UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion PROBABILITÉS

UNIVERSITÉ DE CERGY Licence d’Économie et Gestion
U.F.R. Economie et Gestion L2 - S3
PROBABILITÉS
Examen - Seconde session - Juin 2012 - 2 heures
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités
dans l’ordre choisi par le candidat.
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.
CALCULATRICES INTERDITES
LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS.
Exercice 1 - 7 points
On dispose de trois urnes, U1,U2et U3. L’urne U1contient 3boules rouges et 3boules
blanches, l’urne U2contient 2boules rouges et 4boules blanches, l’urne U3contient 4boules
rouges et 2boules blanches.
On effectue deux tirages :
•Premier tirage : on tire 3boules simultanément de l’urne U1.
•Second tirage : on tire 3boules simultanément d’une des deux autres urnes de la manière
suivante :
– si on a obtenu 0ou 1boule blanche lors du premier tirage, on effectue ce deuxième tirage
dans U2,
– sinon, on effectue ce deuxième tirage dans U3.
On note Xle nombre de boules blanches obtenues lors du premier tirage, Yle nombre de
boules blanches obtenues lors du deuxième tirage et Z=X+Yle nombre total de boules
blanches obtenues lors de cette expérience aléatoire.
1. Reconnaître la loi de probabilité de X, en donner les paramètres, puis représenter cette
lois dans un tableau. Calculer E(X).
2. Donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Ysachant U2(i.e. X= 0 ou X=
1). De même, donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Ysachant U3.
3. Expliquer le calcul de P(X= 0 ∩Y= 1).
4. Donner (dans un tableau) la loi du couple (X, Y )et la loi de Y
5. Calculer E(Y).
6. Déterminer la loi de probabilité de Zet calculer son espérance.
Exercice 2 - 3 points
On suppose que la durée de vie (en heures) d’un certain modèle d’ampoules suit la loi ex-
ponentielle de paramètre λ= 0,001. On note Xla V.A. égale à la durée de vie d’une telle
ampoule. X → E(0,001). On donnera la valeur exacte de chaque résultat.
1. Calculer la probabilité qu’une ampoule de ce modèle ait une durée de vie :
•inférieure à 1200 heures.
•comprise entre 1000 et 1500 heures
•supérieure à 800 heures

2. Déterminer la valeur Tpour laquelle la probabilité que la durée de vie d’une telle ampoule
soit supérieure à Tsoit égale à la probabilité que la durée de vie soit inférieure à T(i.e.
P(X≥T) = P(X≤T): on parle de demi-vie de l’ampoule).
3. Déterminer la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce modèle.
Exercice 3 - 6 points
Soit fla fonction définie sur Rpar :
(f(x) = kx(1 −x) si x∈]0; 1[
f(x) = 0 sinon
1. Déterminer la valeur de kde telle sorte que fsoit une densité de probabilité. Justifier.
2. Soit Xune v.a.r. de densité f. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X).
4. Soient X1et X2deux V.A. absolument continues de densité findépendantes. On note
Yla V.A. définie par : Y= inf(X1, X2). Donner la fonction de répartition de Y, puis sa
densité de probabilité.
Exercice 4 - 4 points
Une usine fabrique des barres de métal d’une longueur moyenne de 2mètres. Soit Xla V.A.
égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine : on admet que Xsuit
une loi normale N(µ, σ)telle que E(X2) = 4,01. Vous donnerez les résultats arrondis à 10−2
près.
1. Déterminer l’espérance µet l’écart type σde X.
2. Quelle est la probabilité que la barre sortant de l’usine mesure entre 1,96m et 2,02m ?
3. Une barre est acceptée par le contrôle qualité si sa longueur est comprise entre µ−1,5.σ
et µ+ 1,5.σ : quelle est la proportion de barres acceptées ?
4. De toutes les barres mesurant au moins 1,90m, quelle est la proportion de celles qui
mesurent plus de 2,10m ?
Table de la loi Normale N(0; 1)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586
0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535
0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409
0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173
0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793
0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240
0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490
0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524
0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327
0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891
1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214
1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298
1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147
1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774
1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408
1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449
1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327
1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062
1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169
2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574
2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899
2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158
2,4 99180 99202 99224 99245 99266 99286 99305 99324 99343 99361
2,5 99379 99396 99413 99430 99446 99461 99477 99492 99506 99520
2,6 99534 99547 99560 99573 99585 99598 99609 99621 99632 99643
2,7 99653 99664 99674 99683 99693 99702 99711 99720 99728 99736
2,8 99744 99752 99760 99767 99774 99781 99788 99795 99801 99807
2,9 99813 99819 99825 99831 99836 99841 99846 99851 99856 99861
3,0 99865 99869 99874 99878 99882 99886 99889 99893 99896 99900
3,1 99903 99906 99910 99913 99916 99918 99921 99924 99926 99929
3,2 99931 99934 99936 99938 99940 99942 99944 99946 99948 99950
3,3 99952 99953 99955 99957 99958 99960 99961 99962 99964 99965
3,4 99966 99968 99969 99970 99971 99972 99973 99974 99975 99976
3,5 99977 99978 99978 99979 99980 99981 99981 99982 99983 99983
3,6 99984 99985 99985 99986 99986 99987 99987 99988 99988 99989
3,7 99989 99990 99990 99990 99991 99992 99992 99992 99992 99992
3,8 99993 99993 99993 99994 99994 99994 99994 99995 99995 99995
3,9 99995 99995 99996 99996 99996 99996 99996 99996 99997 99997
De : Jérôme STEPHAN <[email protected]>
Objet : Loi normale - Wikipédia
Date : 25 novembre 2011 00:13:17 HNEC

