Chapitre 11

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 11 – Probabilité
Conditionnement et indépendance
I.
Probabilité conditionnelle
1- Exemple
Dans un lycée contenant N élèves, 45% des élèves sont des filles,
55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70%
externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes.
On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du
lycée, on note le résultat obtenu qui peut être "fille interne", "fille
externe", "garçon interne" ou "garçon externe".
On peut représenter cette situation par le graphique ci-contre,
appelé arbre pondéré.
Remarquez que la somme des probabilités inscrites sur les
branches issues d’un même nœud est égale à 1. Ceci est vrai
quelque soit l’arbre pondéré.
Cette loi est connue sous le nom de loi des nœuds.
Le chemin -0.45↔ F −0.7↔ E r ep r é se nt e l ’é vé n e me n t " la f ic h e t ir ée e st cel le d ’u n e fi ll e e x ter ne" .
O n l e no te l’ é vé ne me nt F∩E
Calculons la probabilité de cet événement :
Si N est la population totale des élèves, le nombre de filles est 0.45×N et puisque parmi elles, 70% sont externes, le nombre de filles
externes est 0.70×0.45×N.
Ainsi, parmi les N élèves, 0.70×0.45×N sont des filles externes donc en supposant l’équiprobabilité (du fait que le tirage se fait au
nb de filles externes
0.70×0.45×N
=
=0.45×0.70
hasard), P( F∩E)=
N
nb total d′élèves
Notons que cette probabilité est le produit des nombres inscrits sur chaque branche du chemin.
Interprétons les nombres sur chaque branche :
Le nombre inscrit sur la branche -0.45↔ F est la probabilité que la fiche soit celle d’une fille, donc P( F)=0.45
Le nombre inscrit sur la branche F −0.7↔ E est la probabilité d’obtenir la fiche d’un élève externe sachant que c’est une fille..
Cette probabilité se note PF ( E) et se lit "probabilité de E sachant F".
P( F∩E)
On a donc P( F∩E)=P( F)×PF ( E) et donc PF ( E)=
P( F)
2- Probabilité de B sachant A
Définition : Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle.
La probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est le nombre noté PA ( B) et défini par
PA ( B)=
Conséquences sur la probabilité d’une intersection :
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles :
P( A∩B)
P( A)
Illustration sur des arbres pondérés :
Le chemin en trait plein représente
l’événement A∩B. La probabilité de ce
chemin cad de cet événement est le
produit de ses branches :
P( A∩B)= PA ( B)P( A)
P( A∩B)= PA ( B)P( A)= PB ( A)P( B)
Le chemin en trait plein représente aussi
l’événement A∩B. La probabilité de
ce chemin cad de cet événement est
le produit de ses branches :
P( A∩B)= PB ( A)P( B)
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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Remarques : Soit A et B deux événements. A de probabilité non nulle. Alors
Ò)=1− PA ( B) et P (B
Ò )=1− P ( B).
• PA (B
Ò
A
•
•
Ò
A
PA ( A)=1
Si A et B sont incompatibles alors PA ( B)=0
3- Formule de probabilités totales
(a) Cas particulier
Soit A un événement de probabilité non nulle.
Ò ∩B
Alors, pour tout événement B, B étant l’union des événements incompatibles A∩B et A
on a :
Ò ∩B )
P( B)= P( A∩B)+ P ( A
Ò)
= PA ( B)P( A)+ PAÒ ( B)P (A
P ( A ∩B )
Ò ∩B )
P(A
(b) Généralisation
Définition : Dire que les événements A1, A2, …, An forment un système complet de Ω ou une partition de Ω signifie que les
événements Ai sont non vides, incompatibles deux à deux (┐ i, ┐j, Ai ∩Aj =Ø) et que leur réunion est Ω ( A1∟A2∟…∟An =Ω ) .
Théorème : Formule des probabilités totales
Soit A1, A2, …, An une partition de Ω.
Alors pour tout événement B, B étant la réunion des événements incompatibles B∩A1, B∩A2, …, B∩An ,
P( B)= P (B∩A1)+ P (B∩A2)+…P ( B∩An )
= PA ( B)P (A1)+ PA ( B)P (A2)+…+ PA ( B)P ( An )
1
II.
1.
2
n
Indépendance
Indépendance de deux événements.
Définition : On dit que deux événement A et B sont indépendants lorsque P( A∩B)=P( A)×P( B).
Cela revient à dire, si P( A) ý 0, que PA ( B)=P( B) et si P( B)ý0 que PB ( A)=P( A))
Remarque : La seconde formulation rend plus naturelle la définition : il parait normal de considérer comme "indépendants", au sens
intuitif du terme, deux événements A et B dès lors que la réalisation de B ne dépend pas de celle de A (et inversement).
