Chapitre 12 - Pierre

Lycée Madeleine Michelis - ECE1
Mathématiques - 2016/2017
Chapitre 12 : Continuité des fonctions réelles d'une
variable réelle
Dans ce chapitre, nous présentons le concept de continuité pour les fonction réelles d'une variable
réelles : f : Df ⊂ R → R.
Table des matières
1 Continuité
1.1
1.2
1.3
Continuité en un point a ∈ R . . . . . . . . . . . .
Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . .
1.2.1 Fonction continue par morceaux . . . . . .
Les grands théorèmes de continuité . . . . . . . . .
1.3.1 Lien avec la dérivabilité . . . . . . . . . . .
1.3.2 Le théorème des valeurs intermédiaires . . .
1.3.3 Image d'un intervalle par une fonction
continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Image d'un segment par une fonction continue
2 Théorème de la bijection
2.1
2.2
2.3
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la bijection réciproque
2
2
4
6
7
7
8
9
9
10
10
10
11
7 décembre 2016 - Pierre-Yves Madec - [email protected]
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Dans ce chapitre, sauf mention explicite du contraire, f : Df −→ R, avec Df ⊂ R.
1
Continuité
1.1
Continuité en un point
a∈R
Dénition (Continuité)
Soit f une fonction dénie au voisinage de a avec a ∈ Df . On dit que :
f est continue en a
ssi
lim f (x) = f (a).
x→a
Remarque(s)
ˆ Dans la dénition précédente, on demande à ce que la limite en a soit égale à la valeur de
la fonction en ce point : f (a). Par exemple si lim f (x) = ` 6= f (a) : la limite existe mais la
x→a
fonction n'est pas continue . . . L'existence d'une limite ne garantie donc pas la continuité !
Illusatration :
ˆ Si f n'est pas dénie en a (autrement dit si f (a) n'a pas de sens), alors f ne peut pas être
1
continue en a. Par exemple f (x) = n'est pas continue en 0.
x
ˆ La dénition de la continuité peut être écrite autrement : f est continue en a ssi
∀ε > 0,
∃α > 0,
∀x ∈ Df ,
|x − a| < α =⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
Exemple(s)
Étudier la continuité des fonctions suivantes en a :
 2
 x − 4 si x 6= 1
x−2
ˆ a = 1 et f (x) =

3
si x = 1.

e− x12
ˆ a = 0 et f (x) =
1
si x 6= 0
si x = 0.
2
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ˆ a = −1 et f (x) =
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
ln |x|
si x 6= −1
5
si x = −1.
Dénition (Continuité à droite / à gauche)
Soit f dénie au voisinage de a avec a
• continue à gauche en a ssi lim f (x) = f (a).
∈
Df .
On
dit
que
f
est
x→a
<
• continue à droite en a
ssi
lim f (x) = f (a).
x→a
>
Exemple(s)
La fonction f (x) = bxc est-elle continue à gauche en 2 ? à droite ? Plus généralement est-elle
continue à gauche en k ∈ Z ? à droite ?
Propriété 1 (Continuité à droite + continuité à gauche = continuité)
Soit f une fonction dénie en a, alors
f est continue en a
ssi f est continue à gauche et à droite en a.
Illustration :
Figure 1 Exemple de fonction continue
Figure 2 Exemple de fonction discontinue
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Exemple(s)

1
e− |x|
Soit f (x) =
0

e− x1
Soit f (x) =
0
si x 6= 0,
f est-elle continue en x = 0 ?
si x = 0.
si x 6= 0,
si x = 0.
f est-elle continue en x = 0 ?
Dénition (Prolongement par continuité)
Soit I un intervalle et f une fonction dénie sur I \ {a}.
Si lim f (x) = ` ∈ R, alors on peut dénir une fonction dont l'ensemble de dénition est I :
x→a
g:
I
−→
x 7−→
R