UNIVERSITÉ DE CERGY Licence d’Économie et Gestion
U.F.R. Economie et Gestion L2 - S3
Probabilités
Corrigé de l’Examen Seconde Session - Juin2012
Exercice 1 - 9 points
1. 2,5 points Xsuit la loi hypergéométrique de paramètres N= 6 (boules au total dans
l’urne U1), M= 3 (boules de type 1) et N= 3 (boules tirées), soit X → H(6; 3; 3).
Ici X(Ω) = {0; 1; 2; 3},
et pour tout x∈X(Ω),P(X=k) = 3
k 3 3−k
6
3avec 6
3!=6! 3!3! = 20
xi0 1 2 3
pi1/20 9/20 9/20 1/20
E(X) = np =3
2.
2. 2 points Probabilités conditionnelles de Ysachant U2(i.e. X= 0 ou 1) (respective-
ment sachant U3, i.e. X= 2 ou 3 )
Exemple : PU2(Y= 1) = 4
12 2
6
3=4
20. (on retrouve une loi hypergéométrique H(6; 4; 3))
yi/U20 1 2 3
pi0 4/20 12/20 4/20
yi/U30 1 2 3
pi4/20 12/20 4/20 0/20
3. 1 point Exemple de calcul P(X= 0 ∩Y= 1) : on a tiré aucune boule blanche dans
l’urne U1: le second tirage a donc lieu dans l’urne U2, et donc P(X= 0 ∩Y= 1) =
P(X= 0).PU2(Y= 1) = 1
20.4 20 =1 100
4. 2 points
X
Y0 1 2 3 Loi de X
0 0 1/100 3/100 1/100 1/20
1 0 9/100 27/100 9/100 9/20
2 9/100 27/100 9/100 0 9/20
3 1/100 3/100 1/100 0 1/20
Loi de Y1/10 4/10 4/10 1/10 1
5. 0,5 point La loi de Yest donnée dans le tableau ci-dessus, et E(Y)=1,5
6. 1 point Z(Ω) ⊂ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
zi0 1 2 3 4 5 6
pi0 1/100 21/100 56/100 21/100 1/100 0
E(Z)=3

