Chapitre 5 section 3 Le mouvement rectiligne

Chapitre 1
Différentielle et méthode de Euler
Connaissant la dérivée d’une fonction et
la valeur en un point, nous voulons
approcher la fonction , c’est-à-dire
obtenir des valeurs approximatives de
cette fonction dans un certain intervalle
donné ainsi qu’une représentation
graphique à partir de ces valeurs.

Connaissances antérieures
y
x
y
b
a + Δx
f(b)=f(a+Δx)
Δx=dx
a
f(a)
dy
À partir d’une fonction fconnue et d’un point
connu (a,f(a)), nous voulons calculer une valeur
approximative de f(b) ainsi :
( ) ( ) d'où ( ) ( )
ou ( ) ( )
d
Comme '( ), nous pouvons écrire,
d
en abrégé, que d '( ) d .
xa
y f b f a f b f a y
f a x f a y
yfa
x
y f a x
De ( ) ( ) et de dy si est petit, nous pouvons déduire ceci :
( ) ( ) d ( ) '( ) d ,
ce qui est équivalent à dire () que .( ) ( ) d
f b f
f a x f a f' a
a y y x
f b f a y f a a
x
fx
Ceci nous permet d’approcher la valeur de f(b) = f(a+Δx) à l’aide de la
différentielle.
0
De plus, d lim , cela signifie que d est une
bonne approximation de lorsque est petit.
x
y y y
yx

Évaluation d’une fonction connaissant sa dérivée et un point
Méthode numérique
valeurs approximatives de la fonction
Méthode analytique
processus inverse de la dérivation qui
nous permet d’obtenir l’expression
analytique de la fonction

Méthode numérique d’Euler
Nous connaissons le point de départ A0(x0, y0) et nous fixons une valeur
pour dx (ou Δx).
Nous pouvons alors calculer
0
0'( )
x
dy f x dx
.
Nous obtenons alors
1 0 0
( ) '( )y f x f x dx
. Ceci donne une première
approximation de f(x1), car
1 0 0 0
( ) ( ) ( ) '( )f x f x x f x f x dx    
.
dy
dy
dy
Δx=dx
Δx=dx
Δx=dx
y
x
Véritable courbe de f
00
()y f x
●
●
●
●
10
x x x  
0
x
21
x x x  
32
x x x  
A0(x0, y0)
A1(x1, y1)
A2(x2, y2)
A3(x3, y3)
1 0 0
'( )y y f x dx  
2 1 1
'( ) dy y f x x  
3 2 2
'( ) dy y f x x  
Cette valeur de y1 (où
11
()y f x
) étant connue, nous recommençons le
même raisonnement pour calculer les autres yi où
pour( ) i 1.
ii
y f x

Exemple
Soit une population dont le taux de variation de la population au temps t est donné par :
'( ) 0,2 ( )P t P t
et la population initiale est de P(0) = 1 000 habitants.
Déterminons de proche en proche l’évolution de la population à partir du temps t = 0 et
d’année en année, i.e. selon des intervalles de temps
1t dt  
an.
Au
temps ti
Population au
temps ti : P(ti)
Variation de P selon la tangente
'( ) 0,2 ( )
ii
i
t
dP P t dt P t dt    
Population au temps ti +Δt
P(ti+Δt) = P(ti) +
i
t
dP
t0 = 0
P(t0) = P(0)
= 1 000
00,2 (0)
0,2 1000 1 200
t
dP P dt  
0
1 0 1200
t
P P dP  
t1 = 1
P(t1) = P(1)
=1 200
10,2 (1)
0,2 1200 1 240
t
dP P dt  
1
2 1 1440
t
P P dP  
t2 = 2
P(t2) = P(2)
= ….
Le graphe des valeurs
approximatives de la population est
illustré ci-contre :
Pour calculer les valeurs du tableau
et tracer le graphique, le tableur
Excel est facile à utiliser et donne de
bons résultats.
Population approximative en fonction du temps
0
1000
2000
3000
4000
0 1 2 3 4 5 6
Temps t (années)
Population approx.
(habitants)