f (x) si x 6= a
`
si x = a.
Cette fonction g est par construction continue en a. Elle est appelée prolongement par continuité de f en a.
Exemple(s)
f:
R∗
x
1.2
−→
R
7−→
ex −1
x
Fonctions continues sur un intervalle
Dans cette partie, I et J sont des intervalles.
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Dénition (Continuité sur un intervalle)
Soit I un intervalle de R et f : I → R. On dit que :
f est continue sur I
ssi
f est continue en tout point a de I .
Propriété 2 (Continuité des fonctions usuelles)
1.
ˆ Les fonctions polynômiales P (x) (en particulier les constantes),
ˆ les fonctions rationnelles P (x)/Q(x),
ˆ la fonction valeur absolue |x|,
ˆ la fonction logarithme ln x,
ˆ la fonction exponentielle ex ,
ˆ les fonctions puissances xα (en particulier x1/2 =
√
x),
sont continues sur leurs ensembles de dénition.
2. La fonction partie entière est continue sur tout intervalle [n ; n + 1[ avec n ∈ Z, car elle
constante et égale à n sur cet intervalle.
Exemple(s)
Calculer les limites suivantes :
ˆ
lim
x→2
√
x = ...
lim ex = . . .
x→3
lim ln(x) = . . .
x→1
Propriété 3 (Opérations sur les fonctions continues)
Si f : I → R et g : I → R deux fonctions continues. Alors, ∀λ ∈ R,
. Multiplication par un scalaire λ
:
λf
est continue sur I
. Somme
:
f +g
est continue sur I
. Produit
:
est continue sur I
. Quotient, (si g ne s'annule pas)
:
fg
f
g
est continue sur I
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Propriété 4 (Composition)
ˆ
f
continue en
a
g
continue en
f (a)
ˆ
f continue sur
g continue sur
f (I) ⊂ J
)
=⇒ g ◦ f continue en a.

I 


=⇒ g ◦ f continue sur I.
J



Exemple(s)
Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur R :
√
ˆ f (x) = ln( ex + e−x )
ln |x| x
e
ˆ g(x) = √
x2 + 1
Calculer la limite suivante :
2
2x + 1
=
ˆ lim ln
x→1
x2 + 3
1.2.1
Fonction continue par morceaux
Dénition (Segment)
Un segment est un intervalle de la forme [a ; b] avec a, b ∈ R.
Par exemple, [−4 ; 3] est un segment, mais ]1 ; 3] n'est pas un segment (en revanche c'est un intervalle !).
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Dénition (Fonction continue par morceaux)
Une fonction f est dite continue par morceaux sur le segment [a ; b] s'il existe une subdivision
a = a0 < a1 < · · · < an = b telle que, ∀i ∈ J0; n − 1K,
ˆ f est continue sur ]ai ; ai+1 [,
ˆ lim f (x) et
x→ai
lim f (x) existent et sont nies.
x→ai+1
<
>
Remarque(s)
Cela revient à dire que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai ; ai+1 [ admettent un
prolongement par continuité sur l'intervalle fermé [ai ; ai+1 ].
Illustration :
Exemple(s)
Dessiner la courbe représentative de :
f : ]−2 ; 1]
x
1.3
1.3.1
−→
7−→
R



