Série 05 Fichier

EPFL - Printemps 2017
Géométrie Riemannienne I
M. Troyanov
Exercices
Série 5
24 mars 2017
5.1. Expliciter l’application de transport parallèle le long d’un horocycle du 1/2-plan hyperbolique
(une courbe de la forme γ(t) = (t, c) où c est une constante).
5.2. On considère un cercle parallèle à l’équateur de la sphère S2 . Calculer l’holonomie le long de
cette courbe. Il peut être utile introduire le cône de R3 dont l’intersection avec S2 est exactement
la courbe considérée.
5.3. Soit G un groupe de Lie. Un champs X ∈ Γ(G) est dit invariant à gauche si
Lg∗ X = X.
Le difféomorphisme a été définie à la série 2. On note g l’ensemble des champs invariants à
gauche.
(a) Montrer que l’ensemble des champs invariants à gauche est un espace vectoriel et que
A:
g −→ Tg G
X 7−→ X(g)
est un isomorphisme pour tout g ∈ G.
(b) En déduire que la sphère S2 ne possède pas de structure de groupe de Lie.
(c) Montrer que l’opération
(X, Y ) 7→ [X, Y ]
donne à g une structure d’algèbre de Lie (on dit que g est l’algèbre de Le du groupe de Lie
g).
(d) Décrire la structure d’algèbre de Lie du groupe GLn (R), puis SLn (R).
(e) Montrer qu’il existe une unique connexion D sur G telle que
Lg∗ D = D.
Le "push-forward" d’une connexion D est par définition la connexion
(Lg∗ D)X Y = Lg∗−1 (DLg∗ X Lg∗ Y ).
Montrer aussi que cette connexion est caractérisée par le fait que, pour tout couple de champs
X et Y invariants à gauche,
DX Y = 0.
(f) Soit γ : R → G une géodésique pour cette connexion telle que γ(0) = e. Montrer que γ est
un morphisme de groupe. On dit que γ est un groupe à un paramètre de G.
5.4. Quelques propriétés de l’exponentielle dans le groupe GLn (exercice facultatif ).
On note K le corps R ou C. On rappelle que si A ∈ Mn (K), l’exponentielle de A est définie par
exp(A) =
X Ak
k>0
k!
.
(a) Rappeler comment construire des normes multiplicatives sur Mn (K) et en déduire que
exp(A) est bien définie.
(b) Calculer l’exponentielle d’une matrice diagonale et de
0 −θ
θ 0
(c) Calculer la différentielle de exp en 0. En déduire que exp est un difféomorphisme local en 0.
Comment résout-on le système différentiel Ẋ = AX, X(0) = X0 ?
(d) Montrer que exp(A) est un polynôme en A.
(e) Montrer que si U et V commutent alors exp(U + V ) = exp(U ) · exp(V ). En déduire que exp
est à valeurs dans GLn (K) et aussi que, pour tout A,
ϕ : C −→ GLn (K)
t 7−→ exp(tA)
est un groupe à un paramètre.
(f) Montrer que exp(P −1 AP ) = P −1 exp(A)P . En déduire que det(exp A) = exp(trA).
(g) On suppose maintenant K = C. Trouver la décomposition de Dunford de exp A en fonction
de celle de A. En déduire que A est diagonalisable si et seulement si exp A diagonalisable.
(h) Toujours avec la décomposition de Dunford de exp A, montrer que l’image de exp est GLn (C)
tout entier. De plus, si A ∈GLn (C), montrer que l’on peut trouver un antécédent à A qui
est un polynôme en A.
(i) Soit H un sous groupe de GLn (C) qui contient l’identité un voisinage de l’identité. Montrer
que H =GLn (C). On pourra montrer que H est à la fois ouvert et fermé, puis que GLn (C)
est connexe. Retrouver le résultat de la question précédente.
(j) Soit A ∈ GLn (R). Montrer que A est dans l’image de l’exponentielle si et seulement s’il
existe B ∈GLn (R) telle que A = B 2 .
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