trigonometrie

TRIGONOMETRIE
Table des mati`eres
1 Angles orient´es 2
1.1 Cercle trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Cosinus et sinus sur le cercle trigonom´etrique 3
2.1 Lignes trigonom´etriques associ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Sinus et Cosinus remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1

Lyc´ee Marie Curie Tarbes
1 Angles orient´es
1.1 Cercle trigonom´etrique
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;~ i,~ j).
Le p´erim`etre d’un cercle de rayon Rest R×2π.
La longueur d’un arc du mˆeme cercle est proportionnelle `a l’angle de l’arc de cercle.
Pour un arc d’angle α( en radian) sa longueur est ´egale `a R×α.
Ainsi, pour un cercle de rayon 1, la longueur de l’arc coincide avec la mesure de son angle en radian.
Exemples : 2π rad = 360˚, π rad = 180˚,π
2rad = 90˚,π 3rad = 60˚,π 4rad = 45˚,π 6rad = 30˚.
O
+
A
~
j
~
i
D´efinition 1
On appelle cercle trigonom´etrique tout cercle de centre O, de rayon
1 muni d’une origine Aet d’un sens de parcours (sens direct).
Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
1.2 Abscisse curviligne
O
A
M
~
j
~
i
L’enroulement de la droite des r´eels sur le cercle trigonom´etrique permet
de mesurer l’arc orient´e
y
AM en reportant cette mesure sur un axe. Nous
obtenons ainsi une abscisse curviligne du point M.
Cette abscisse curviligne mesure aussi l’angle orient´e −→
OA;−−→ OM .
Exemples
Dans le plan orient´e, placer les points M,N,P,Qd’abscisse curviligne
respective 2π
3,−7π 4,23π 6,19π 6
•2π
3=3π 3−π 3=π−π 3
• −7π
4=−8π 4+pi 4=π 4−2π
•23π
6=24π 6−π 6=−π 6+ 4π
•19π
6=18π 6+π 6= 3π+π 6
O
A
M
N
P
Q
Trigonom´etrie Page 2 Francis Rignanese

Lyc´ee Marie Curie Tarbes
2 Cosinus et sinus sur le cercle trigonom´etrique
xd´esigne l’abscisse curviligne du point M sur le cercle trigonom´etrique.
D´efinition 2
•Le cosinus de xest l’abscisse du point M.
•Le sinus de xest l’ordonn´ee du point M.
Autrement dit le point M du cercle trigonom´etrique a pour coordonn´ees
(cos(x); sin(x))
En effet :
•dans le triangle rectangle OCM, cos(x) = OC
OM =OC, (OM = 1),
•dans le triangle rectangle OCM, sin(x) = OS
OM =OS, (OM = 1),
O
A
M
x
cos(x)
C
S
sin(x)
2.1 Lignes trigonom´etriques associ´ees
1.
cos(x+ 2π) = cos(x)
sin(x+ 2π) = sin(x)
2.
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = −sin(x)
x
O
A
M
N
3.
cos(π−x) = −cos(x)
sin(π−x) = sin(x)
x
O
A
M
N
4.
cos(π+x) = −cos(x)
sin(π+x) = −sin(x)
x
O
A
M
N
5.
cos(π
2−x) = sin(x)
sin(π
2−x) = cos(x)
O
A
M
N
6.
cos(π
2+x) = −sin(x)
sin(π
2+x) = cos(x)
x
O
A
M
N
2.2 Sinus et Cosinus remarquables
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21 0
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20 1
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