Vecteurs du plan Dans la suite ! vecteur " signifiera ! vecteur du plan

Vecteurs du plan
Dans la suite !vecteur "signifiera !vecteur du plan ".
I. G´en´eralit´es
La notion de vecteur est fondamentale en G´eom´etrie. Elle peut-ˆetre introduite de fa¸con alg´ebrique
via la notion d’espace vectoriel (r´eel), mais comme vous le comprendrez facilement, ce n’est pas cette
solution qui est retenue dans les programmes de l’enseigement secondaire fran¸cais actuellement 1.
La d´efinition retenue n´ecessite trois pr´e requis essentiels :
– Les projections parall`element `a une direction donn´ee conservent les milieux ;
– la d´efinition et les propri´et´es des parall´elogrammes ;
– la notion de translation ind´ependante de celle de vecteur (sans quoi, on aurait ´evidemment un
cercle vicieux).
Je ne reviendrai pas ici sur la notion de parall´elogramme et je vous laisse le soin de vous y reporter
si n´ecessaire. Pour ce qui est des translations, voici comment la notion est introduite en classe de
Seconde.
D´efinition 1 : Soient Aet Bdeux points du plan. La translation d´efine par ces deux points, est
l’application qui, `a tout point Mdu plan, associe l’unique point M1, tel que les segments rBMset
rAM1saient mˆeme milieu 2.
Avec les notations pr´ec´edentes, deux cas peuvent se produire :
– soit A, B, M sont align´es et alors M1est aussi align´e avec ces trois points, le parall`elogramme
ABM 1Mest alors aplati ;
– soit A, B, M ne sont pas align´es et le quadrilat`ere ABM1Mest alors un parall´elogramme non
aplati.
D´efinition 2 : Sur l’ensemble des bipoints du plan on d´enit la relation Rsuivante.
pA, BqRpC, Dqsi les translations d´efinies par pA, Bqet pC, Dqsont les mˆemes.
Cette d´efinition est ´equivalente `a :
pA, BqRpC, Dq ô ABDC est un parall´elogramme.
La relation Rest appel´ee !relation d’´equipolence ".
Proposition 1 : La relation Rest une relation d’´equivalence sur l’ensemble des bipoints du plan.
D´emonstration :
1. Aussi curieux que cela puisse vous paraitre, la notion d’espace vectoriel r´eel a pourtant ´et´e introduite dans l’ensei-
gnement secondaire fran¸cais - et cela d`es la classe de Seconde - lors de la r´eforme dite des !math´ematiques modernes "en
1971.
2. L’existence et l’unicit´e de M1r´esultent des propri´et´es des parall´elogrammes faisant partie des pr´e requis.
1

– La relation est r´eflexive car pA, B, B, Aqest un parall´elogramme puisque rA, Bset rB, Asont
´evidemment mˆeme milieu.
– La relation est sym´etrique car pA, BqRpC, Dqsignifie que ABDC est un parall´elogramme ce qui
est ´equivalent `a dire que CDBA est aussi un parall`elogramme, c’est-`a-dire pC, DqRpA, Bq.
– Pour montrer que la relation est transitive, il faut montrer (et cela suffira) que
ABDC parall´elogramme et CDF E parall´elogramme ñABF E parall´elogramme.
La d´emonstration de cette propri´et´e n’est pas triviale - lorsqu’on n’utilise pas de caract´erisation
vectorielle des parall´elogrammes. Pour la construire, on utilise le r´esultat suivant.
Lemme : Xet Y´etant deux doites s´ecantes du plan. Si quatre points A, B, C, D se projettent
sur X- parall`element `a Y- en A1, B1, C1, D1et sur Y- parall`element `a X- en A2, B2, C2, D2
et si les milieux de rA1D1set rB1C1sd’une part et les milieux de rA2D2set rB2C2sd’autre part
sont confondus, alors ABDC est un parall´elogramme.
Remarque : la r´eciproque de ce r´esultat est ´evidente, car il est bien connu que les projections
conservent les milieux.
