3e Utiliser des nombres premiers et des fractions irréductibles

3e
Utiliser des nombres premiers et des fractions
irréductibles
Objectif 01
Livre 8.2
Mots clefs.
 Entier
 Nombre premier
 Diviseur, divisible
 Fraction irréductible
 Décomposition en facteurs premiers.
Remarque préliminaire.
Tous les entiers considérés dans ce thème sont des entiers naturels.
I. Nombres premiers.
1. Propriété.
Tout entier supérieur ou égal à 2 admet au moins deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Démonstration.
Soit un entier supérieur ou égal à 2.
donc et 1 sont deux diviseurs distincts de
2. Définition.
distincts.
3. Remarques.
 2 est le seul nombre premier pair.
 Il existe une infinité de nombres premiers.
 Tout entier 
   :
  -
Exemples.
              , et donc ses seuls
diviseurs sont 1 et 13.
 13 est donc un nombre premier.
 Il existe plusieurs décompositions en  de 25 :
et donc, 25 admet trois diviseurs 1, 5 et 25
 25 n
Principe.

Le premier entier restant dans la liste est 2. Il est premier (en rouge et en gras).
On élimine ensuite tous les multiples de 2 (en jaune).
Le premier entier restant dans la liste est 3. Il est donc premier.
On élimine ensuite tous les multiples de 3 (en vert). Certains sont déjà des multiples de 2.
Le premier entier restant dans la liste est 5. Il est donc premier.
On élimine ensuite tous les multiples de 5 (en bleu). Certains sont déjà des multiples de 2 ou de 3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Les entiers en rouge et gras sont les nombres premiers inférieurs à 100.
Cet algorithme de recherche peut être étendu facilement à une limite supérieure à 100.
II. Fraction irréductible.
1. Définition.
Une fraction est dite irréductible si elle ne peut plus se simplifier, autrement dit, si son numérateur
et 
2. Critères de divisibilité.
Un nombre entier est divisible par :
 2 lorsque son chiffre des unités est pair (0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8).
 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Exemple.
La fraction 
   ductible car 315 et 225 sont tous les deux dans la table de 5.
Effectivement,   et     . Mais ils sont aussi tous les deux dans la table de 9.
Effectivement,   et     .
3. Définition. Décomposition en facteurs premiers.
La décomposi
produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique pour chaque nombre non premier considéré.
Exemple.

La décomposition en facteurs premiers :
 de 25 est     .
 de 315 est 
 de 225 est  
4. Observation.
La décomposition en facteurs premiers des entiers non premiers permet de repérer facilement de
diviseurs communs à deux entiers.
s par   .
Autrement dit, pour rendre la fraction 
 irréductible, il suffit de la simplifier par   , ce qui
donne :
La fraction 
 est irréductible.