Ò et B le sont aussi, ainsi que A et B
Ò et que A
Ò et B
Ò.
Propriété : Si deux événements A et B sont indépendants alors A
2.
Indépendance de deux variables aléatoires
Définition : Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω.
Deux variables aléatoires sur Ω, X et Y sont dites indépendantes lorsque pour toute valeur x prise par X et pour toute valeur y prise
par Y : P( X=x et Y=y)=P( X=x)×P( Y=y)
III.
Modélisation d’expériences indépendantes
1- Expériences indépendantes.
Il est fréquent qu’une expérience aléatoire E consiste à enchainer plusieurs expériences E1 , E2, …, En . Si chacune d’elles se déroule
dans des conditions qui ne dépendent pas des résultats des autres épreuves, on dit en langage courant que ces épreuves Ek sont
indépendantes.
Dans ce cas, un résultat de E est la donnée d’une n−liste ordonnée donnant les résultats obtenus aux épreuves E1, E2, …, En .
En accord avec les règles de fonctionnement des arbres pondérés, on modélise l’expérience aléatoire E en définissant la probabilité
d’une liste de résultats comme le produit des probabilités de chacun de ces résultats.
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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Un exemple :
On considère l’expérience aléatoire E qui consiste à enchainer les
trois expériences suivantes :
E1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée; les issues de
l’expérience sont notés P et F.
E2 : On tire au hasard un jeton dans une urne qui contient 5
jetons dont 3 numérotés "1" et 2 numérotés "4"; les issues de
l’expérience seront notés J1 et J4
E3 : On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 2
boules rouges et 1 boule verte; les issues de l’expérience seront
notés R et V.
Lorsque l’on effectue successivement les trois expériences E1, E2,
E3, l’issue de l’une quelconque des trois expériences ne dépend
pas de l’issue des autres expériences; ces expériences sont donc
indépendantes.
L’arbre ci-contre indique toutes les listes de résultats possibles
pour E :
(on "pondère" les branches de l’arbre en adoptant pour chaque expérience E1, E2, E3, le modèle de la loi équirépartie et en
3
appliquant l’indépendance des expériences (ainsi par exemple PF (J1)=P (J1)= ).
5
1 3 1
La probabilité d’obtenir la liste ( P,J1,V ) est le produit des probabilités des événements P, J1 et V cad × × .
2 5 3
2- Cas particuliers où les expériences répétées sont identiques et indépendantes.
Il s’agit du cas particulier où les expériences E1, E2, …, En sont les répétitions d’une
même épreuve.
Un exemple : tirages successifs avec remise.
Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires.
On tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne
puis on tire à nouveau une boule de l’urne. Le fait que la première boule tirée soit
remise entre les deux tirages rend ces tirages identiques et indépendants. L’arbre cicontre indique les listes de résultats possibles :
On considère l’événement S :"obtenir une boule rouge exactement".
S est réalisé par les listes (evts élémentaires) ( R,V), (R,N), ( V,R) et ( N,R) donc la
probabilité d’un événement étant la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constituent, P( S)=P(( R,V))+ P(( R,N))+ P(( V,R))+P(( N,R)).
Or la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun des
4 3
4 2
3 4
résultats donc P(( R,V))= × ; P(( R,N))= × ; P(( V,R))= × ;
9 9
9 9
9 9
2 4
4 2 3 4 2 4 40
P(( N,R))= × . D’où P( S)= × + × + × = .
9 9
9 9 9 9 9 9 81
On effectue maintenant n tirages successifs avec remise ( nà 2). Ces tirages sont
donc identiques et indépendants.
Calculons la probabilité pn pour qu’au moins une des boules soit rouges :
Notons An l’événement :"au moins une des boules est rouge". L’événement contraire est An : "aucune des boules n’est rouge"
Ò, R
Ò,…, R
Ò ).
cad que An n’est composé que de l’événement élémentaire (R
n
Les tirages étant identiques et indépendants, P
n
( A ) = 59  d’où p =P (A )=1−P ( A ) =1− 59  .
n
n
n
n
Déterminons le plus petit entier n tel que pn à 0.99 :
n
n
n
n
pn à 0.99ñ1− 5  à 0.99ñ– 5  à -0.01ñ 5  Â0.01ñln 5   ln0.01 (car la fct ln est strictement croissante sur IR+*)
9
9
9
9
ln0.01
ln0.01
5
5
ñ nln Âln0.01 ñ nÃ
(car ln <0). Or
ó7.8 donc le plus petit entier n tel que pn à 0.99 est 8.
