Séries de Fourier

Chapitre 1
Séries de Fourier
Exercice 1.1. Ecole Polytechnique MP 2008, RMS page 65)
1) Soit f:x∈[0, π]7→ x(π−x). Déterminer deux suites réelles telles que :
∀x∈[0, π], f (x) =
+∞
X
n=0
ancos(nx) =
+∞
X
n=1
bnsin(nx).
2) Calculer +∞
X
n=1
1
n2kpour k= 1,2,3.
Solution
1) Les séries +∞
X
n=0
ancos(nx)et +∞
X
n=0
bnsin(nx)nous font penser aux développement
en série de Fourier d’une fonction paire d’une part et d’une fonction impaire
d’autre part. Nous sommes ainsi conduit à introduire les fonctions suivantes :
•une fonction paire f1dont la restriction à l’intervalle [0, π]coïncide avec f,
•une fonction impaire f2dont la restriction à l’intervalle [0, π]coïncide avec f.
Ainsi définies Les fonctions f1et f2sont de classe C1par morceaux. Calculons
leurs coefficients de Fourier trigonométriques.
Comme f1est paire les coefficients bn(f1)sont nuls. Pour n∈N∗, on a
an(f1) = 2
πZπ
0
x(π−x) cos(nx)dx =
π2
3si n= 0,
−21 + (−1)n
n2si n6= 0.
Comme f2est impaire, on a an(f2) = 0. Pour tout n∈N∗, on a
bn(f2) = 2
πZπ
0
x(π−x) sin(nx)dx =4
π
1−(−1)n
n3.
Le théorème de Dirichlet ( ou le théorème de convergence normale car f1et f2
sont continues) montre que les séries de Fourier de f1et de f2sont convergentes
et que leur somme coïncident avec fsur l’intervalle [0, π]. On a donc :
∀x∈[0, π], x(π−x) = π2
6−2
+∞
X
n=1
1 + (−1)n
n2cos(nx) = 4
π
+∞
X
n=1
1−(−1)n
n3sin(nx),

2 1 •Séries de Fourier
ou encore
∀x∈[0, π], x(π−x) = π2
6−
+∞
X
p=1
cos(2px)
p2=8
π
+∞
X
p=0
sin((2p+ 1)x)
(2p+ 1)3.
2) En prenant x= 0, cette dernière relation donne +∞
X
p=1
1
p2=π2
6. La formule de
Parseval appliquée à la fonction f1donne : 2
πZπ
0
x2(π−x)2dx =π4
18 +
+∞
X
p=1
1
p4,
d’où comme 2
πZπ
0
x2(π−x)2dx =π4
15 ,+∞
X
p=1
1
p4=π4
90 .
De même la formule de Parseval appliquée à la fonction f2donne
2
πZ+∞
0
x2(π−x)2dx =64
π2
+∞
X
p=0
1
(2p+ 1)6.
On en déduit que +∞
X
p=0
1
(2p+ 1)3=π6
15 ×64.
Posons alors S=
+∞
X
n=1
1
n6. On a S=
+∞
X
p=0
1
(2p+ 1)6+1 26
+∞
X
p=1
1
p6.
On en déduit que S1−1
63=π6 15 ×64, d’où S=π6 15 ×63 =π6 945 .
Exercice 1.2. Mines-Ponts MP 2007, RMS page 108
Montrer qu’il existe une suite (an)n>1telle que ∀t∈R,|sin t|=
+∞
X
n=1
ansin2nt.
Solution La fonction t7→ |sin t|est π-périodique. Nous allons nous ramener à une
fonction 2π-périodique à l’aide du changement de variable t=u
2.
Soit gl’application de Rdans Rdéfinie par g(u) = |sin(u/2)|. C’est une application
2π-périodique, de classe C1par morceaux et continue sur R. Comme gest paire les
coefficients de Fourier bn(g)sont nuls et, pour tout n∈N,

