Vecteurs du plan Dans la suite ! vecteur " signifiera ! vecteur du plan

Vecteurs du plan
Dans la suite
!
vecteur " signifiera
!
vecteur du plan ".
I. Généralités
La notion de vecteur est fondamentale en Géométrie. Elle peut-être introduite de façon algébrique
via la notion d’espace vectoriel (réel), mais comme vous le comprendrez facilement, ce n’est pas cette
solution qui est retenue dans les programmes de l’enseigement secondaire français actuellement 1 .
La définition retenue nécessite trois pré requis essentiels :
– Les projections parallèlement à une direction donnée conservent les milieux ;
– la définition et les propriétés des parallélogrammes ;
– la notion de translation indépendante de celle de vecteur (sans quoi, on aurait évidemment un
cercle vicieux).
Je ne reviendrai pas ici sur la notion de parallélogramme et je vous laisse le soin de vous y reporter
si nécessaire. Pour ce qui est des translations, voici comment la notion est introduite en classe de
Seconde.
Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. La translation défine par ces deux points, est
l’application qui, à tout point M du plan, associe l’unique point M 1 , tel que les segments rBM s et
rAM 1 s aient même milieu 2 .
Avec les notations précédentes, deux cas peuvent se produire :
– soit A, B, M sont alignés et alors M 1 est aussi aligné avec ces trois points, le parallèlogramme
ABM 1 M est alors aplati ;
– soit A, B, M ne sont pas alignés et le quadrilatère ABM 1 M est alors un parallélogramme non
aplati.
Définition 2 : Sur l’ensemble des bipoints du plan on dénit la relation R suivante.
pA, BqRpC, Dq si les translations définies par pA, Bq et pC, Dq sont les mêmes.
Cette définition est équivalente à :
pA, BqRpC, Dq ô ABDC est un parallélogramme.
La relation R est appelée
!
relation d’équipolence ".
Proposition 1 : La relation R est une relation d’équivalence sur l’ensemble des bipoints du plan.
Démonstration :
1. Aussi curieux que cela puisse vous paraitre, la notion d’espace vectoriel réel a pourtant été introduite dans l’enseignement secondaire français - et cela dès la classe de Seconde - lors de la réforme dite des
!
mathématiques modernes " en
1971.
2. L’existence et l’unicité de M 1 résultent des propriétés des parallélogrammes faisant partie des pré requis.
– La relation est réflexive car pA, B, B, Aq est un parallélogramme puisque rA, Bs et rB, As ont
évidemment même milieu.
– La relation est symétrique car pA, BqRpC, Dq signifie que ABDC est un parallélogramme ce qui
est équivalent à dire que CDBA est aussi un parallèlogramme, c’est-à-dire pC, DqRpA, Bq.
– Pour montrer que la relation est transitive, il faut montrer (et cela suffira) que
ABDC parallélogramme et CDF E parallélogramme ñ ABF E parallélogramme.
La démonstration de cette propriété n’est pas triviale - lorsqu’on n’utilise pas de caractérisation
vectorielle des parallélogrammes. Pour la construire, on utilise le résultat suivant.
Lemme : X et Y étant deux doites sécantes du plan. Si quatre points A, B, C, D se projettent
sur X - parallèlement à Y - en A1 , B1 , C1 , D1 et sur Y - parallèlement à X - en A2 , B2 , C2 , D2
et si les milieux de rA1 D1 s et rB1 C1 s d’une part et les milieux de rA2 D2 s et rB2 C2 s d’autre part
sont confondus, alors ABDC est un parallélogramme.
Remarque : la réciproque de ce résultat est évidente, car il est bien connu que les projections
conservent les milieux.
Démontrons le lemme. Pour cela, notons I le milieu de rADs et J le milieu de rBCs. Notons I1 et
I2 respectivement les projections de I sur X (dans la direction de Y ) et sur Y (dans la direction
de X), puis, de façon analogue, J1 et J2 les projections de J.
