3e Utiliser des nombres premiers et des fractions irréductibles

3e
Utiliser des nombres premiers et des fractions Objectif 01
irréductibles
Livre 8.2
Mots clefs.
 Entier
 Nombre premier
 Diviseur, divisible
 Fraction irréductible
 Décomposition en facteurs premiers.
Remarque préliminaire.
Tous les entiers considérés dans ce thème sont des entiers naturels.
I. Nombres premiers.
1. Propriété.
Tout entier supérieur ou égal à 2 admet au moins deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Démonstration.
Soit 𝑎 un entier supérieur ou égal à 2.
𝑎÷1 =𝑎
donc 𝑎 et 1 sont deux diviseurs distincts de 𝑎.
2. Définition.
Un entier est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts.



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3. Remarques.
1 est le seul entier qui n’a qu’un seul diviseur. Il n’est donc pas premier.
0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par tout nombre non nul.
2 est le seul nombre premier pair.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Tout entier peut s’écrire sous la forme d’un produit d’entiers.
Les nombres premiers n’ont qu’une unique décomposition sous forme d’entiers :
1 × 𝑙𝑢𝑖-𝑚ê𝑚𝑒.
Exemples.
 La seule décomposition en produit d’entiers de 13 est 13 = 1 × 13, et donc ses seuls
diviseurs sont 1 et 13.
 13 est donc un nombre premier.
 Il existe plusieurs décompositions en produit d’entiers de 25 :
25 = 1 × 25 = 5 × 5
et donc, 25 admet trois diviseurs 1, 5 et 25
 25 n’est donc pas un nombre premier.
4. Recherche des nombres premiers jusqu’à 100 avec le crible d’Ératosthène.
Principe.
On élimine le nombre 1 (en gris), qui par définition n’est pas premier.
Le premier entier restant dans la liste est 2. Il est premier (en rouge et en gras).
On élimine ensuite tous les multiples de 2 (en jaune).
Le premier entier restant dans la liste est 3. Il est donc premier.
On élimine ensuite tous les multiples de 3 (en vert). Certains sont déjà des multiples de 2.
Le premier entier restant dans la liste est 5. Il est donc premier.
On élimine ensuite tous les multiples de 5 (en bleu). Certains sont déjà des multiples de 2 ou de 3.
On recommence de la sorte jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’entiers à éliminer.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Les entiers en rouge et gras sont les nombres premiers inférieurs à 100.
Cet algorithme de recherche peut être étendu facilement à une limite supérieure à 100.
II. Fraction irréductible.
1. Définition.
Une fraction est dite irréductible si elle ne peut plus se simplifier, autrement dit, si son numérateur
et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.
2. Critères de divisibilité.
Un nombre entier est divisible par :
 2 lorsque son chiffre des unités est pair (0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8).
 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Exemple.
La fraction
315
n’est pas irréductible car 315 et 225 sont tous les deux dans la table de 5.
225
Effectivement, 315 = 5 × 63 et 225 = 5 × 45. Mais ils sont aussi tous les deux dans la table de 9.
Effectivement, 315 = 9 × 35 et 225 = 9 × 25.
3. Définition. Décomposition en facteurs premiers.
La décomposition en facteurs premiers d’un entier non premier est son écriture sous la forme d’un
produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique pour chaque nombre non premier considéré.
Exemple.
La décomposition en facteurs premiers :
 de 25 est 5 × 5 = 52 .
 de 315 est 32 × 5 × 7.
 de 225 est 32 × 52 .
4. Observation.
La décomposition en facteurs premiers des entiers non premiers permet de repérer facilement de
diviseurs communs à deux entiers.
Avec les nombres 315 et 225, on voit qu’ils sont tous les deux divisibles par 𝟑² × 𝟓.
315
Autrement dit, pour rendre la fraction
irréductible, il suffit de la simplifier par 𝟑² × 𝟓, ce qui
225
donne :
315 𝟑² × 𝟓 × 7 7
=
=
225 𝟑² × 𝟓 × 5 5
7
La fraction est irréductible.
5