Chapitre 1 - Pierre

Lycée Madeleine Michelis - ECE1
Mathématiques - 2016/2017
Chapitre 1 : Révisions
Dans ce chapitre, nous eectuons des révisions concernant les points fondamentaux vus au collège
et au lycée.
Table des matières
1 Ensemble de nombres
2
2 Calculs avec des fractions
3
3 Développement et factorisation
4
4 Calculs avec des puissances entières d'un nombre
réel
5
5 Calcul avec des racines carrées
6
6 Équations
7
7 Inéquations
8
8 La fonction "valeur absolue"
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Mathématiques - 2016/2017
Ensemble de nombres
Dénition (Quelques ensembles de nombres)
ˆ L'ensemble des
entiers naturels est :
N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .}.
ˆ L'ensemble des
entiers relatifs est :
Z = {. . . − 4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .}.
ˆ L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire
avec une quantité nie de chires après la virgule. On le note D.
Par exemple : 1, 2 ∈ D ; −1, 578 ∈ D ; 3, 333333 ∈ D . . .
1
MAIS
= 0, 333333 . . . 6∈ D car il y a une innité de chires après la virgule.
3
ˆ L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire
a
sous la forme avec a dans Z et b dans N \ {0}. On le note Q.
b
ˆ L'ensemble des
réels est noté R. Nous n'en donnons pas la dénition ici.
Remarque
On a la chaîne d'inclusions suivante :
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
On peut représenter la situation par un schéma :
Figure 1 Emboîtement des ensembles de nombres
Notation (" ∗ ")
On note N∗ ou N \ {0} l'ensemble N privé de 0. Ainsi
N∗ = N \ {0} = {1 ; 2 ; 3 ; 4 . . .}.
Plus généralement, lorsqu'un ensemble a une étoile ∗ en exposant, cela signie qu'on
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retire 0 de cet ensemble. Ainsi,
R∗ = R \ {0},
Z∗ = Z \ {0},
etc.
Notation ("R+ " et "R− ")
On note R+ l'ensemble des réels positifs : R+ = [0; +∞[. De même R− =] − ∞; 0].
Cette notation est utilisée pour n'importe quel autre ensemble. Par exemple Z+ est
l'ensemble des entiers relatifs positifs et Z− est l'ensemble des entiers relatifs négatifs.
2
Calculs avec des fractions
Rappelons quelques règles de calculs qu'il est
indispensable de connaître.
Propriété 1 (Calcul avec des fractions)
0
= 0.
a
a
= a.
∀a ∈ R,
1
a
∀a ∈ R,
= −a.
−1
a
−a
a
∀a ∈ R, ∀b ∈ R∗ ,
=
=− .
−b
b
b
1
1
a
= a = a.
∀a ∈ R, ∀b ∈ R∗ ,
b
b
b
∀a ∈ R∗ ,
∀a, b ∈ R∗ ,
∀a ∈ R,
∀a, c ∈ R,
1
a
b
∀b, k ∈ R∗ ,
∀b, d ∈ R∗ ,
=
b
.
a
a
a×k
=
.
b
b×k
a
b = a × d.
b
c
c
d
Démonstration. Admis.
Exemple
Calculer : A =
2
5
8
7
et B = 3 ×
7
.
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Développement et factorisation
Développer, c'est "enlever les parenthèses", factoriser c'est faire le contraire.
3(x + 1) = 3x + 3
"Développement"
3x + 3 = 3(x + 1)
"Factorisation"
Propriété 2 (Identités remarquables)
1. Ordre 2 :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
2. Ordre 3 :
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Démonstration. Admis.
Exemple
1. Développer (1 − x)3 .
2. Développer (5 + 4)2 .
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3. Factoriser 25 − x2 .
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Calculs avec des puissances entières d'un nombre réel
Dénition (Puissance entière d'un nombre réel)
Soit a ∈ R∗ et n ∈ N. On dénit "a puissance n" par :
ˆ an = a × a × . . . × a si n ≥ 1 ;
{z
}
|
n
fois
ˆ a = 1 sinon.
L'inverse de an est noté a−n . Autrement dit :
0
a−n =
1
.
an
Exemple
Calculer.
1. (456)1 = . . .
2. (−999999)0 = . . .
3. 33 = . . .
Propriété 3 (Calcul avec des puissances entières d'un nombre réel)
Soit a et b deux nombres réels
non nuls et n et m deux entiers relatifs.
am
m
n
m+n
1. a × a = a
;
= am−n ; (am )n = am×n
an
a m
am
2. am × bm = (a × b)m ;
=
.
bm
b
Démonstration. Admis.
Exemple
Simplier les expressions suivantes.
A=
63 × 3−4 × 27
.
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B=
5
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18 × 10−5
.
3 × 10−3
Calcul avec des racines carrées
Dénition (Racine carrée)
Soit a un réel positif (notation : a ∈ R+ ), alors il existe un unique réel positif noté
tel que :
√
( a)2 = a.
√
Ce nombre a est appelé "racine carrée" de a.
√
a
Exemple
1. 3 est la racine carrée de 9 car 32 = 9. Autrement dit
√
2. Que vaut 25 ?
√
9 = 3.
Propriété 4 (Règles de calculs)
√
√
a × b = a × b.
r
√
a
a
2. ∀a ∈ R+ , b ∈ R∗+ ,
= √ .
b
b
1. ∀a, b ∈ R+ ,
√
Démonstration. Admis.
