Notes préparatoires au laboratoire 1 (VE) Séquence 1

201-NYB-05 – Calcul intégral
Session Hiver 2010
Notes préparatoires au laboratoire 1 (VE)
Séquence 1
Évaluation d’une fonction à l’aide d’une méthode numérique
Objectif
Connaissant la dérivée d’une fonction et la valeur en un point, nous voulons approcher une fonction, c’està-dire obtenir des valeurs approximatives de cette fonction dans un certain intervalle donné ainsi qu’une
représentation graphique à partir de ces valeurs. Il existe plusieurs méthodes numériques, nous allons vous
présenter la plus simple d’entre elles.
Connaissances antérieures
En calcul différentiel NYA, vous avez vu dans le chapitre 5 que vous pouviez linéariser une fonction f en
un point (a,f(a)) et trouver une valeur approximative de f(b) à l’aide de la différentielle. Revenons un peu
sur cette notion.
y
À partir d’une fonction f connue et d’un point connu (a,f(a)),
nous pouvons calculer une valeur approximative de f(b) ainsi : f(b)=f(a+Δx)
y =
d’où
f (b)
=
y
ou encore f (a  x ) =
dy
=
d x x a
abrégé, que d y =
Comme
, nous pouvons écrire, en
dy
f(a)
De plus, d y  lim y ¸ cela signifie que dy est une bonne
Δx=dx
a
x 0
b
a + Δx
approximation de  y lorsque x est petit.
De f (b)  f (a )  y et de dy  y si x est petit, nous pouvons déduire ceci :
ce qui équivaut à écrire que :
Ceci nous permet d’approcher la valeur de f(b) = f(a+Δx) à l’aide de la différentielle.
Évaluation d’une fonction inconnue connaissant sa dérivée et un point
En calcul intégral, la dérivée d’une fonction f est connue ainsi qu’un point de la courbe de f et on veut
trouver la fonction f. Nous pouvons utiliser deux méthodes : l’une dite numérique et l’autre analytique.
La méthode numérique permet strictement d’avoir des valeurs approximatives de la fonction et non son
expression algébrique, car nous utilisons l’approximation d’une fonction par sa différentielle pour calculer
ces valeurs. La méthode analytique consiste à faire le processus inverse de la dérivation, c’est-à-dire que
nous allons intégrer la dérivée f '( x) à l’aide de méthodes d’intégration afin de déterminer l’expression
algébrique de f(x).
La première méthode a plusieurs variantes possibles, mais nous allons voir une méthode simple basée sur
la méthode d’Euler. Cette méthode consiste à effectuer une succession d’itérations afin de déterminer les
valeurs approximatives f(xi) où i = 0,1,2,… Pour calculer ces valeurs approximatives de f(xi), nous
utilisons l’approximation d’une fonction à l’aide de la différentielle.
x
Procédure d’application de la méthode numérique

Nous connaissons le taux de variation de la fonction en tout point ainsi que le point de départ
A0(x0, y0) où y0  f ( x0 ) et nous fixons une valeur pour dx (ou Δx).

Nous pouvons alors calculer d y x  f '( x0 )  dx .
0

Nous obtenons alors y1  y 0  f '( x 0 )  dx . Ceci donne une première approximation de y1 = f(x1), car
f ( x1 )  f ( x 0  x )  f ( x 0 )  f '( x 0 )  dx .
Véritable courbe de f
y
y 3  y 2  f '( x 2 )  d x
● A3(x3, y3)
dy
y 2  y1  f '( x1 )  d x
●
Δx=dx
A2(x2, y2)
dy
y1  y 0  f '( x 0 )  dx
A1(x1, y1)
y0  f ( x0 )
●
Δx=dx
dy
A0(x0, y0)
x0

Δx=dx
●
x1  x 0   x
x 2  x1   x
x3  x 2  x
x
Cette valeur de y1 (où y1  f ( x1 ) ) étant connue, nous recommençons le même raisonnement pour
déterminer les autres yi où yi  f ( xi ) pour i=1, 2, 3, .
Exemple
Prenons l’exemple de la population du fascicule « Mathématiques et environnement », page 23, où le taux de
variation de la population au temps t est donné par : P '(t )  0, 2  P(t ) et la population initiale est de P(0) = 1 000
habitants. Déterminons de proche en proche l’évolution de la population à partir du temps t = 0 et d’année en
année, c'est-à-dire selon des intervalles de temps  t  dt  1 an.
Au temps ti
Population au temps ti
P(ti)
Variation en P selon la tangente
dP  P '(t i )  dt  0, 2  P(t i )  dt
ti
Population au temps ti +Δt
P(ti+Δt) = P(ti) + dP
ti
t0 = 0
t1 = 1
Le graphe des valeurs approximatives
de la population est illustré ci-contre :
Pour calculer les valeurs du tableau et
tracer le graphique, le tableur Excel est
facile à utiliser et donne de bons
résultats.
Population approx.
(habitants)
t2 = 2
Population approxim ative en fonction du tem ps
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
Tem ps t (années)
5
6