9
9
ln 5 
ln 5 
9
9
(cad que le nombre minimum de tirages à faire pour que la proba de tirer au moins une boule rouge soit supérieure à 99% est de 8).
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
3/6
IV.
Exercices
Exercice 1
Ò ), PA (B
Ò ) et PAÒ(B
Ò ). En déduire P(A∩B), P (A∩ B
Ò ),
A l’aide de l’arbre ci-contre, préciser : P (A
Ò ∩B ) et P (A
Ò∩ B
Ò ).
P(A
Exercice 2
1
1
1
On donne P( A)= , P(B)= et P( A∩B)= . Calculer PA ( B) et PB ( A).
2
4
10
Exercice 3
1
1
2
On donne P( A)= , P(B)= et P( A∟B)= . Calculer P( A∩B), PA ( B) et PB ( A).
2
3
3
Exercice 4
1
1
1
On donne P( A)= , PA ( B)= et PAÒ( B)= . Calculer P( B)
3
4
2
Exercice 5
1
3
2
Ò∩ B
Ò ), PAÒ(B
Ò ).
On donne P( A)= , P(B)= et P( A∩B)= . Calculer PA ( B), PB ( A), P (A
2
4
5
Exercice 6
Dans une population, 20% des individus ont les yeux bleus. parmi ceux-ci, 70% ont les cheveux clairs et parmi les autres, 40% ont les
cheveux clairs. Un individu arrive.
1. Quelle est la probabilité pour qu’il ait les cheveux clairs.
2. L’individu a les cheveux clairs; calculer la probabilité pour qu’il ait les yeux bleus.
Exercice 7 (BAC ES – juin 2001, Amérique du Nord)
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme décimale, éventuellement arrondies à 10-3 près.
Lors d’une enquête réalisée par l’infirmière auprès d’élèves de classes de terminale, on apprend que 60% des élèves sont des filles. De
plus 40% des filles et 30% des garçons fument.
1. On choisit un élève au hasard. On note A l’événement : "l’élève choisi fume" et F l’événement : "l’élève choisi est une fille".
Quelle est la probabilité que :
(a) cet élève soit une fille qui fume?
(b) Cet élève soit un garçon qui ne fume pas?
(c) Cet élève fume?
2.
L’enquête permet de savoir que :
- parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui fument ;
- parmi les élèves non fumeurs, 65% ont des parents non fumeurs.
On note B l’événement : "l’élève choisi a des parents fumeurs".
(a) Calculer P( B).
(b) Calculer la probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents fumeurs.
(c) Calculer la probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents non fumeurs.
Exercice 8 (Antilles-Guyane, juin 2001)
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.
Un joueur achète 10€ un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il gratte une case sur le
1
billet. Il peut alors gagner 100€ avec une probabilité de
ou bien ne rien gagner.
50
G désigne l’événement : "le joueur gagne au grattage".
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 100€, ou 200€, ou bien ne rien gagner.
L1 désigne l’événement : "le joueur gagne 100€ à la loterie".
L2 désigne l’événement : "le joueur gagne 200€ à la loterie".
P désigne l’événement : "le joueur ne gagne rien à la loterie".
1
Si un joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100€ à la loterie est
, et la probabilité qu’il gagne 200€ à la loterie
70
1
est
.
490
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
4/6
1.
(a) Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
(b) Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage.
Compléter l’arbre avec cette valeur.
(c) Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du
prix du billet.
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du
prix du billet.
2
La probabilité de l’événement "X=90" est
.
125
(a) Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100€ à la loterie, sachant qu’il a gagné 100€ au grattage, est égale à
1
.
10
(b) Calculer la probabilité que le joueur gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné100€ au grattage.
(c) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X.
Exercice 9
Une machine M1 est constituée de deux éléments A et B. Un défaut d’un seul élément suffit à mettre la machine hors service et on
exclut toute autre éventualité de panne. Les défauts éventuels des éléments A et B sont deux événements indépendants qui se
produisent avec les probabilités respectives a=0.1 et b=0.2.
1. Calculer la probabilité pour que A et B soient hors service en même temps.
2. Calculer la probabilité pour que la machine M1 soit hors service.
3. Calculer la probabilité pour que la machine M1 fonctionne.
4. Calculer la probabilité de l’événement V : "un seul élément est en panne".
5. On suppose que la machine M1 est hors service. Quelle est la probabilité d’avoir un seul élément en panne?
Exercice 10
Une urne contient quatre boules : deux rouges portant les numéros 1 et 2, une verte numérotée 1 et une jaune numérotée 2.
On extrait au hasard une boule de l’urne.
