Cours 4: Programmation linéaire

1-1
Cours 4: Programmation lin´eaire
•Position du probl`eme
•Dualit´e.
•D´eg´en´erescence et terminaison de l’algorithme
•Algorithme du simplexe g´en´erique
Gilles Schaeffer INF-551-4: Programmation lin´eaire

2-1
Un probl`eme de programmation lin´eaire
Donn´ees: Une matrice r´eelle A= (ai,j )de taille m×n,
un vecteur b= (b1,...,bm)de taille m,
un vecteur c= (c1,...,cn)de taille n.
Probl`eme: Trouver un point x= (x1,...,xn)qui
•satisfait les mcontraintes ai,1x1+...+ai,nxn≤bi,
•et maximise le produit c·x=c1x1+...+cnxn.
Gilles Schaeffer INF-551-4: Programmation lin´eaire

2-2
Un probl`eme de programmation lin´eaire
Donn´ees: Une matrice r´eelle A= (ai,j )de taille m×n,
un vecteur b= (b1,...,bm)de taille m,
un vecteur c= (c1,...,cn)de taille n.
Probl`eme: Trouver un point x= (x1,...,xn)qui
•satisfait les mcontraintes ai,1x1+...+ai,nxn≤bi,
•et maximise le produit c·x=c1x1+...+cnxn.
Reformulation matricielle: on cherche max(c·x|Ax ≤b).
Gilles Schaeffer INF-551-4: Programmation lin´eaire

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Un probl`eme de programmation lin´eaire
Donn´ees: Une matrice r´eelle A= (ai,j )de taille m×n,
un vecteur b= (b1,...,bm)de taille m,
un vecteur c= (c1,...,cn)de taille n.
Probl`eme: Trouver un point x= (x1,...,xn)qui
•satisfait les mcontraintes ai,1x1+...+ai,nxn≤bi,
•et maximise le produit c·x=c1x1+...+cnxn.
Reformulation matricielle: on cherche max(c·x|Ax ≤b).
Gilles Schaeffer INF-551-4: Programmation lin´eaire
Remarque: Les ai,j ,biet cipeuvent ˆetre n´egatifs, on peut donc
mod´eliser des contraintes ≥ou =et chercher min au lieu de max.

3-1
Un exemple bateau: le fleuriste
Donn´ees. En stock: 50 lys, 80 roses, 80 jonquilles.
Composition des bouquets au catalogue:
•10 lys, 10 roses, 20 jonquilles: 4 euros
•10 lys, 20 roses, 10 jonquilles: 5 euros
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