On sait que I1 est le milieu de rA1 D1 s et que J1 est le milieu de rB1 C1 s, d’où I1 “ J1 . De la
même façon, on déduit que I2 “ J2 . Mais alors, I et J sont à l’intersection de la droite passant par
I1 “ J1 , parallèle à Y , et de la droite passant par I2 “ J2 , parallèle à X. Ces deux droites étant
sécantes I “ J. Mais alors, ABDC est un parallèlogramme.
Revenons à la transitivité de la relation d’équipollence.
Avec les notations introduites, on va montrer que ABF E est un parallélogramme. Pour cela, on
projette les quatre points sur deux droites sécantes X et Y comme précédemment.
Intéressons nous aux projections sur X : A1 , B1 , C1 , D1 , F1 , E1 . Si I1 est le milieu de rA1 D1 s (et de
rB1 C1 s) et J1 le milieu de rC1 F1 s (et de rD1 E1 s), alors A1 I1 ` D1 I1 “ 0 et C1 J1 ` F1 J1 “ 0. D’où,
A1 I1 ` D1 I1 ` C1 J1 ` F1 J1 “ 0
“ A1 I1 ` D1 I1 ` C1 I1 ` I1 J1 ` F1 I1 ` I1 J1
“ A1 I1 ` D1 I1 ` C1 I1 ` F1 I1 ` 2I1 J1
ô A1 I1 ` D1 I1 ` C1 I1 ` F1 I1 “ 2J1 I1 .
En partant cette fois de B1 I1 ` C1 I1 “ 0 et D1 J1 ` E1 J1 “ 0, on obtient :
B1 I1 ` C1 I1 ` D1 J1 ` E1 J1 “ 0
“ B1 I1 ` C1 I1 ` D1 I1 ` I1 J1 ` E1 I1 ` I1 J1
ô B1 I1 ` C1 I1 ` D1 I1 ` E1 I1 “ 2J1 I1 .
En égalant les deux expressions de 2J1 I1 et en simplifiant, on obtient
A1 I1 ` F1 I1 “ B1 I1 ` E1 I1 .
Si K1 est le milieu de rA1 F1 s et K11 le milieu de rB1 E1 s, on a :
2K1 I1 “ 2K11 I1 ô K1 “ K11 .
Le même type de calcul, mené à partir des projections sur Y (dans la direction de X), conduirait à
l’égalité des projetés des milieux de rAF s et de rBEs. D’après le lemme, les milieux de ces segments
sont donc confondus et pA, Bq est équipollent à pE, F q. C’est ce qu’on voulait démontrer.
Définition 3 : Un vecteur du plan est une classe d’équivalence de bipoints pour R. La classe de
ÝÝÑ
ÝÝÑ
pA, Bq (pour R) est notée AB. Le point A est appelé l’origine du vecteur AB et le point B son
ÝÝÑ
Ñ
Ý
extrémité. Lorsque A “ B, le vecteur AB est appelé le vecteur nul, il est noté 0 .
Notation complémentaire : la translation définie par pA, Bq est notée tÝÝÑ , on l’appelle la translation
AB
ÝÝÑ
de vecteur AB.
Remarques :
– si des bipoints appartiennent à la même classe d’équipollence, on dit qu’ils sont des représentants
ÝÝÑ ÝÝÑ
du même vecteur. Si deux de ces bipoints sont notés pA, Bq et pC, Dq, alors AB “ CD (et ABDC
est un parallélogramme - éventuellement aplati).
ÝÝÑ
Ý
– si Ñ
u “ AB, alors quel que soit la point M du plan, il existe un unique point M 1 tel que
ÝÝÑ ÝÝÝÑ1
AB “ M M .
Cela résulte de l’existence et de l’unicité du quatrième sommet d’un parallélogramme, trois de
ses sommets étant donnés.
II. Définitions et propriétés des opérations sur les vecteurs
Ý
Ý
Définition 3 et proposition : Soient Ñ
u et Ñ
v deux vecteurs. On définit l’addition de deux vecteurs
de la façon suivante.
ÝÝÑ
ÝÝÑ
ÝÑ
Ý
Ý
Ý
Ý
Si Ñ
u “ AB et Ñ
v “ BC, alors le vecteur AC ne dépend que des vecteurs Ñ
u et Ñ
v , c’est la somme
Ñ
Ý
Ñ
Ý
des vecteurs u et v .