On considère les variables aléatoires X, Y et Z associant respectivement à chaque tirage :
- le numéro porté par la boule;
- le nombre de boules rouges obtenues (0 ou 1)
- le nombre de boules jaunes obtenues (0 ou 1).
1. Déterminer la loi de probabilité de chaque variable aléatoire.
2.
(a) Etudier l’indépendance des variables aléatoires X et Y.
(b) Etudier l’indépendance des variables aléatoires X et Z.
Exercice 11
On sait que 35% des individus d’une population lycéenne pratiquent le cyclisme (sport A), que 25% pratique le tennis (sport B) et que
15% pratiquent les sports A et B.
1. On interroge au hasard une personne de la population considérée.
(a) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique au moins un des sports considérés?
(b) Quelle est la probabilité pour que cette personne ne pratique aucun des sports considérés?
(c) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique le sport A et ne pratique pas le sport B?
(d) Quelle est la probabilité pour que cette personne pratique un et un seul des sports considérés?
2. On interroge au hasard une personne de la population considérée pratiquant le sport A. Quelle est la probabilité pour que
cette personne pratique le sport B? (on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible)
3. On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit, au hasard et de façon indépendante, n personnes de la
population considérée (on assimilera ces choix à n tirages avec remise).
(a) Quelle est la probabilité pn pour qu’au moins une des personnes choisies pratique le sport A?
(b) Déterminer le plus petit entier n tel que pn à 0.9.
Exercice 12 (Réunion-juin 2002)
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.
3
La probabilité d’apparition de "PILE" lors d’un jet d’une pièce truquée est .
4
1
La probabilité d’apparition de "PILE" lors d’un jet d’une pièce équilibrée est .
2
On suppose que les différents lancers dont il sera question dans la suite sont indépendants les uns des autres.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On prend une pièce au hasard et on la lance :
Soit T l’événement : "la pièce est truquée".
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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Soit P l’événement : "on obtient PILE".
(a) Calculer la probabilité d’obtenir "PILE". (on pourra s’aider d’un arbre)
(b) Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenue "PILE"?
2. On prend une pièce au hasard et on la lance 4 fois.
- si au cours des quatre lancers on obtient 4 fois "PILE", on décide d’éliminer la pièce,
- dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
- On note E l’événement : "la pièce est éliminée"
(a) Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée?
(b) Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est truquée?
(c) Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir éliminée ou d’avoir une pièce truquée et de l’avoir
conservée?
Exercice 13 (Réunion-juin 2005)
On considère trois urnes U1, U2 et U3.
L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges; l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges; l’urne U3
contient trois boules noires et quatre boules rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à tirer au hasard une boule de
U 3.
Pour i prenant les valeurs 1,2 et 3, on désigne par Ni (respectivement Ri ) l’événement "on tire une boule noire de l’urne Ui "
(respectivement "on tire une boule rouge de l’urne Ui ")
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-contre :
2.
(a) Calculer la probabilité des événements N1∩N2∩N3 et N1∩R2∩N3.
(b) En déduire la probabilité de l’événement N1∩N3.
(c) Calculer de façon analogue la probabilité de l’événement R1∩N3.
3.
4.
5.
Déduire de la question précédente la probabilité de l’événement N3.
Les événements N1 et N3 sont ils indépendants?
Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de
U1 soit rouge?
Exercice 14 (Polynésie – juin 2006)
On a posé à 1000 personnes la question suivante :
"Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au
cours de deux derniers mois?". Les réponses ont été
regroupées dans le tableau ci-contre :
1.
On choisit au hasard un individu de cette
population.
(a) Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le premier mois.
(b) Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le
premier mois.
2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois ( n un entier naturel non nul).
On fait les hypothèses suivantes :
- si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0.46.
- si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0.66.
- si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n +1 est encore 0.66.
On note An l’événement "l’individu n’a eu aucun retard le mois n"
Bn l’événement "l’individu a eu exactement un retard le mois n"
Cn l’événement "l’individu a eu deux retards ou plus le mois n"
Les probabilités des événements An , Bn , Cn sont notées respectivement pn , qn et rn .
(a) Pour le premier mois ( n=1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent. Déterminer les
probabilités p1, q1 et r1.
(b) Exprimer pn+1 en fonction de pn , qn et rn . On pourra s’aider d’un arbre.
(c) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1=-0.2pn +0.66.
(d) Soit la suite ( un ) définie pour tout naturel n non nul par un = pn −-0.55. Démontrer que ( un ) est une suite géométrique
dont on donnera la raison.
(e) Déterminer lim un . En déduire lim pn .
n↔+ õ
n↔+ õ
Chapitre 11 – Probabilités : Conditionnement et indépendance
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