D´emontrons le lemme. Pour cela, notons Ile milieu de rADset Jle milieu de rBCs. Notons I1et
I2respectivement les projections de Isur X(dans la direction de Y) et sur Y(dans la direction
de X), puis, de fa¸con analogue, J1et J2les projections de J.
On sait que I1est le milieu de rA1D1set que J1est le milieu de rB1C1s, d’o`u I1“J1. De la
mˆeme fa¸con, on d´eduit que I2“J2. Mais alors, Iet Jsont `a l’intersection de la droite passant par
I1“J1, parall`ele `a Y, et de la droite passant par I2“J2, parall`ele `a X. Ces deux droites ´etant
s´ecantes I“J. Mais alors, ABDC est un parall`elogramme.
Revenons `a la transitivit´e de la relation d’´equipollence.
Avec les notations introduites, on va montrer que ABF E est un parall´elogramme. Pour cela, on
projette les quatre points sur deux droites s´ecantes Xet Ycomme pr´ec´edemment.
Int´eressons nous aux projections sur X:A1, B1, C1, D1, F1, E1. Si I1est le milieu de rA1D1s(et de
rB1C1s) et J1le milieu de rC1F1s(et de rD1E1s), alors A1I1`D1I1“0 et C1J1`F1J1“0. D’o`u,
A1I1`D1I1`C1J1`F1J1“0
“A1I1`D1I1`C1I1`I1J1`F1I1`I1J1
“A1I1`D1I1`C1I1`F1I1`2I1J1
ôA1I1`D1I1`C1I1`F1I1“2J1I1.
En partant cette fois de B1I1`C1I1“0 et D1J1`E1J1“0, on obtient :
B1I1`C1I1`D1J1`E1J1“0
“B1I1`C1I1`D1I1`I1J1`E1I1`I1J1
ôB1I1`C1I1`D1I1`E1I1“2J1I1.
En ´egalant les deux expressions de 2J1I1et en simplifiant, on obtient
A1I1`F1I1“B1I1`E1I1.
Si K1est le milieu de rA1F1set K1
1le milieu de rB1E1s, on a :
2K1I1“2K1
1I1ôK1“K1
1.
2

Le mˆeme type de calcul, men´e `a partir des projections sur Y(dans la direction de X), conduirait `a
l’´egalit´e des projet´es des milieux de rAF set de rBEs. D’apr`es le lemme, les milieux de ces segments
sont donc confondus et pA, Bqest ´equipollent `a pE, F q. C’est ce qu’on voulait d´emontrer.
D´efinition 3 : Un vecteur du plan est une classe d’´equivalence de bipoints pour R. La classe de
pA, Bq(pour R) est not´ee ÝÝÑ AB. Le point Aest appel´e l’origine du vecteur ÝÝÑ AB et le point Bson
extr´emit´e. Lorsque A“B, le vecteur ÝÝÑ AB est appel´e le vecteur nul, il est not´e ÝÑ 0 .
Notation compl´ementaire : la translation d´efinie par pA, Bqest not´ee tÝÝÑ
AB, on l’appelle la translation
de vecteur ÝÝÑ AB.
Remarques :
– si des bipoints appartiennent `a la mˆeme classe d’´equipollence, on dit qu’ils sont des repr´esentants
du mˆeme vecteur. Si deux de ces bipoints sont not´es pA, Bqet pC, Dq, alors ÝÝÑ AB “ÝÝÑ CD (et ABDC
est un parall´elogramme - ´eventuellement aplati).
– si ÝÑ u“ÝÝÑ AB, alors quel que soit la point Mdu plan, il existe un unique point M1tel que
ÝÝÑ
AB “ÝÝÝÑ MM1.
Cela r´esulte de l’existence et de l’unicit´e du quatri`eme sommet d’un parall´elogramme, trois de
ses sommets ´etant donn´es.
II. D´efinitions et propri´et´es des op´erations sur les vecteurs
D´efinition 3 et proposition : Soient ÝÑ uet ÝÑ vdeux vecteurs. On d´efinit l’addition de deux vecteurs
de la fa¸con suivante.
