Série 05 Fichier

EPFL - Printemps 2017 M. Troyanov
Géométrie Riemannienne I Exercices
Série 5 24 mars 2017
5.1. Expliciter l’application de transport parallèle le long d’un horocycle du 1/2-plan hyperbolique
(une courbe de la forme γ(t)=(t, c)où cest une constante).
5.2. On considère un cercle parallèle à l’équateur de la sphère S2. Calculer l’holonomie le long de
cette courbe. Il peut être utile introduire le cône de R3dont l’intersection avec S2est exactement
la courbe considérée.
5.3. Soit Gun groupe de Lie. Un champs X∈Γ(G)est dit invariant à gauche si
Lg∗X=X.
Le difféomorphisme a été définie à la série 2. On note gl’ensemble des champs invariants à
gauche.
(a) Montrer que l’ensemble des champs invariants à gauche est un espace vectoriel et que
A:g−→ TgG
X7−→ X(g)
est un isomorphisme pour tout g∈G.
(b) En déduire que la sphère S2ne possède pas de structure de groupe de Lie.
(c) Montrer que l’opération
(X, Y )7→ [X, Y ]
donne à gune structure d’algèbre de Lie (on dit que gest l’algèbre de Le du groupe de Lie
g).
(d) Décrire la structure d’algèbre de Lie du groupe GLn(R), puis SLn(R).
(e) Montrer qu’il existe une unique connexion Dsur Gtelle que
Lg∗D=D.
Le "push-forward" d’une connexion Dest par définition la connexion
(Lg∗D)XY=Lg−1
∗(DLg∗XLg∗Y).
Montrer aussi que cette connexion est caractérisée par le fait que, pour tout couple de champs
Xet Yinvariants à gauche,
DXY= 0.
(f) Soit γ:R→Gune géodésique pour cette connexion telle que γ(0) = e. Montrer que γest
un morphisme de groupe. On dit que γest un groupe à un paramètre de G.

5.4.Quelques propriétés de l’exponentielle dans le groupe GLn(exercice facultatif).
On note Kle corps Rou C. On rappelle que si A∈ Mn(K), l’exponentielle de Aest définie par
exp(A) = X
k>0
Ak
k!.
(a) Rappeler comment construire des normes multiplicatives sur Mn(K)et en déduire que
exp(A)est bien définie.
(b) Calculer l’exponentielle d’une matrice diagonale et de
0−θ
θ0
(c) Calculer la différentielle de exp en 0. En déduire que exp est un difféomorphisme local en 0.
Comment résout-on le système différentiel ˙ X=AX,X(0) = X0?
(d) Montrer que exp(A)est un polynôme en A.
(e) Montrer que si Uet Vcommutent alors exp(U+V) = exp(U)·exp(V). En déduire que exp
est à valeurs dans GLn(K)et aussi que, pour tout A,
ϕ:C−→ GLn(K)
t7−→ exp(tA)
est un groupe à un paramètre.
(f) Montrer que exp(P−1AP ) = P−1exp(A)P. En déduire que det(exp A) = exp(trA).
(g) On suppose maintenant K=C. Trouver la décomposition de Dunford de exp Aen fonction
de celle de A. En déduire que Aest diagonalisable si et seulement si exp Adiagonalisable.
(h) Toujours avec la décomposition de Dunford de exp A, montrer que l’image de exp est GLn(C)
tout entier. De plus, si A∈GLn(C), montrer que l’on peut trouver un antécédent à Aqui
est un polynôme en A.
(i) Soit Hun sous groupe de GLn(C)qui contient l’identité un voisinage de l’identité. Montrer
que H=GLn(C). On pourra montrer que Hest à la fois ouvert et fermé, puis que GLn(C)
est connexe. Retrouver le résultat de la question précédente.
(j) Soit A∈GLn(R). Montrer que Aest dans l’image de l’exponentielle si et seulement s’il
existe B∈GLn(R)telle que A=B2.
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