
(cad que le nombre minimum de tirages à faire pour que la proba de tirer au moins une boule rouge soit supérieure à 99% est de 8).

Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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IV. Exercices
Exercice 1
A l’aide de l’arbre ci-contre, préciser : P
( )
Ò
A, P
A
( )
Ò
B et P
Ò
A
( )
Ò
B. En déduire P(A∩B), P
( )
A∩Ò B,
P
( )
Ò
A∩B et P
( )
Ò
A∩Ò B.
Exercice 2
On donne P(A)=
1
2
, P(B)=
1
4
et P(A∩B)=
1
10
. Calculer P
A
(B) et P
B
(A).
Exercice 3
On donne P(A)=
1
2
, P(B)=
1
3
et P(A∟B)=
2
3
. Calculer P(A∩B), P
A
(B) et P
B
(A).
Exercice 4
On donne P(A)=
1
3
, P
A
(B)=
1
4
et P
Ò
A
(B)=
1
2
. Calculer P(B)
Exercice 5
On donne P(A)=
1
2
, P(B)=
3
4
et P(A∩B)=
2
5
. Calculer P
A
(B), P
B
(A), P
( )
Ò
A∩Ò B, P
Ò
A
( )
Ò
B.
Exercice 6
Dans une population, 20% des individus ont les yeux bleus. parmi ceux-ci, 70% ont les cheveux clairs et parmi les autres, 40% ont les
cheveux clairs. Un individu arrive.
1. Quelle est la probabilité pour qu’il ait les cheveux clairs.
2. L’individu a les cheveux clairs; calculer la probabilité pour qu’il ait les yeux bleus.
Exercice 7 (BAC ES – juin 2001, Amérique du Nord)
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme décimale, éventuellement arrondies à 10
-3
près.
Lors d’une enquête réalisée par l’infirmière auprès d’élèves de classes de terminale, on apprend que 60% des élèves sont des filles. De
plus 40% des filles et 30% des garçons fument.
1. On choisit un élève au hasard. On note A l’événement : "l’élève choisi fume" et F l’événement : "l’élève choisi est une fille".
Quelle est la probabilité que :
(a) cet élève soit une fille qui fume?
(b) Cet élève soit un garçon qui ne fume pas?
(c) Cet élève fume?
2. L’enquête permet de savoir que :
- parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui fument ;
- parmi les élèves non fumeurs, 65% ont des parents non fumeurs.
On note B l’événement : "l’élève choisi a des parents fumeurs".
(a) Calculer P(B).
(b) Calculer la probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents fumeurs.
(c) Calculer la probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents non fumeurs.
Exercice 8 (Antilles-Guyane, juin 2001)
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.
Un joueur achète 10€ un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il gratte une case sur le
billet. Il peut alors gagner 100€ avec une probabilité de
1
50
ou bien ne rien gagner.
G désigne l’événement : "le joueur gagne au grattage".
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 100€, ou 200€, ou bien ne rien gagner.
L
1
désigne l’événement : "le joueur gagne 100€ à la loterie".
L
2
désigne l’événement : "le joueur gagne 200€ à la loterie".
P désigne l’événement : "le joueur ne gagne rien à la loterie".
Si un joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100€ à la loterie est
1
70
, et la probabilité qu’il gagne 200€ à la loterie
est
1
490
.

Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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1.
(a) Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
(b) Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage.
Compléter l’arbre avec cette valeur.
(c) Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du
prix du billet.
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du
prix du billet.
La probabilité de l’événement "X=90" est
2
125
.
(a) Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100€ à la loterie, sachant qu’il a gagné 100€ au grattage, est égale à
1
10
.
(b) Calculer la probabilité que le joueur gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné100€ au grattage.
(c) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X.
Exercice 9
Une machine M
1
est constituée de deux éléments A et B. Un défaut d’un seul élément suffit à mettre la machine hors service et on
exclut toute autre éventualité de panne. Les défauts éventuels des éléments A et B sont deux événements indépendants qui se
produisent avec les probabilités respectives a=0.1 et b=0.2.
1. Calculer la probabilité pour que A et B soient hors service en même temps.
2. Calculer la probabilité pour que la machine M
1
soit hors service.
3. Calculer la probabilité pour que la machine M
1
fonctionne.
4. Calculer la probabilité de l’événement V : "un seul élément est en panne".
5. On suppose que la machine M
1
est hors service. Quelle est la probabilité d’avoir un seul élément en panne?
Exercice 10
Une urne contient quatre boules : deux rouges portant les numéros 1 et 2, une verte numérotée 1 et une jaune numérotée 2.
On extrait au hasard une boule de l’urne.
On considère les variables aléatoires X, Y et Z associant respectivement à chaque tirage :
- le numéro porté par la boule;
- le nombre de boules rouges obtenues (0 ou 1)
- le nombre de boules jaunes obtenues (0 ou 1).
1. Déterminer la loi de probabilité de chaque variable aléatoire.
2.
(a) Etudier l’indépendance des variables aléatoires X et Y.
(b) Etudier l’indépendance des variables aléatoires X et Z.
Exercice 11
On sait que 35% des individus d’une population lycéenne pratiquent le cyclisme (sport A), que 25% pratique le tennis (sport B) et que
15% pratiquent les sports A et B.
1. On interroge au hasard une personne de la population considérée.
(a) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique au moins un des sports considérés?
(b) Quelle est la probabilité pour que cette personne ne pratique aucun des sports considérés?
(c) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique le sport A et ne pratique pas le sport B?
(d) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique un et un seul des sports considérés?
2. On interroge au hasard une personne de la population considérée pratiquant le sport A. Quelle est la probabilité pour que
cette personne pratique le sport B? (on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible)
3. On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit, au hasard et de façon indépendante, n personnes de la
population considérée (on assimilera ces choix à n tirages avec remise).
(a) Quelle est la probabilité p
n
pour qu’au moins une des personnes choisies pratique le sport A?
(b) Déterminer le plus petit entier n tel que p
n
Ã0.9.
Exercice 12 (Réunion-juin 2002)
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.
La probabilité d’apparition de "PILE" lors d’un jet d’une pièce truquée est
3
4
.
La probabilité d’apparition de "PILE" lors d’un jet d’une pièce équilibrée est
1
2
.
On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indépendants les uns des autres.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On prend une pièce au hasard et on la lance :
Soit T l’événement : "la pièce est truquée".