Si ÝÑ u“ÝÝÑ AB et ÝÑ v“ÝÝÑ BC, alors le vecteur ÝÑ AC ne d´epend que des vecteurs ÝÑ uet ÝÑ v, c’est la somme
des vecteurs ÝÑ uet ÝÑ v.
Si ÝÝÑ A1B1est un autre repr´esentant de ÝÑ u, on choisit un repr´esentant de ÝÑ vd’origine B1, not´e ÝÝÝÑ B1C1et
la transitivit´e de la relation d’´equipollence assure que ACC1A1est un parall`elogramme, soit encore
ÝÑ
AC “ÝÝÑ A1C1.
Proposition 2 : L’ensemble des vecteurs (du plan) muni de l’addition est un groupe commutatif.
D´efinition 4 et proposition : Soit ÝÑ uun vecteur non nul et λun r´eel. On d´efinit la multiplication
d’un vecteur par un r´eel de la fa¸con suivante.
Si ÝÑ u“ÝÝÑ AB et B1le point de la droite pABqtel que AB1“λ AB, alors λÝÝÑ AB “ÝÝÑ AB1. Ce vecteur ne
d´epend pas du repr´esentant de ÝÑ u, on l’appelle le produit de ÝÑ upar λ. Si ÝÑ u“ÝÑ 0 , alors, quel que
soit λPR,λÝÑ u“ÝÑ 0 .
Proposition 3 : L’ensemble des vecteurs du plan muni de l’addition et de la multiplication par un
r´eel est un espace vectoriel r´eel de dimension 2.
3

III. Angles de vecteurs
Pour d´efinir les angles de vecteurs, on s’appuiera sur la notion - suppos´ee d´ej`a ´etudi´ee - d’applica-
tion orthogonale et, en particulier, sur la notion de rotation (ou d’application orthogonale positive).
L’ensemble des applications orthogonales (positives, n´egatives) du plan vectoriel euclidien Eest
not´e OpEq(O`pEq, O´pEq).
On note d´esormais Ul’ensemble des vecteurs unitaires du plan (vectoriel).
D´efinition 4 : On note Rla relation d´efinie sur UˆUpar :
pÝÑ u1,ÝÑ u2qRpÝÑ v1,ÝÑ v2qs’il existe rPO`pEqtelle que rpÝÑ u1q “ ÝÑ u2et rpÝÑ v1q “ ÝÑ v2.
Proposition 3 : La relation Rest une relation d’´equivalence sur UˆU.
D´emonstration : Triviale.
Proposition 4 :
pÝÑ u1,ÝÑ u2qRpÝÑ v1,ÝÑ v2qôDρPO`pEqtelle que ρpÝÑ u1q “ ÝÑ v1et ρpÝÑ u2q “ ÝÑ v2.
D´emonstration : Les vecteurs ÝÑ u1et ÝÑ v1´etant de mˆeme norme, on sait (pr´e requis sur O`pEq) qu’il
existe une unique rotation qui envoie ÝÑ u1sur ÝÑ v1. Notons fcette rotation. Alors, r˝f˝r´1envoie
ÝÑ
u2sur ÝÑ v2. Mais, pO`pEq,˝q est un groupe commutatif, donc r˝f˝r´1“f.
D´efinition 5 : On appelle angle de deux vecteurs unitaires ÝÑ
uet ÝÑ v, la classe d’´equivalence du couple
pÝÑ u , ÝÑ vqpour la relation R. Cet angle est not´e p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq, ou encore pÝÑ u , ÝÑ vqpour all´eger les notations
lorsque cela ne cr´ee pas d’ambig¨uit´e.
L’ensemble des angles de deux vecteurs unitaires est not´e A.
Remarque : cette d´efinition s’´etend facilement aux angles de vecteurs quelconques non nuls. Si ÝÑ x
et ÝÑ ysont deux vecteurs non nuls, l’angle pÝÑ x , ÝÑ yqest l’angle p
ÝÑ
x
}ÝÑ x},
ÝÑ
y
}ÝÑ y}q.