|x|
si x < 0


si x > 0
1
2
x2 + 1
si x = 0
Les grands théorèmes de continuité
Lien avec la dérivabilité
Théorème 5 (Dérivable =⇒ Continue)
ˆ Si f est une fonction dérivable en a, alors f est continue en a.
ˆ Si f est une fonction dérivable sur I alors f est continue sur I .
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Remarque(s)
La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue sur R mais non dérivable en 0.
1.3.2
Le théorème des valeurs intermédiaires
f
Théorème 6 (des valeurs intermédiaires - T.V.I.)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Si f prend sur
I deux valeurs c et d, elle prend sur I toute valeur intermédiaire
entre c et d.
d
c
NB : si f est strictement monotone, alors f ne prend qu'une seule
fois chaque valeur.
Remarque(s) (Autre formulation du théorème précédent)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a et b. Pour tout réel k compris
entre f (a) et f (b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k .
NB : si f est strictement monotone, alors c est unique.
Corollaire 7 (appelé aussi T.V.I. !)
Illustration :
Soit f une fonction continue sur intervalle I contenant les réels a
et b. On suppose que f (a)f (b) ≤ 0 (resp. < 0).
Alors, ∃c ∈ [a ; b] (resp. ∈ ]a ; b[) tel que
f (c) = 0.
NB : si f est strictement monotone, alors c est unique.
Remarque(s)
Que signie la condition f (a)f (b) ≤ 0 ?
Application à
l'existence de solution
des équations f (x) = k
Soit k ∈ R+ , et soit f (x) = x ln x. Montrer que l'équation f (x) = 1 admet une solution. Cette
solution est-elle unique ?
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1.3.3
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Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorème 8
Illustration : f (x) = ln x sur
]0 ; 1].
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Démonstration. Soit I un intervalle et f une fonction continue sur I . Dès que f (I) contient deux
éléments c et d, f (I) contient toutes les valeurs intermédiaires par le théorème des valeurs intermédiaires. Par conséquent f (I) est un intervalle.
1.3.4
Image d'un segment par une fonction continue
Théorème 9
Illustration :
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
Remarque(s)
Ce théorème signie qu'il existe m, M ∈ R, f ([a ; b]) = [m ; M ], donc
ˆ f est bornée sur [a ; b] : m ≤ f (x) ≤ M ,
ˆ f atteint ses bornes : ∃x0 ∈ [a ; b],
∃x1 ∈ [a ; b],
ˆ
f (x0 ) = m
f (x1 ) = M ,
Si on note min f (x) la plus petite valeur atteinte par f sur le segment [a ; b], alors,
x∈[a;b]
trivialement,
m = min f (x).
x∈[a;b]
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Si on note max f (x) la plus grande valeur atteinte par f sur le segment [a ; b], alors,
x∈[a;b]
trivialement,
M = max f (x).
x∈[a;b]
2
Théorème de la bijection
2.1
Rappels
On considère une bijection f : E → F où E et F sont des ensembles quelconques. Alors, par
dénition de la bijection, tout élément y ∈ F admet un unique antécédent x par f .
f
#
xd
y
f −1
Cela nous permet de construire une fonction, appelée fonction inverse et notée f −1 , qui à tout
y ∈ F associe l'unique antécédent x ∈ E de y par f . Autrement dit x est l'unique élément de E
vériant y = f (x).
Dénition (Application réciproque - Rappel)
Soit f : E → F une application BIJECTIVE.
On appelle application réciproque de f l'application notée f −1 , dénie par :
f −1 : F −→ E
y
2.2
7−→
x = f −1 (y) = l'unique antécédent x de y par f .
Le théorème de la bijection
Théorème 10 (Théorème de la bijection)
Soit f une fonction continue et strictement monotone dénie sur un intervalle I de R, alors
ˆ f réalise une bijection de I sur f (I),
ˆ f −1 est continue et strictement monotone sur f (I), avec le même sens de variation que
f sur I .
Démonstration. Montrons que f est bijective de I sur f (I).
Montrons tout d'abord que f est injective : soit x, y ∈ I , tels que f (x) = f (y), alors supposons que
x < y alors par stricte monotonie de f , soit f (x) < f (x), soit f (x) > f (y), ce qui est impossible
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car f (x) = f (y), donc x ≥ y . De même en supposant que x > y , on obtient x ≤ y . Finalement
x = y.
f est trivialement surjective de I sur f (I) car on rappelle que f (I) = {f (x), x ∈ I}, donc pour
tout élément y ∈ f (I) il existe x ∈ I tel que y = f (x) (dénition de la surjectivité !).
Par conséquent f est bijective de I sur f (I) .
On admet que f −1 est continue. Montrons que f −1 a le même sens de variation que f . Supposons
par exemple que f est strictement croissante sur I . Soit x, y ∈ f (I), tels que x < y . Supposons que
f −1 (x) ≥ f −1 (y)
alors en composant par f , on obtient x ≥ y (f est croissante donc conserve l'ordre), ce qui est absurde, donc f −1 (x) < f −1 (y), donc f −1 est strictement croissante. La démonstration est identique
si f est strictement décroissante.
2.3
Représentation graphique de la bijection réciproque
Théorème 11
Si f est une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle J , alors les courbes représentatives de f
et f −1 sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x dans un repère orthonormé.
5.
4.
3.
2.
1.
f
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
−1.
−2.
h
−3.
g
Figure 3 Courbes de f (x) = ex ,
g(x) = ln x et h(x) = x
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Fin du chapitre
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