x - CAPES de Maths

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FONCTIONS DE
FONCTIONS DE
REFERENCE
REFERENCE
Seconde 4 – 2006/2007
Lycée de Bouxwiller
FONCTIONS DE
REFERENCE
ML - 2nde4 - 2006/2007 2
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions
usuelles (linéaires, affines, carré, inverse,
cosinus et sinus). Nous commencerons par des
rappels nécessaires sur les fonctions affines et
linéaires.
Les fonctions carré et inverse peuvent se visualiser
facilement grâce à la petite expérience suivante.

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Introduction
Il faut se munir d’une lampe dont l’abat jour est de
forme cylindrique. Trois cas sont alors possibles :
Plusieurs rayons ne ren-
contrent pas le mur. La
lumière forme alors une
hyperbole
hyperbole.
L’un des rayons de lumi-
ère est parallèle au mur.
La lumière forme alors
une parabole parabole.
Tous les rayons de lumi-
ère rencontrent le mur. La
lumière forme alors une
ellipse
ellipse.
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Exemple et contre-exemples :
1. La fonction définie sur Rpar
f: x
est affine car f(x) =
2. Les fonctions fet gsuivantes ne
sont pas affines :
I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
D
Dé éfinition finition : Une fonction
affine est une fonction f,
définie sur R, dont l’ex-
pression f(x) peut s’écrire :
f(x) = ax + b,
avec aet bdeux réels.
Remarques :
* Si b= 0, on dit que fest .
* Si a= 0, on dit que fest .
3
2
+
x
a
2
3
2
5
:3
2
:xxget
x
xf −− aa
3
2
3
1+x
Sens de variations
Sens de variations :
* Si aest positif, fest sur R.
* Si aest négatif, fest sur R.
lin
liné éaire aire
constante
constante
croissante
croissante
d
dé écroissante croissante

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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Sens de variations
Sens de variations – –d dé émonstration monstration :
On rappelle que pour montrer qu’une fonction est croissante, on montre que
u ; v⇒f (u) ; f (v).
Ici, f(x) = ax + b. Soient alors uet vdeux réels tels
que u;v. Alors :
f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v).
On sait par hypothèse que u – v est positif. Le
signe de f(u) – f(v) dépendra donc de celui de a.
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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Si a> 0, alors f(u) – f(v) ;0, donc f(u) ;f(v), et la
fonction fest alors croissante sur R.
Si a< 0, alors f(u) – f(v) ?0, donc f(u) ?f(v), et la
fonction fest alors décroissante sur R.

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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Repr
Repré ésentation graphique sentation graphique :
La représentation graphique de la
fonction affine f(x) = ax + best
une droite.
aest le de la
droite.
best .
Les fonctions affines sont les seules
à être représentées
graphiquement par des droites.
o1 2
-1
1
2
3
a
b
1
coefficient directeur
coefficient directeur
l
l’ ’ordonn ordonné ée e à àl l’ ’origine origine
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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Avant de voir une propriété importante, résolvons
l’exercice suivant :
Trouver l’équation de la droite qui passe par
les points de coordonnées :
A(0 ; 0) et B(2 ; 4)
C(1 ; 2) et D(0 ; 6)
E(–2 ; –1) et F(2 ; 5)

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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Les trois droites ont respectivement pour
équation :
y= 2x
y= – 4x+ 6
y= 1,5x+ 2
Trouver l’équation de la droite qui
passe par les points de coordonnées :
A(0 ; 0) et B(2 ; 4)
C(1 ; 2) et D(0 ; 6)
E(–2 ; –1) et F(2 ; 5)
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I
I – –FONCTIONS AFFINES FONCTIONS AFFINES
Représentations graphiques des droites :
o
2
4
6
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
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