FONCTIONS DE REFERENCE Seconde 4 – 2006/2007 Lycée de Bouxwiller Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les fonctions usuelles (linéaires, affines, carré, inverse, cosinus et sinus). Nous commencerons par des rappels nécessaires sur les fonctions affines et linéaires. Les fonctions carré et inverse peuvent se visualiser facilement grâce à la petite expérience suivante. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 2 1 Introduction Il faut se munir d’une lampe dont l’abat jour est de forme cylindrique. Trois cas sont alors possibles : Tous les rayons de lumière rencontrent le mur. La lumière forme alors une ellipse. ellipse FONCTIONS DE REFERENCE L’un des rayons de lumière est parallèle au mur. La lumière forme alors une parabole. parabole Plusieurs rayons ne rencontrent pas le mur. La lumière forme alors une hyperbole. hyperbole ML - 2nde4 - 2006/2007 3 I – FONCTIONS AFFINES Définition : Une fonction affine est une fonction f, définie sur R, dont l’expression f(x) peut s’écrire : f(x) = ax + b, avec a et b deux réels. Exemple et contre-exemples : 1. La fonction définie sur R par f:xa 1 2. Remarques : FONCTIONS DE REFERENCE 2 est affine car f(x) = x + 3 3 Les fonctions f et g suivantes ne sont pas affines : f :xa * Si b = 0, on dit que f est liné linéaire. * Si a = 0, on dit que f est constante. x+2 3 2 5 − 3 et g : x a − 3 x 2 x 2 Sens de variations : * Si a est positif, f est croissante sur R. * Si a est négatif, f est décroissante sur R. ML - 2nde4 - 2006/2007 4 2 I – FONCTIONS AFFINES Sens de variations – démonstration : On rappelle que pour montrer qu’une fonction est croissante, on montre que u ; v ⇒ f (u) ; f (v). Ici, f(x) = ax + b. Soient alors u et v deux réels tels que u ; v. Alors : f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v). On sait par hypothèse que u – v est positif. Le signe de f(u) – f(v) dépendra donc de celui de a. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 5 I – FONCTIONS AFFINES Si a > 0, alors f(u) – f(v) ; 0, donc f(u) ; f(v), et la fonction f est alors croissante sur R. Si a < 0, alors f(u) – f(v) ? 0, donc f(u) ? f(v), et la fonction f est alors décroissante sur R. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 6 3 I – FONCTIONS AFFINES Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction affine f(x) = ax + b est une droite. a est le coefficient directeur de la droite. b est l’ordonné ordonnée à l’origine . Les fonctions affines sont les seules à être représentées graphiquement par des droites. FONCTIONS DE REFERENCE 3 2 a 1 o 1 1 2 b -1 ML - 2nde4 - 2006/2007 7 I – FONCTIONS AFFINES Avant de voir une propriété importante, résolvons l’exercice suivant : Trouver l’équation de la droite qui passe par les points de coordonnées : A(0 ; 0) et B(2 ; 4) C(1 ; 2) et D(0 ; 6) E(–2 ; –1) et F(2 ; 5) FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 8 4 I – FONCTIONS AFFINES Les trois droites ont respectivement pour équation : Trouver l’équation de la droite qui passe par les points de coordonnées : y = 2x y = – 4x + 6 y = 1,5x + 2 FONCTIONS DE REFERENCE A(0 ; 0) et B(2 ; 4) C(1 ; 2) et D(0 ; 6) E(–2 ; –1) et F(2 ; 5) ML - 2nde4 - 2006/2007 9 I – FONCTIONS AFFINES Représentations graphiques des droites : 6 •D F • • 4 • C 2 o E FONCTIONS DE REFERENCE B • A • ML - 2nde4 - 2006/2007 10 5 I – FONCTIONS AFFINES y 3 Proprié Propriété importante !!! Si f est une fonction affine, alors f(x2) – f(x1), l’accroissement de l’image, est proportionnel à x2 – x1, l’accroissement de la variable. FONCTIONS DE REFERENCE y y 2 1 o x x 1 2 ML - 2nde4 - 2006/2007 x 3 11 I – FONCTIONS AFFINES Exemple d’illustration : Soit f(x) = 2x – 5. Recopier et compléter l’encadré suivant : diffé différence entre le plus grand et le plus petit x f(x) -2 -1 0 2 6 10 x …… diffé différence entre le plus grand et le plus petit FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 12 6 I – FONCTIONS AFFINES Démonstration : Si f est une fonction affine, alors f(x) = ax + b. Dans ce cas, f(x2) – f(x1) = (ax1 + b) – (ax2 + b) = ax1 + b – ax2 – b = ax1 – ax2 = a(x1 – x2). Cette dernière égalité exprime bien que f(x2) – f(x1) est proportionel à x1 – x2. Remarque : Le coefficient de proportionnalité est le nombre a de l’expression ax + b. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 13 I – FONCTIONS AFFINES Propriété réciproque : Si f(x2) – f(x1), l’accroissement de l’image, est proportionnel à x2 – x1, l’accroissement de la variable, alors f est une fonction affine. démonstration : L’hypothèse signifie qu’il existe un réel k tel que f(x1) – f(x2) = k (x1 – x2). Puisque cette égalité est valable pour tous x1 et x2, je choisis x1 = x et x2 = 0. Cela donne alors f(x1) – f(x2) = f(x) – f(0) = k (x – 0) = kx. Je pose enfin ℓ = f(0). Mon égalité précédente devient alors f(x) – ℓ = kx, c’est-à-dire f(x) = kx + ℓ. f est donc bien une fonction affine. RassurezRassurez-vous, cette dé démonstration n’ n’est pas à retenir !!! FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 14 7 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f(x) = x2. Sens de variations : La fonction carré est décroissante sur R– et croissante sur R+. Elle admet un minimum en 0 égal à f (0), c’est-à-dire 0 : FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 15 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Sens de variations – démonstration : Soient u et v deux réels tels que u ; v. Alors : f (u) – f (v) = u2 – v2 = (u – v)(u + v). Par hypothèse, u – v ; 0. Le signe de f (u) – f (v) dépendra donc de celui de u + v. Or, lorsque u et v sont positifs, leur somme aussi, donc f (u) – f (v) ; 0, et f est croissante sur R+. De plus, lorsque u et v sont négatifs, leur somme aussi, donc f (u) – f (v) ? 0, et f est décroissante sur R–. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 16 8 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Conséquence : • Si on applique la fonction carré à l’inégalité 0 b a b b, l’ordre est conservé : 0 b a2 b b2. • Si on applique la fonction carré à l’inégalité a b b b 0, l’ordre est inversé : 0 b b2 b a2. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 17 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Repré Représentation graphique : x –3 –2 –1 0 1 1,5 2,5 x2 9 4 1 0 1 2,25 6,25 8 6 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée « parabole ». 4 2 Remarque : L’axe des ordonnées est la médiatrice du segment [MM’], où M(x, x2) et M’(–x, x2). FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 J o I 18 9 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Quelques exercices rapides : 1. Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer : a) (– 0,3)2 et (– 0,093)2 ; c) (1 – π)2 et (– √2 – 1)2. b) (5,213)2 et (5,8)2 ; 2. Dans chaque cas, comparer sans utiliser la calculatrice, les nombres suivants : a) 19 et 11 √3 ; FONCTIONS DE REFERENCE b) √2 – √7 et √11 – 2√14. ML - 2nde4 - 2006/2007 19 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Quelques exercices rapides : 1. 2. a) (– 0,3)2 ? (– 0,093)2 car – 0,3 ; – 0,093 ; 0 ; car 0 ; 5,213 ; 5,8 ; b) (5,213)2 ; (5,8)2 2 2 c) (1 – π) ; (– √2 – 1) car – √2 – 1 ; 1 – π ; 0. a) 19 ? 11√3 car 192 = 361, (11√3)2 = 363 b) √2 – √7 < 0 et √11 – 2√14 > 0. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 20 10 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur R* par 1 f ( x) = x Sens de variations : La fonction inverse est sur ]–∞, 0[ et sur ]0, + ∞[ : FONCTIONS DE REFERENCE décroissante ML - 2nde4 - 2006/2007 21 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Sens de variations – démonstration : Soient u et v deux réels tels que u ; v. Alors : f (u) – f (v) = – = . Par hypothèse, v – u ? 0. Or, lorsque u et v sont positifs ou lorsque u et v sont négatifs, leur produit aussi, donc f (u) – f (v) ? 0, et f est décroissante à la fois sur ]–∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 22 11 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Remarques : • Si on applique la fonction inverse à l’inégalité 0 < a b b, l’ordre est inversé inversé . • Si on applique la fonction inverse à l’inégalité a b b < 0, l’ordre est aussi inversé inversé . • La double barre signifie que la fonction inverse n’est pas dé définie en 0 . On rappelle que 0 est dite « valeur interdite » pour x. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 23 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Repré Représentation graphique : x 1/x –3 –2 –0,33 –0,5 –1 – 0,5 1 1,5 2,5 –1 0,67 –2 1 0,4 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée « hyperbole ». 2 –2 o 2 -2 Remarque : L’origine du repère est le centre de symétrie du segment [MM’], où M(x, FONCTIONS DE REFERENCE ) et M’(–x, ). ML - 2nde4 - 2006/2007 24 12 II – FONCTION CARRE & FONCTION INVERSE Commentaires : • Pour tout x, x2 = (–x)2, aussi la parabole admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, et la fonction carré est paire . • Pour tout x non nul, les images de x et –x par la fonction inverse sont opposées, aussi l’hyperbole admet l’origine comme centre de symétrie, et la fonction inverse est impaire . FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 25 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Voici une animation. Observez ce qui se passe… FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 26 13 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS y Dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère la droite d, de