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D´eveloppements d’analyse pour l’agr´egation
Brice Loustau

Table des mati`eres
Correspondance le¸cons ↔d´eveloppements 4
1 Sous-espaces de dimension finie de C(R,C)stables par translations 10
2 D´enombrement des partitions de {1, ..., n}12
3 L’espace H1(I)14
4 Th´eor`eme d’´echantillonnage de Shannon 18
5 Formule de Poisson et application 21
6 Densit´e des polynˆomes orthogonaux 24
7 Th´eor`eme de Cartan-von Neumann 27
8 Tipi de Cantor 29
9 Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss 32
10 Th´eor`eme de Brouwer 34
11 Th´eor`eme de Gershg¨ orin 37
12 Th´eor`eme de Jordan 39
13 M´ethode du gradient `a pas conjugu´e 42
14 M´ethode de quadrature ´el´ementaire de Gauss 46
15 Th´eor`eme de Hadamard-L´ evy 49
16 Suites ´equir´eparties modulo 151
17 M´ethode de Newton 54
18 Lemme de Morse 56
19 Int´egrale de Fresnel 58
20 Calcul d’une int´egrale 61
21 Fonctions lipschitziennes 63
22 ´ Etude d’un syst`eme dynamique discret et de son ´equivalent continu 66
2

23 M´ethode de Laplace 68
24 Sous-espaces ferm´es de Lp70
25 Th´eor`eme de stabilit´e de Liapounov 72
26 Continuit´e des fonctions convexes 74
R´ef´erences 76
3

Correspondance le¸cons ↔d´eveloppements
Le¸cons D´eveloppements
201 Espaces de fonctions. Exemples et
applications.
(AN01 Sous-espaces stables par translations)
AN03 L’espace H1(I)
AN04 Th´eor`eme de Shannon
(AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux)
AN21 Fonctions lipschitziennes
202 Exemples de parties denses et applications.
AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux
AN16 Suites ´equir´eparties
(AN21 Fonctions lipschitziennes)
(AN23 Sous-espaces ferm´es de Lp)
203 Utilisation de la notion de compacit´e.
((AN08 Tipi de Cantor))
AN09 Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss
(AN10 Th´eor`eme de Brouwer)
AN11 Th´eor`eme de Gershg¨ orin
AN12 Th´eor`eme de Jordan
AN15 Th´eor`eme de Hadamard-L´ evy
(AL16 D´ecomposition polaire)
AL26 Continuit´e des fonctions convexes
204 Connexit´e. Exemples et applications.
AL04 Th´eor`eme de Lie-Kolchin
AN08 Tipi de Cantor
AN09 Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss
(AN10 Th´eor`eme de Brouwer)
AN11 Th´eor`eme de Gershg¨ orin
AN12 Th´eor`eme de Jordan
AN15 Th´eor`eme de Hadamard-L´ evy
205 Espaces complets. Exemples et applications.
AN03 L’espace H1(I)
(AN04 Th´eor`eme de Shannon)
(AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux)
((AN08 Tipi de Cantor))
AN23 Sous-espaces ferm´es de Lp
206 Utilisation de th´eor`emes de point fixe.
AL02 Sous-groupes compacts du groupe lin´eaire
AN10 Th´eor`eme de Brouwer
4

(AN17 M´ethode de Newton)
AL28 Th´eor`emes de Perron-Frobenius
207 Prolongement de fonctions. Applications.
AN03 L’espace H1(I)
(AN04 Th´eor`eme de Shannon)
AN21 Fonctions lipschitziennes
208 Utilisation de la continuit´e uniforme en
analyse.
((AN03 L’espace H1(I)))
AN12 Th´eor`eme de Jordan
209 Utilisation de la d´enombrabilit´e en analyse et
en probabilit´es.
(AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux)
((AN08 Tipi de Cantor))
AN21 Fonctions lipschitziennes
AN24 Sous-espaces ferm´es de Lp
210 Applications lin´eaires continues entre espaces
vectoriels norm´es. Exemples et applications.
(AN03 L’espace H1(I))
AN04 Th´eor`eme de Shannon
AN21 Fonctions lipschitziennes
AN24 Sous-espaces ferm´es de Lp
211 Utilisation de la dimension finie en analyse.
(AN01 Sous-espaces stables par translations)
AN10 Th´eor`eme de Brouwer
AN15 Th´eor`eme de Hadamard-L´ evy
(AN25 Th´eor`eme de stabilit´e de Liapounov)
AL26 Continuit´e des fonctions convexes
212 M´ethodes hilbertiennes en dimension finie et
infinie.
AN03 L’espace H1(I)
AN04 Th´eor`eme de Shannon
AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux
AN10 Th´eor`eme de Brouwer
AN13 M´ethode du gradient conjugu´e
AN14 M´ethode de quadrature de Gauss
AN24 Sous-espaces ferm´es de Lp
213 Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
AN04 Th´eor`eme de Shannon
AN06 Densit´e des polynˆomes orthogonaux
(AN14 M´ethode de quadrature de Gauss)
214 Applications du th´eor`eme d’inversion locale
et du th´eor`eme des fonctions implicites.
AN07 Th´eor`eme de Cartan-von Neumann
AN09 Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss
AN10 Th´eor`eme de Brouwer
AN15 Th´eor`eme de Hadamard-L´ evy
5