Exercice 2 - 1,5 point (+ 1,5 point)
Xla V.A. égale à la durée de vie d’une telle ampoule. X → E(0,001).
1. Question hors barème (énoncé mal rédigé) : 1,5 point :
•P(X < 1200) = Z1200
−∞
0,001.e−0,001xdx=Z1200
0
0,001.e−0,001xdx=h−e−0,001xi1200
0=
1−e−1,2
•P(1000 < X < 1500) = Z1500
1000
0,001.e−0,001xdx=h−e−0,001xi1500
1000 =−e−1,5+e−1
•P(X > 800) = 1−P(x≤800) = 1−Z800
−∞
0,001.e−0,001xdx= 1−Z800
0
0,001.e−0,001xdx=
1−h−e−0,001xi800
0=e−0,8
2. 1 point Test solution de l’équation P(X≤T) = P(X≥T)
Soit ZT
−∞
0,001.e−0,001xdx= 1 −ZT
−∞
0,001.e−0,001xdx⇐⇒ 2ZT
−∞
0,001.e−0,001xdx=
1⇐⇒ 2.h−e−0,001xiT
0= 1 ⇐⇒ 1−e−0,001T=1
2⇐⇒ T= 1000 ln 2
3. 0,5 point E(X) = 1
λ= 1000
Exercice 3 - 7,5 points
Soit fla fonction définie sur Rpar :
(f(x) = kx(1 −x) si x∈]0; 1[
f(x) = 0 sinon
1. 2 points •fest la fonction constante nulle sur R−et sur [1; +∞[et est une fonction
polynôme sur ]0; 1[, donc fest continue sur R∗
−,]0; 1[ et sur ]1; +∞[. On remarque de
plus que lim
x→0
x<0
f(x) = 0 = f(0) = lim
x→0
x>0
et lim
x→1
x>1
f(x) = 0 = f(1) = lim
x→0
x<1
f(x)
Donc fest continue sur R.
•fest positive sur Rsi et seulement si k > 0.
•L’intégrale de fsur Rest en fait l’intégrale de fsur [0; 1] :
Z+∞
−∞
f(x)dx=Z1
0
kx(1−x)dx=Z1
0
kxdx−Z1
0
kx2dx=k
2x21
0
−k
3x31
0
=k
2−k 3=k 6
Donc Z+∞
−∞
f(x)dx= 1 ⇐⇒ k= 6
Conclusion : fest une densité de probabilité si et seulement si k= 6.
2. 2 points Soit Xune v.a.r. de densité f. On note FXla fonction de répartition de X.
Soit x∈R:FX(x) = Zx
−∞
f(t)dt= 6 Zx
−∞
t−t2dt
FX(x) = 
0si x≤0
6Zx
0
t−t2dt=· · · =−2x3+ 3x2si x∈]0; 1[
1si x≥1
3. 1 point E(X) = Z+∞
−∞
tf(t)dt= 6 Z1
0
t2−t3dt= 6 "t3
3−t4 4#1
0
=1
2

4. 2,5 points Soit x∈R,
FY(x) = P(X1≤xou X2≤x)
=P(X1≤x) + P(X2≤x)−P(X1≤xet X2≤x)
=F1(x) + F2(x)−F1(x).F2(x)car X1et X2sont indépendantes
= 2F(X)−F2(X)
D’où
FY(x) = 
0si x≤0
2(−2x3+ 3x2)−(−2x3+ 3x2)2=· · · =−4x6+ 12x5−9x4−4x3+ 6x2si x∈]0; 1[
1si x≥1
La densité de probabilité de Yest alors définie par :
fY(x) = 
0si x≤0
−24x5+ 60x4−36x3−12x2+ 12xsi x∈]0; 1[
0si x≥1
Exercice 4 - 4 points
Soit Xla V.A. égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine.
1. 1 point E(X) = µ= 2 et V(X) = E(X2)−(E(X))2= 0,01 donc σ=qV(X)=0,1.
2. 1 point Soit Y=X−2
0,1= 10X−2, alors Y → N (0; 1).
De plus
P(1,96 ≤X≤2,02) = P(−0,4≤Y≤0,2)
= Φ(0,2) −Φ(−0,4)
= Φ(0,2) −(1 −Φ(0,4))
≈0,58 −(1 −0,66)
≈0,24
3. 1 point
P(1,85 ≤X≤2,15) = P(−1,5≤Y≤1,5)
= Φ(1,5) −Φ(−1,5)
= 2Φ(1,5) −1
≈0,87
soit 87% de barres acceptées par le contrôle qualité.
4. 1 point
P(X≥1,90)(X≥2,10) = P(X≥2,10 et X≥1,90)
P(X≥1,90)
=P(X≥2,10)
P(X≥1,90)
=P(Y≥1)
P(Y≥ −1)
=1−Φ(1)
Φ(1)
≈0,16
0,84
≈0,2