201-NYB-05 – Calcul intégral Session Hiver 2010
Notes préparatoires au laboratoire 1 (VE) Séquence 1
Évaluation d’une fonction à l’aide d’une méthode numérique
Objectif
Connaissant la dérivée d’une fonction et la valeur en un point, nous voulons approcher une fonction, c’est-
à-dire obtenir des valeurs approximatives de cette fonction dans un certain intervalle donné ainsi qu’une
représentation graphique à partir de ces valeurs. Il existe plusieurs méthodes numériques, nous allons vous
présenter la plus simple d’entre elles.
Connaissances antérieures
En calcul différentiel NYA, vous avez vu dans le chapitre 5 que vous pouviez linéariser une fonction f en
un point (a,f(a)) et trouver une valeur approximative de f(b) à l’aide de la différentielle. Revenons un peu
sur cette notion.
À partir d’une fonction f connue et d’un point connu (a,f(a)),
nous pouvons calculer une valeur approximative de f(b) ainsi :
= d’où
=
ou encore
=
Comme
= , nous pouvons écrire, en
abrégé, que
=
De plus,
¸ cela signifie que
est une bonne
approximation de
lorsque
est petit.
De ( ) ( ) et de si est petit, nous pouvons déduire ceci : f b f a y dy y x
ce qui équivaut à écrire que :
Ceci nous permet d’approcher la valeur de f(b) = f(a+Δx) à l’aide de la différentielle.
Évaluation d’une fonction inconnue connaissant sa dérivée et un point
En calcul intégral, la dérivée d’une fonction f est connue ainsi qu’un point de la courbe de f et on veut
trouver la fonction f. Nous pouvons utiliser deux méthodes : l’une dite numérique et l’autre analytique.
La méthode numérique permet strictement d’avoir des valeurs approximatives de la fonction et non son
expression algébrique, car nous utilisons l’approximation d’une fonction par sa différentielle pour calculer
ces valeurs. La méthode analytique consiste à faire le processus inverse de la dérivation, c’est-à-dire que
nous allons intégrer la dérivée
à l’aide de méthodes d’intégration afin de déterminer l’expression
algébrique de f(x).
La première méthode a plusieurs variantes possibles, mais nous allons voir une méthode simple basée sur
la méthode d’Euler. Cette méthode consiste à effectuer une succession d’itérations afin de déterminer les
valeurs approximatives f(xi) où i = 0,1,2,… Pour calculer ces valeurs approximatives de f(xi), nous
utilisons l’approximation d’une fonction à l’aide de la différentielle.