ÝÝÑ
ÝÝÝÑ
Ý
Ý
Si A1 B 1 est un autre représentant de Ñ
u , on choisit un représentant de Ñ
v d’origine B 1 , noté B 1 C 1 et
la transitivité de la relation d’équipollence assure que ACC 1 A1 est un parallèlogramme, soit encore
Ñ
ÝÑ ÝÝ
AC “ A1 C 1 .
Proposition 2 : L’ensemble des vecteurs (du plan) muni de l’addition est un groupe commutatif.
Ý
Définition 4 et proposition : Soit Ñ
u un vecteur non nul et λ un réel. On définit la multiplication
d’un vecteur par un réel de la façon suivante.
ÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÑ
Ý
Si Ñ
u “ AB et B 1 le point de la droite pABq tel que AB 1 “ λ AB, alors λ AB “ AB 1 . Ce vecteur ne
Ñ
Ý
Ý
Ý
Ý
dépend pas du représentant de Ñ
u , on l’appelle le produit de Ñ
u par λ. Si Ñ
u “ 0 , alors, quel que
Ñ
Ý
Ý
soit λ P R, λ Ñ
u “ 0.
Proposition 3 : L’ensemble des vecteurs du plan muni de l’addition et de la multiplication par un
réel est un espace vectoriel réel de dimension 2.
III. Angles de vecteurs
Pour définir les angles de vecteurs, on s’appuiera sur la notion - supposée déjà étudiée - d’application orthogonale et, en particulier, sur la notion de rotation (ou d’application orthogonale positive).
L’ensemble des applications orthogonales (positives, négatives) du plan vectoriel euclidien E est
noté OpEq (O` pEq, O´ pEq).
On note désormais U l’ensemble des vecteurs unitaires du plan (vectoriel).
Définition 4 : On note R la relation définie sur U ˆ U par :
Ñ1 , Ý
Ñ2 qRpÑ
Ý
Ý
Ñ1 q “ Ý
Ñ2 et rpÑ
Ý
Ý
pÝ
u
u
v1 , Ñ
v2 q s’il existe r P O` pEq telle que rpÝ
u
u
v1 q “ Ñ
v2 .
Proposition 3 : La relation R est une relation d’équivalence sur U ˆ U.
Démonstration : Triviale.
Proposition 4 :
Ñ1 , Ý
Ñ2 qRpÑ
Ý
Ý
Ñ1 q “ Ñ
Ý
Ñ2 q “ Ñ
Ý
pÝ
u
u
v1 , Ñ
v2 q ô Dρ P O` pEq telle que ρpÝ
u
v1 et ρpÝ
u
v2 .
Ý
Ñ1 et Ñ
Ý
Démonstration : Les vecteurs u
v1 étant de même norme, on sait (pré requis sur O` pEq) qu’il
Ñ1 sur Ñ
Ý
existe une unique rotation qui envoie Ý
u
v1 . Notons f cette rotation. Alors, r ˝ f ˝ r´1 envoie
Ý
Ñ2 sur Ñ
Ý
u
v2 . Mais, pO` pEq, ˝q est un groupe commutatif, donc r ˝ f ˝ r´1 “ f .
Ý
Ý
Définition 5 : On appelle angle de deux vecteurs unitaires Ñ
u et Ñ
v , la classe d’équivalence du couple
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ý
{
p u , v q pour la relation R. Cet angle est noté p u , v q, ou encore pÑ
u,Ñ
v q pour alléger les notations
lorsque cela ne crée pas d’ambigüité.
L’ensemble des angles de deux vecteurs unitaires est noté A.
Ý
Remarque : cette définition s’étend facilement aux angles de vecteurs quelconques non nuls. Si Ñ
x
Ñ
Ý
Ñ
Ý
y
x
Ý
Ý
Ý
, Ý q.
et Ñ
y sont deux vecteurs non nuls, l’angle pÑ
x,Ñ
y q est l’angle p Ñ
}Ý
x } }Ñ
y}
La définition s’étend aussi aux angles de demi-droites vectorielles puisqu’une demi-droite vectorielle
est complètement définie par un de ses vecteurs (non nul).