La d´efinition s’´etend aussi aux angles de demi-droites vectorielles puisqu’une demi-droite vectorielle
est compl`etement d´efinie par un de ses vecteurs (non nul).
Proposition 5 : L’application de O`pEqdans Ad´efinie par
rÞÑ p {
ÝÑ
u , rpÝÑ uqq
est une bijection qui ne d´epend pas du vecteur ÝÑ u. Sa bijection r´eciproque est l’application qui `a
tout angle de vecteurs (unitaires) pÝÑ u , ÝÑ vqassocie l’unique rotation qui transforme ÝÑ uen ÝÑ v.
Cette bijection permet de transporter la structure de groupe commutatif de l’ensemble des rotations
sur l’ensemble des angles. Plus pr´ecis´ement, si p{
ÝÑ
u , ÝÑ vqet p{
ÝÑ
u1,ÝÑ v1qsont deux angles, alors l’angle
somme est l’angle pÝÑ w , pr1˝rqpÝÑ wqq, o`u rpÝÑ uq “ ÝÑ vet r1pÝÑ u1q “ ÝÑ v1. La d´efinition de l’angle somme ne
d´epend ´evidemment pas du vecteur non nul ÝÑ w.
4

Proposition 6 : Relation de Chasles 3
@pÝÑ u , ÝÑ v , ÝÑ wq P U3,p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq`p{
ÝÑ
v , ÝÑ wq “ p{
ÝÑ
u , ÝÑ wq.
D´emonstration : si rpÝÑ uq “ ÝÑ vet r1pÝÑ vq “ ÝÑ w, alors r1˝rpÝÑ uq “ ÝÑ w.
Remarques :
– si r“idE, alors l’angle associ´e `a rest de la forme p{
ÝÑ
u , ÝÑ uq(ÝÑ u‰ÝÑ 0 ), on l’appelle l’angle nul.
– si r“ ´idE, alors l’angle associ´e `a rest de la forme p{
ÝÑ
u , ´ÝÑ uq(ÝÑ u‰ÝÑ 0 ), on l’appelle l’angle plat.
Th´eor`eme de la mesure des angles :
Il existe un isomorphisme de pR{2πZ,`q sur pA,`q. Lorsque le plan a ´et´e orient´e, la mesure θd’un
angle est le r´eel, d´efini modulo 2π, tel que si a“ p {
ÝÑ
u , rpÝÑ uqq, alors la matrice de r- dans n’importe
quelle base orthonormale directe de E- est de la forme ¨
˝cospθq ´ sinpθq
sinpθqcospθq
˛
‚.
Remarque : Il est d’usage d’identifier, dans les notations, angle et mesure de l’angle. L’´egalit´e de
deux angles sera alors traduite par l’´egalit´e de leurs mesures et on notera :
p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq “ p{
ÝÑ
u1,ÝÑ v1q r2πs.
Noter que l’´egalit´e de deux mesures d’angles modulo πtraduit la r´eunion de deux ´egalit´es de mesure
modulo 2π:
p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq “ θrπs ô
$
’
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
’
%
p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq “ θr2πs
ou
p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq “ θ`πr2πs
cette deuxi`eme ´egalit´e ´etant elle-mˆeme ´equivalente `a
p{
ÝÑ
u , ÝÑ vq “ θ´πr2πs
Il est parfois inutile de distinguer le sens des angles. On parle alors d’angles non orient´es. Un tel angle
peut ˆetre d´efini comme l’ensemble quotient de U2par OpEq(au lieu de O`pEq). On peut aussi dire
que deux angles non orient´es {
ÝÑ
u , ÝÑ vet {
ÝÑ
u1,ÝÑ v1sont ´egaux si les deux angles orient´es correspondants
sont ´egaux ou oppos´es.
3. Michel Chasles (1793-1880), math´ematicien fran¸cais.
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