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Chap 7 : Probabilités
I Variable aléatoire :
1) Définition :
Définition :
E est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue.
Notations :
1) Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule.
2) Si X est le nom de la variable aléatoire, on notera {X = a} l’ensemble des résultats de E
qui ont pour images a.
Exemple :
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on note F lorsqu’on obtient
Face et P quand on obtient Pile.
Les issues de cette expérience aléatoire sont :
{P ;P} ; {P ;F} ; {F ;P} et {F ;F}.
On gagne 5 euros chaque fois qu’on sort Pile et on perd 2 euros chaque fois que sort Face.
{P ;P}
{P ;F}
{F ;P}
{F ;F}








10 euros
3 euros
3 euros
-4 euros
On définit ainsi une variable aléatoire X qui prend les valeurs -4 ; 3 et 10.
L’événement {X = 3} est constitué des événements {P ;F} et {F ;P}.
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire :
Définition :
Une loi de probabilité est définie sur un ensemble E
d’issues.
x1, x2, … xn sont les valeurs prises par une variable
aléatoire définie sur E.
Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire
X, c’est associer à chaque valeur xi prise par X, la
probabilité de l’événement {X = xi}.
Remarque : p1 + p2 + … + pn = 1
Valeur de X
P(X = xi)
x1
p1
x2
p2
….
….
xn
pn
Exemple :
Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité de la
variable X est définie dans le tableau ci-contre :
xi
P(X = xi)
-4
1
4
3
1
2
10
1
4
Ex 11, 12, 13, 14 p 213
Ex 16, 17 p 214
3) Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire :
Définitions :
X est une variable aléatoire définie sur E qui prend les valeurs x1, x2, … xn de probabilités
respectives p1, p2, …pn
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté E(X), tel que :
E(X) = p1x1 + p2x2 + …. + pnxn =
La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel , noté V(X), tel que :
V(X) = p1(x1 – E(X))² + p2(x2 – E(X))² + …. + pn(xn – E(X))² =
L’écart type de la variable aléatoire X est le nombre noté (X), défini par :
(X) =
V(X)
Remarque :
1) L’espérance s’exprime dans la même unité que les valeurs xi prises par X.
2) Un jeu est dit équitable lorsque E(X) = 0.
3) Un jeu est dit favorable lorsque E(X) > 0.
4) Un jeu est dit défavorable lorsque E(X) < 0.
Exemple :
1
1
1
 (-4) +  3 +  10 = 3 (euros)
4
4
2
Cela signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, un joueur peut espérer gagner
3 euros en moyenne par partie. Ce jeu est favorable.

Dans l’exemple précédent, E(X) =

1
1
49 49 49
1
1
1
V(X) = (-4 – 3)²+ (3 – 3)²+ (10 – 3)² = 7²+ 0 + 7² =
+
=
= 24,5
4
4
4
4
2
2
4
4

(X)
=
24,5  4,95 (euros)
L’écart type mesure les écarts entre les valeurs prises par X et le gain moyen, donc évalue
le degré de risque du jeu. Ici, La moyenne des écarts par rapport au gain moyen est de
4,95 euros.
Propriétés :
Soit X est une variable aléatoire définie sur E qui prend les valeurs x1, x2, … xn de
probabilités respectives p1, p2, …pn
Alors :
V(X) =
- [E(X)]² = E(X²) – [E(X)]²
Soient a et b deux réels.
Alors :
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX) = a²V(X)
(aX) = a(X)
Démonstration de la propriété E(aX + b) = aE(X) + b: (A SAVOIR)
Si la variable aléatoire X prend les valeurs x1, x2, … xn avec les probabilités respectives
p1, p2, …pn, alors la variable aléatoire aX + b prend les valeurs ax1 + b, ax2 + b, … axn + b avec
les probabilités respectives p1, p2, …pn .
D’où : E(aX + b) = (ax1 + b)p1 + (ax2 + b)p2 + … + (axn + b)pn
E(aX + b) = ax1p1 + ax2p2 + …. + axnpn + bp1 + bp2 + …. + bpn
E(aX + b) = a(x1p1 + x2p2 + …. + xnpn) + b(p1 + p2 + …. + pn)
Comme x1p1 + x2p2 + …. + xnpn = E(X)
et
p1 + p2 + …. + pn = 1
Alors : E(aX + b) = aE(X) + b
Ex 18, 22 p 214
Ex 23, 24 p 215
Ex 31, 32, 33 p 216
Ex 34 p 217
II Répétition d’expériences identiques et indépendantes :
1) Expériences identiques et indépendantes :
Définition :
Il y a répétition d’expériences identiques lorsque la même expérience aléatoire est répétée
plusieurs fois de suite.
Ces expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque l’issue de l’une
quelconque de ces expériences ne dépend pas de l’issue des autres expériences.
Exemple :
On lance trois fois de suite un dé équilibré. Le numéro obtenu lors d’un lancer ne dépend
pas du numéro obtenu aux deux autres lancers.
Par exemple, les listes {4 ;5 ;3} et {6 ;2 ;6} sont des issues de cette répétition.
2) Modélisation d’une répétition :
On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre
pondéré. Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des
branches d’un arbre ; la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant
à cette issue.
Propriété :
Dans le cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes représentée par un
arbre pondéré :
1) On choisit la loi de probabilité suivante : la probabilité d’un événement correspondant à
un chemin sur l’arbre est obtenue en multipliant les probabilités portées par ses branches.
2) La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est alors obtenue en
ajoutant les probabilités des événements correspondants à chaque chemin, puisque ceux-ci
sont incompatibles.
Exemple :
Une urne contient 4 boules rouges,
3 boules vertes et 2 boules noires.
On tire successivement 2 boules
avec remise.
Il s’agit donc d’une répétition
de deux expériences identiques
et indépendantes.
Cette situation peut être
représentée par l’arbre pondéré
ci-contre.
Les issues de cette répétition
sont les événements :
{R ;R}, {R ;V}, {R ;N}, {V ;R}, {V ;V},
{V ;N}, {N ;R}, {N ;V}, {N ;N}.
1ère expérience
(1er tirage)
R
4
9
3
9
R
V
2
9
N
Par exemple, la probabilité de l’événement {R ;V} est égale au produit
Ex 35, 36, 37 p 217
Ex 47, 48 p 219
2ème expérience
(2ème tirage)
4/9
3/9
V
2/9
N
4/9
R
3/9
V
2/9
N
4/9
R
3/9
V
2/9
N
4 3 12
 =
.
9 9 81