Proposition 5 : L’application de O` pEq dans A définie par
Ý
Ý
r ÞÑ pÑ
u{
, rpÑ
u qq
Ý
est une bijection qui ne dépend pas du vecteur Ñ
u . Sa bijection réciproque est l’application qui à
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ý
tout angle de vecteurs (unitaires) p u , v q associe l’unique rotation qui transforme Ñ
u en Ñ
v.
Cette bijection permet de transporter la structure de groupe commutatif de l’ensemble des rotations
Ñ
Ý
Ñ
Ý
{
Ý
Ý
{
sur l’ensemble des angles. Plus précisément, si pÑ
u,Ñ
v q et p u1 , v 1 q sont deux angles, alors l’angle
Ñ
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
somme est l’angle pÑ
w , pr1 ˝ rqpÑ
w qq, où rpÑ
uq “Ñ
v et r1 p u1 q “ v 1 . La définition de l’angle somme ne
Ý
dépend évidemment pas du vecteur non nul Ñ
w.
Proposition 6 : Relation de Chasles 3
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
{
{
{
@pÑ
u,Ñ
v ,Ñ
w q P U 3 , pÑ
u,Ñ
v q ` pÑ
v ,Ñ
w q “ pÑ
u,Ñ
w q.
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Démonstration : si rpÑ
uq “Ñ
v et r1 pÑ
vq“Ñ
w , alors r1 ˝ rpÑ
uq “Ñ
w.
Remarques :
Ñ
Ý
Ý
Ý
Ý
{
– si r “ idE , alors l’angle associé à r est de la forme pÑ
u,Ñ
u q (Ñ
u ‰ 0 ), on l’appelle l’angle nul.
Ñ
Ý
Ý
Ý
Ý
– si r “ ´idE , alors l’angle associé à r est de la forme pÑ
u{
, ´Ñ
u q (Ñ
u ‰ 0 ), on l’appelle l’angle plat.
Théorème de la mesure des angles :
Il existe un isomorphisme de pR{2πZ, `q sur pA, `q. Lorsque le plan a été orienté, la mesure θ d’un
Ý
Ý
angle est le réel, défini modulo 2π, tel que si a “ pÑ
u{
, rpÑ
u¨qq, alors la matrice
˛ de r - dans n’importe
cospθq ´ sinpθq
‚.
quelle base orthonormale directe de E - est de la forme ˝
sinpθq cospθq
Remarque : Il est d’usage d’identifier, dans les notations, angle et mesure de l’angle. L’égalité de
deux angles sera alors traduite par l’égalité de leurs mesures et on notera :
Ñ
Ý
Ñ
Ý
{
Ý
Ý
{
pÑ
u,Ñ
v q “ p u1 , v 1 q r2πs.
Noter que l’égalité de deux mesures d’angles modulo π traduit la réunion de deux égalités de mesure
modulo 2π :
Ý
Ý
{
pÑ
u,Ñ
v q “ θ rπs ô
$
’
’
’
’
’
’
’
’
&
Ý
Ý
{
pÑ
u,Ñ
v q “ θ r2πs
ou
Ý
Ý
{
pÑ
u,Ñ
v q “ θ ` π r2πs
’
’
’
’
cette deuxième égalité étant elle-même équivalente à
’
’
’
’
%
Ý
Ý
{
pÑ
u,Ñ
v q “ θ ´ π r2πs
Il est parfois inutile de distinguer le sens des angles. On parle alors d’angles non orientés. Un tel angle
peut être défini comme l’ensemble quotient de U 2 par OpEq (au lieu de O` pEq). On peut aussi dire
Ñ
Ý
Ñ
Ý
{
Ý
Ý
{
que deux angles non orientés Ñ
u,Ñ
v et u1 , v 1 sont égaux si les deux angles orientés correspondants
sont égaux ou opposés.
3. Michel Chasles (1793-1880), mathématicien français.