Chapitre 5 section 3 Le mouvement rectiligne

Chapitre 1
Différentielle et méthode de Euler
Connaissant la dérivée d’une fonction et
la valeur en un point, nous voulons
approcher la fonction, c’est-à-dire
obtenir des valeurs approximatives de
cette fonction dans un certain intervalle
donné ainsi qu’une représentation
graphique à partir de ces valeurs.
Connaissances antérieures
À partir d’une fonction f connue et d’un point
connu (a,f(a)), nous voulons calculer une valeur y
approximative de f(b) ainsi :
f(b)=f(a+Δx)
y  f (b)  f (a ) d'où
f ( b )  f ( a )  y
ou f ( a  x )  f ( a )  y
dy
 f '(a ), nous pouvons écrire,
dx x  a
f(a)
en abrégé, que d y  f '(a )  d x .
y
Comme
De plus, d y  lim y , cela signifie que dy est une
x  0
bonne approximation de y lorsque x est petit.
dy
Δx=dx
a
b
a + Δx
De f (b)  f (a )  y et de dy  y si x est petit, nous pouvons déduire ceci :
f (b)  f (a )  d y  f (a )  f '(a )  d x ,
ce qui est équivalent à dire que f (a  x )  f (a )  f' (a )  d x .
Ceci nous permet d’approcher la valeur de f(b) = f(a+Δx) à l’aide de la
différentielle.
x
Évaluation d’une fonction

Méthode numérique


connaissant sa dérivée et un point
valeurs approximatives de la fonction
Méthode analytique

processus inverse de la dérivation qui
nous permet d’obtenir l’expression
analytique de la fonction
Méthode numérique d’Euler
Nous connaissons le point de départ A0(x0, y0) et nous fixons une valeur
pour dx (ou Δx).
Nous pouvons alors calculer dy x  f '( x0 )dx .
0
Nous obtenons alors y1  f ( x0 )  f '( x0 )dx . Ceci donne une première
approximation de f(x1), car f ( x1 )  f ( x0  x )  f ( x0 )  f '( x0 )dx .
Véritable courbe de f
y
y 3  y 2  f '( x 2 )  d x
● A3(x3, y3)
dy
y 2  y1  f '( x1 )  d x
●
Δx=dx
A2(x2, y2)
dy
y1  y 0  f '( x 0 )  dx
y0  f ( x0 )
Δx=dx
●
A1(x1, y1)
●
Δx=dx
dy
A0(x0, y0)
x0
x1  x 0   x
x 2  x1   x
x3  x 2  x
x
Cette valeur de y1 (où y1  f ( x1 ) ) étant connue, nous recommençons le
même raisonnement pour calculer les autres yi où yi  f ( xi ) pour i  1.
Exemple
Soit une population dont le taux de variation de la population au temps t est donné par :
P '( t )  0, 2 P ( t ) et la population initiale est de P(0) = 1 000 habitants.
Déterminons de proche en proche l’évolution de la population à partir du temps t = 0 et
d’année en année, i.e. selon des intervalles de temps t  dt  1 an.
Au
Population au
temps ti temps ti : P(ti)
Variation de P selon la tangente
dP t  P '( ti )  dt  0, 2  P ( t i )  dt
Population au temps ti +Δt
P(ti+Δt) = P(ti) + dP
ti
i
P(t0) = P(0)
= 1 000
dP t  0,2  P (0)  dt
0
 0,2  1000  1  200
P  1   P  0   dP t  1200
0
t1 = 1
P(t1) = P(1)
=1 200
dP t  0,2  P (1)  dt
1
 0,2  1200  1  240
P  2   P  1   dP t  1440
1
t2 = 2
P(t2) = P(2)
= ….
Le graphe des valeurs
approximatives de la population est
illustré ci-contre :
Pour calculer les valeurs du tableau
et tracer le graphique, le tableur
Excel est facile à utiliser et donne de
bons résultats.
Population approx.
(habitants)
t0 = 0
Population approxim ative en fonction du tem ps
4000
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
Tem ps t (années)
5
6