trigonometrie

TRIGONOMETRIE
Table des matières
1 Angles orientés
1.1 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
2.1 Lignes trigonométriques associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sinus et Cosinus remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
1
Lycée Marie Curie
1
Tarbes
Angles orientés
1.1
Cercle trigonométrique
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~i, ~j).
Le périmètre d’un cercle de rayon R est R × 2π.
La longueur d’un arc du même cercle est proportionnelle à l’angle de l’arc de cercle.
Pour un arc d’angle α ( en radian) sa longueur est égale à R × α.
Ainsi, pour un cercle de rayon 1, la longueur de l’arc coincide avec la mesure de son angle en radian.
Exemples : 2π rad = 360˚,
π rad = 180˚,
π
rad = 90˚,
2
π
rad = 60˚,
3
π
rad = 45˚,
4
π
rad = 30˚.
6
+
~j
b
b
~i
O
1.2
A
Définition 1
On appelle cercle trigonométrique tout cercle de centre O, de rayon
1 muni d’une origine A et d’un sens de parcours (sens direct).
Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Abscisse curviligne
b
M
b
~j
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique permet
y
b
O
b
~i
A
de mesurer l’arc orienté AM en reportant cette mesure sur un axe. Nous
obtenons ainsi une abscisse curviligne du point M. −→ −−→
Cette abscisse curviligne mesure aussi l’angle orienté OA; OM .
Exemples
Dans le plan orienté, placer les points M ,N ,P ,Q d’abscisse curviligne
7π 23π 19π
2π
, − ,
,
respective
3
4
6
6
3π π
π
2π
=
− =π−
•
3
3
3
3
M
b
b
7π
8π pi
π
• −
=−
+
= − 2π
4
4
4
4
•
23π
24π π
π
=
− = − + 4π
6
6
6
6
•
18π π
π
19π
=
+ = 3π +
6
6
6
6
Trigonométrie
N
b
b
A
O
Q
Page 2
b
b
P
Francis Rignanese
Lycée Marie Curie
2
Tarbes
Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
x désigne l’abscisse curviligne du point M sur le cercle trigonométrique.
Définition 2
Sb
sin(x)
• Le cosinus de x est l’abscisse du point M.
• Le sinus de x est l’ordonnée du point M.
x
b
Autrement dit le point M du cercle trigonométrique a pour coordonnées
(cos(x); sin(x))
M
b
b
O
b
C
A
cos(x)
En effet :
OC
= OC, (OM = 1),
OM
OS
• dans le triangle rectangle OCM, sin(x) =
= OS, (OM = 1),
OM
• dans le triangle rectangle OCM, cos(x) =
2.1
Lignes trigonométriques associées

 cos(x + 2π) = cos(x)
1.

sin(x + 2π) = sin(x)
M
N
b
b
x
b
b
b
A
O
b
b
M
b

 cos(−x) = cos(x)
2.

sin(−x) = −sin(x)
b

 cos(π − x) = −cos(x)
3.

sin(π − x) = sin(x)
b
x
b
b
b

 cos(π + x) = −cos(x)
4.

sin(π + x) = −sin(x)
M
b
x
b
b
b
b
A
O
b
A
N
M
b
b
O

π


 cos( 2 − x) = sin(x)
5.


 sin( π − x) = cos(x)
2
b
b
N
b
b
b
b
b
b
A
O
b
N
M
b

π


 cos( 2 + x) = −sin(x)
6.


 sin( π + x) = cos(x)
2
2.2
b
N
b
b
b
b
x
b
b
A
O
Sinus et Cosinus remarquables
x
0
sin(x)
0
cos(x)
1
Trigonométrie
π
6
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
Page 3
Francis Rignanese