repère (I ; K) avec IK = OI, tangente en I au cercle c de centre O et de rayon OI. x J N A tout nombre x, on fait correspondre le point M d’abscisse x dans le repère (I ; K). Par enroulement de la droite d autour du cercle c, le point M va coïncider avec un point N du cercle c. Ainsi, à tout nombre x correspond un point N unique sur le cercle c. FONCTIONS DE REFERENCE K c o I d ML - 2nde4 - 2006/2007 27 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Définition : Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le cercle c de centre O et de rayon 1 ainsi gradué s’appelle le cercle trigonométrique. M J o FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 x x N I 28 14 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Remarque : La droite d étant graduée, M peut avoir une coordonnée négative, et par « enroulement » autour du cercle c, il va définir un unique point N, à la différence qu’on enroule vers le bas au lieu d’enrouler vers le haut : ainsi le point N peut avoir (au moins) deux « coordonnées » différentes (une négative et une positive). Remarque : Lorsqu’on enroule « vers le haut », on parle de sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre). FONCTIONS DE REFERENCE M 2 J x N 2 x 1 1 3 ML - 2nde4 - 2006/2007 o I –1 29 III – FONCTIONS COSINUS & SINUS Illustrons cette remarque par l’animation suivante : Exercice : Quelles sont les valeurs qui correspondent aux points rouges ?? FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 30 15 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Définition : Soit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O ; I, J) et x un nombre réel. J 1 x On appelle cosinus de x, noté cos(x), l’abscisse dans (O ; I, J) du point N. o -1 On appelle sinus de x, noté sin(x), l’ordonnée dans (O ; I, J) du point N. FONCTIONS DE REFERENCE N sin(x) cos(x) 1I -1 ML - 2nde4 - 2006/2007 31 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Représentation graphique (construction) : On part de la construction des diapositives précédentes. Sur Géoplan, M est un point du cercle trigonométrique. Le point C admet alors pour coordonnées (x, cos(x)), où x est la longueur verte, et cos(x) est obtenu sur GéoplanW en prenant l’abscisse de M. t = 0.79 radians 2 π 2 1 1 π M 4 A O O' πM' 1 4 π 2 2 3π 5 π4 4 -1 FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 32 16 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS . FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 33 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS degré comme unité de Nous connaissons déjà le degré mesure d’angles. L’animation précédente nous permet de définir une nouvelle unité de mesure d’angles… FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 34 17 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Définition : Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1. π 1 1 π rad 1 rad c O 1 1 O 1 c Remarque : Un angle de mesure π rad intercepte sur le cercle c un arc de longueur π : cet angle a donc aussi pour mesure 180°. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 35 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS On a donc le tableau suivant (à recopier et à compléter) : 0° 30° 45° 60° 90° Angle α Angle en radians cos(α) sin(α) tan(α) FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 36 18 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Propriétés : Pour tout nombre x, • cos2(x) + sin2(x) = 1 ; • –1 b cos(x) b 1 et –1 b sin(x) b 1 ; • cos(–x) = cos(x) et sin(–x) = –sin(x) ; • cos(x + 2π) = cos(x) et FONCTIONS DE REFERENCE sin(x + 2π) = sin(x). ML - 2nde4 - 2006/2007 37 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Démonstration : • D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ONH : ON2 = OH2 + HN2. Or ON = 1, d’où 1 = cos2(x) + sin2(x). • On en déduit directement que 1 r cos2(x) et 1 r sin2(x), donc –1 b cos(x) b 1 et –1 b sin(x) b 1. J 1 x o -1 • N et N’ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, leurs abscisses sont donc égales et leurs ordonnées opposées. • La dernière propriété est illustrée. FONCTIONS DE REFERENCE N sin(x) ML - 2nde4 - 2006/2007 cos(x) 1I –x –sin(x) -1 N’ 38 19 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS La troisième propriété traduit la fait que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Définition : Puisque les fonctions cosinus et sinus vérifient la dernière propriété, on dit qu’elles sont périodiques de période 2π. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 39 III – FONCTION COSINUS & FONCTION SINUS Sens de variations (les tableaux suivants sont admis) : remarque : on peut constater ces variations sur les courbes. FONCTIONS DE REFERENCE ML - 2nde4 - 2006/2007 40 20