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Équations
Dénition (Équation)
Une équation est une égalité faisant apparaître une inconnue, généralement notée x.
Exemple
7x2 − 3x − 18 = 15 est une équation.
ex + ln(x) − 7x +
3+x
= 0 est une autre équation.
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MAIS
3x + 1 n'est pas une équation,
3x + 1 ≤ 0 non plus . . .
Méthode (Résolution d'équations)
Résoudre une équation, c'est trouver le ou les x qui vérient l'équation, c'est à dire telle
que l'égalité est vériée. Ces x là, s'ils existent, sont appelées solutions de l'équation.
En général, pour résoudre une équation, on procède par équivalences successives (symbole
⇐⇒). Il n'existe pas de "méthode universelle" qui permettrait de résoudre toutes les
équations. Aussi, il faut s'entraîner pour améliorer son intuition face à une équation et
acquérir un certain nombre de réexes.
Exemple
Résoudre l'équation
1
x+1
+
= 1.
x+2
x
Résolution : l'équation n'a de sens que pour x 6= −2 et x 6= 0.
1
x+1
+
= 1 ⇐⇒
x+2
x
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x
(x + 1)(x + 2)
+
=1
x(x + 2)
x(x + 2)
x + (x + 1)(x + 2)
=1
x(x + 2)
x + x2 + 2x + x + 2 = x(x + 2)
x2 + 4x + 2 = x2 + 2x
⇐⇒
2x = −2
⇐⇒
x = −1.
Nous trouvons donc une seule solution. Nous pouvons donc écrire que l'ensemble des solutions,
noté S , est :
S = {−1}.
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Remarque
Attention à bien distinguer équivalence (symbole "⇐⇒") et implication (symboles "=⇒" ou "⇐=").
Par exemple
ˆ "Il est malade" =⇒ "Il ne viendra pas".
ˆ "J'ai eu un accident" ⇐= "J'ai grillé un feu rouge".
ˆ ∀a, b ∈ R,
(ab = 0) ⇐⇒ (a = 0 ou b = 0).
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Inéquations
Rappelons qu'il existe quatre signes d'inégalités :
≤
<
≥
>
"inférieur ou égal"
"inférieur strict"
"supérieur ou égal"
"supérieur strict"
Dénition (Inéquation)
Une inéquation est une inégalité faisant apparaître une inconnue, généralement notée x.
Exemple
3
ex − x > 1
7
0≤x
47 + x ≥ 3x2 + ln(x)
Méthode (Résolution d'inéquations)
Résoudre une inéquation, c'est trouver les x qui vérient l'inégalité. Comme pour les
équations, on procède généralement par équivalences successives.
On rappelle les règles de calculs élémentaires pour manipuler les inégalités.
Propriété 5 (Règles de calculs pour les inégalités)
∀x, y,
∀k ∈ R,
(x ≤ y) ⇐⇒ (x + k ≤ y + k)
"conservation du signe"
Si k > 0,
(x ≤ y) ⇐⇒ (kx ≤ ky)
"conservation du signe"
Si k < 0,
(x ≤ y) ⇐⇒ (kx ≥ ky)
"changement de signe"
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Démonstration. Admis.
Remarque
Ces règles valent aussi pour les trois autres signes d'égalité : "<", "≥" et ">". L'important est de
retenir dans quelles conditions on conserve ou on change le signe d'une inéquation.
Exemple
Résoudre l'inéquation
−3(x + 7) ≥ 4x + 1
8
La fonction "valeur absolue"
Dénition (Valeur absolue)
La fonction "valeur absolue" f est la fonction qui à tout réel x associe le réel noté |x| tel
que
(
x
si x ≥ 0,
−x
si x < 0.
| − 3, 5| =
|3 −
f (x) = |x| =
Exemple
Calculer :
|7| =
√
8| =
|6 − 2π| =
x ∈ R, |2 − x| =
Figure 2 Représentation graphique de la fonction f (x) = |x|
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Remarque
Le graphique le montre bien : la valeur absolue est toujours positive.
Propriété 6 (Parité)
∀x ∈ R,
|x| = | − x|.
Démonstration.
Remarque (Interprétation géométrique)
La valeur absolue de la diérence entre deux nombres, par exemple a et b s'interprète comme la
distance entre a et b. Par exemple |5 − 4| = 1 est la distance entre 5 et 4. Vérions que la distance
entre 4 et 5 est la même qu'entre 5 et 4 : |4 − 5| = | − 1| = 1.
Propriété 7
∀x, y ∈ R,
|xy| = |x||y|.
x |x|
∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗ , =
.
y
|y|
Démonstration. Admis.
Exemple
| − 5 × 3| =
|4 × (−7)| =
−3 −7 =
Propriété 8 (Inégalité triangulaire)
∀x, y ∈ R,
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Démonstration. Admis.
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Exemple
|3 − 5| ≤
∀x ∈ R, |x + 5| ≤
|2 − x| ≤
Propriété 9
Soit x un réel et M un réel positif.
ˆ |x| ≤ M ⇐⇒ −M ≤ x ≤ M .
ˆ |x| > M ⇐⇒ x > M ou x < −M .
Démonstration. Admis.
Exemple
|y − 3| ≤ 15 ⇐⇒ −15 ≤ y − 3 ≤ 15 ⇐⇒ −12 ≤ y ≤ 18.
Faire la même chose avec |5 − x| ≤ 10.
Fin du chapitre
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