Corrigé

EXAMEN ANNEE 2010-2011
Licence Economie 2e année
1re SESSION
3e SEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Eléments de correction
Exercice I (15 min, 3 points)
On considère une variable aléatoire continue X de densité fX représentée ci-dessous :
1) Le graphe est celui d’une fonction positive (au dessus de l’axe des x) continue (sauf en 1, 2, 3, 4, 5 et 6) et d’intégrale
1 (correspondant à l’aire entre la courbe et l’axe des x).
2)
a) P .X < 1/ D .X > 6/ D P .3 6 X 6 4/ D 0 car l’aire correspondante est nulle.
b) P .1 6 X 6 3/ D 0:5. C’est l’aire comprise entre l’axe des x, la courbe, entre x D 1 et x D 3. Soit l’aire de deux
rectangles de largeur 1 et de hauteur 0:2 et 0:3. On peut aussi voir que par symétrie c’est la moitié de l’aire totale.
c) P .1 6 X 6 2/ D 0:2 car c’est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de hauteur 0:2.
d) P .2 6 X 6 5/ D 0:6 car c’est l’aire de deux rectangle de largeur 1 et de haute 0:3.
3) Par symétrie, l’espérance de X est égale à la médiane de X , soit E.X / D 3:5.
4) La variable prenant des valeurs (avec une probabilité non-nulle) entre 1 et 6, on a
1 6 X 6 6 H)
2:5 D 1
3:5 6 X
E.X / 6 6
3:5 D 2:5
L’écart maximum est donc inférieur ou égal à 2:5. Il en est de même pour l’écart-type.
Exercice II (35 min, 5 points)
1) On a X ,! N .30; 3/.
2) La probabilité que la durée du trajet soit supérieure à 36 minutes est
P .X > 36/ D 1
P .X 6
P .X 6 36/ D 1
36 30
3 /
D1
P .X 6 2/ D 1
0:9772 D 0:0228
3) La probabilité que la durée du trajet soit inférieure à 27 minutes est
P .X 6 27/ D P .X 6
27 30
3 /
D P .X 6
1/ D 1
P .X 6 1/ D 1
0:8413 D 0:1587
4) La probabilité que la durée du trajet soit comprise entre 27 et 36 minutes est
P .27 6 X 6 36/ D P .X 6 36/
P .X 6 27/ D .1
0:0228/
0:1587 D 0:8185
5) On a Y ,! N .25; 8/.La probabilité d’être à l’heure à son travail en empruntant la seconde route est
25
/ D P .X 6 1:375/ D 0:915
8
Or, on a vu que P .X 6 36/ D 0:9772. Donc, Monsieur Papressé doit prendre le premier trajet.
6) On sait que Z ,! N .20; / et que P .Z > 40/ D 0:10.
a) On a
P .Y 6 36/ D P .X 6
P .Z > 40/ D 0:10 H) P .Z 6
36
40 20
/
D 0:90 H)
20
D z0:90 D 1:285 H) D 15:56
b) On a
P .Z 6 36/ D P .Z 6
36 20
15:56 /
Le premier trajet est toujours préférable.
1
D P .Z 6 1:028/ D 0:8485
Exercice III (20 min, 4 points)
1) On a P .A/ D 0:6 et P .B/ D 0:4 et P .A \ B/ D 0:1
a) P .A [ B/ D P .A/ C P .B/ P .A \ B/ D 0:90
b) P .A [ B/ D 1 P .A [ B/ D 0:10
c) P .A [ B/ P .A \ B/ D 0:80
2) On considère un client qui possède une carte VISA. La probabilité qu’il possède aussi une carte MasterCard est
P .BjA/ D
P .A \ B/
0:1
D
D 0:1667
P .A/
0:6
3) On considère un client qui possède au moins une carte. La probabilité que ce soit une carte VISA est
P .AjA [ B/ D
P .A/
0:6
D
D 0:6667
P .B/
0:9
Exercice IV (40 min, 6 points)
Un organisme bancaire a établi pour ses clients le nombre moyen (Y ) de paiements quotidiens effectués par carte
bancaire en fonction du nombre (X ) de cartes possédées. La répartition est résumée dans le tableau suivant :
X
Y
1
2
0
0.25
0.05
1
0.25
0.05
2
0.10
0.15
3
0.05
?
1) Probabilités
a) La somme des probabilités conjointes étant égale à 1, on en déduit que la probabilité manquante est 0:1.
b) La probabilité qu’un client possède 1 carte et effectue 2 paiements quotidiens par carte est P .X D 1 et Y D 2/ D
0:10.
c) La probabilité qu’un client possède 1 carte est P .X D 1/ D 0:25 C 0:25 C 0:1 C 0:05 D 0:65
d) La probabilité qu’un client effectue 2 paiements quotidiens par carte sachant qu’il possède 1 carte est P .Y D
2jX D 1/ D 0:10=0:65 D 0:1538
2) Lois marginales
a) E.X/ D 1:35, E.X 2 / D 2:06, Var.X / D 0:2275. E.Y / D 1:25, E.Y 2 / D 2:65, Var.Y / D 1:08.
b) Le nombre moyen de paiements quotidiens est E.X / D 1:35.
3) Lois conditionnelles
a) La loi conditionnelle de Y sachant que X D 1 est donnée par les probabilités P .Y D yj jX D 1/ D P .Y D
yj et X D 1/=P .X D 1/. D’où
Y jX D 1
P
0
0.3846
1
0.3846
2
0.1538
3
0.0769
b) Il s’agit de la distribution de probabilité du nombre de paiements pour un individu ne possédant qu’une seule
carte bancaire.
c) Les variables X et Y ne sont pas indépendantes car la loi conditionnelle de Y n’est pas égale à la loi marginale de
Y.
d) L’espérance conditionnelle E.Y jX D 1/ est l’espérance de la loi ci-dessus. On trouve E.Y jX D 1/ D 0:9229.
e) Elle représente le nombre moyen (théorique) de paiements par CB pour un individu ne possédant d’une seule
carte bancaire.
4) Corrélation
a) L’espérance de X Y est
XX
E.X Y / D
xi yj pij D 1:9
i
j
b) On en déduit la valeur de la covariance
Cov.X; Y / D E.X Y /
E.X / E.Y / D 1:9
1:35 1:25 D 0:2125
et du coefficient de corrélation linéaire
Cov.X; Y /
D 0:4272
X Y
c) Les deux variables sont donc moyennement corrélées positivement. Plus le nombre de cartes est élevé, plus le
nombre de paiements par cartes est important.
.X; Y / D
2