1•Séries de Fourier 3
an(g) = 2
πZπ
0
sin(u/2) cos(nu)du
=1
πZπ
0sin (n+1
2u−sin n−1 2udu
=1
π
−1
n+1
2
cos n−1
2u+1
n−1
2
cos n+1
2u
π
0
=−4
π(4n2−1).
La série de Fourier de gconverge normalement sur Ret
∀u∈R, g(u) = a0
2+
+∞
X
n=1
ancos(nu) = 2
π−4 π
+∞
X
n=1
cos nu
4n2−1.
On en déduit que : ∀t∈R,|sin t|=2
π−4 π
+∞
X
n=1
cos 2nt
4n2−1.
En particulier, pour t= 0 on obtient 1 = 2
+∞
X
n=1
1
4n2−1, d’où :
∀t∈R,|sin t|=4
π +∞
X
n=1
1
4n2−1−
+∞
X
n=1
cos 2nt)
4n2−1!
=4
π
+∞
X
n=1
1−cos 2nt
4n2−1
=4
π
+∞
X
n=1
sin2nt
4n2−1.
Exercice 1.3. Mines-Ponts MP 2008, RMS page 93
1) Soit θ∈R. Développer en série entière la fonction f:x7→ ln(x2−2xcos(θ)+1)
au voisinage de 0.
2) En déduire le développement en série de Fourier de la fonction
g:θ7→ ln(x2−2xcos(θ) + 1) lorsque |x|<1.
3) Calculer Zπ
0
g(θ)dθ.
Solution

4 1 •Séries de Fourier
1) La fonction est de classe C1sur Ret, pour tout x∈R,
f′(x) = 2(x−cos θ)
x2−2xcos θ+ 1 =2(x−cos θ)
(x−eiθ)(x+e−iθ)=1 x−eiθ +1 x−e−iθ .
On a donc, puisque xeiθ=xe−iθ=|x|<1,
f′(x) = −1
eiθ(1 −xe−iθ)−1 e−iθ(1 −xeiθ)
=−e−iθ
+∞
X
n=0
xne−niθ −eiθ
+∞
X
n=0
xneniθ
=−
+∞
X
n=0
xne−(n+1)iθ +e(n+1)iθ
=−2
+∞
X
n=1
xn−1cos nθ
On en déduit par primitivation :
∀x∈]−1,1[, f(x) = −2
+∞
X
n=1
xncos nθ
n+f(0) = −2
+∞
X
n=1
xncos nθ
n.
2) On a donc aussi, pour x∈]−1,1[,
∀θ∈R, g(θ) = −2
+∞
X
n=1
xncos nθ
n.
Pour tout n∈N∗, désignons par unla fonction de Rdans Rdéfinie par
un(θ) = −2xncos θ
n.
Chaque fonction unest continue sur Ret on a kunk∞= 2|x|n
n6|x|n, de sorte
que la série de fonctions Punest normalement convergente sur R. Sa somme g
est donc continue sur Ret elle est 2π-périodique puisque chaque fonction unest
2π-périodique.
La fonction gest de classe C1sur R. En effet, chaque fonction unest de classe C1
sur Ret la série de fonctions Pu′
n, avec u′ n(x) = 2xnsin nθ, est normalement
convergente sur R.
Calculons les coefficients de Fourier de g. Comme gest paire, on a bn(f) = 0
pour tout n∈N. Soit p∈N∗et désignons par vnla fonction définie par
vn(θ) = un(θ) cos pθ. La série de fonctions Pvnconverge normalement sur R.
Sa somme est donc continue sur Ret le théorème d’intégration terme à terme

1•Séries de Fourier 5
donne :
ap(g) = 2
πZπ
0
g(θ) cos pθ dθ
=−4
πZπ
0 +∞
X
n=1
xncos nθ cos pθ
n!dθ
=−4
π
+∞
X
n=1
xn
nZπ
0
cos nθ cos pθ dθ
=−4
π
xp
p
π
2
=−2xp
p.
Le même calcul montre que a0(g) = 0.
Ainsi g(θ) = −2
+∞
X
n=1
xncos nθ
n.est le développement en série de Fourier de g.
3) On a Zπ
0
g(θ)dθ =π
2a0(g) = 0.
Exercice 1.4. Mines-Ponts 2008 MP 200,RMS page 93
Soit aun réel tel que |a|>1. Déterminer le développement en série de Fourier
de la fonction f:x7→ sin x
a+ cos x.
Solution
La fonction fest 2π-périodique et de classe C1sur R. Sa série de Fourier est donc
normalement convergente sur R. Comme elle est impaire les coefficients de Fourier
an(f)sont nuls, tandis que pour tout n∈N,
bn=bn(f) = 2
πZπ
0
sin(x)
a+ cos(x)sin(nx)dx.
Cherchons une relation de récurrence linéaire vérifiée par la suite (bn). Pour tout
n∈N, on a :