SUITES, S´ERIES, VARIABLE R´EELLE 1. Topologie et

Université de TOURS - Préparation à l’Agrégation - 2012/2013
SUITES, SÉRIES, VARIABLE RÉELLE
1.
Topologie et espaces vectoriels normés
Exercice 1
Montrer qu’une suite de Cauchy dans un espace vectoriel normé est toujours bornée.
Exercice 2 Montrer que Z est complet mais que Q ne l’est pas (autrement dit les suites de Cauchy de Z
convergent alors que celles de Q ne convergent pas forcément dans Q).
Exercice 3∗ Montrer que si K est un compact et f une fonction continue de K dans R alors f est bornée
et atteint ses bornes.
Exercice 4
Soit P ∈ C[X] non constant. Montrer que |P (z)| → +∞ quand |z| → +∞.
Exercice 5 On munit Rn des normes usuelles ||.||1 , ||.||2 et ||.||∞ . Comparer et dessiner les boules unités
associées à ces différentes normes et montrer que ces normes sont équivalentes.
! p1
n
X
Rappel : si p ≥ 1, ||x||p =
|xi |p .
k=1
Exercice 6
n
R est muni de la norme ||.||p où p est un réel ≥ 1. Pour tout x de Rn , démontrer que
lim ||x||p = ||x||∞ .
p→+∞
Exercice 7
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé. Démontrer que les boules de (E, N ) sont convexes.
! 1t
n
X
n’est pas une norme sur Rn
En déduire que pour tout 0 < t < 1, l’application (x1 , ..., xn ) 7→
|xi |t
i=1
pour n ≥ 2.
Exercice 8∗
de Mn (C).
Démontrer que GLn (C), l’ensemble des matrices complexes inversibles, est un ouvert dense
Exercice 9 (Attention, on est en dimension quelconque)
Soit F un sous-espace vectoriel d’un R-espace vectoriel normé (E, || ||).
◦
1. Démontrer que si F est un sous-espace vectoriel strict alors F = ∅.
(F sous-espace vectoriel strict signifie F 6= E)
◦
Indication : Soit F un sous-espace tel que F contienne une boule ouverte, par exemple de centre x0
et de rayon r0 . Soit x ∈ E\{x0 }. Considérer le vecteur x0 + α(x − x0 ) avec α un nombre réel bien
choisi.
2. Démontrer que si F est un sous-espace vectoriel, F est un sous-espace vectoriel de E.
2
Indication : soit (x, y) ∈ F et λ ∈ R. Les vecteurs x et y sont les limites de suites d’éléments de F .
3. En déduire que si F est un hyperplan, F est soit fermé, soit dense dans E.
(Si F 6= F alors ∃x0 ∈ F \F telle que Rx0 ⊂ F et Rx0 ∩ F = {0})
1
2.
Suites de réels et de complexes
Exercice 10
Montrer qu’une suite croissante et majorée converge.
Exercice 11
A t-on l’équivalence entre :
1. (un )n∈N est une suite réelle convergente,
2. Pour tout entier p ∈ N, lim un+p − un = 0 ?
n→+∞
Exercice 12
Montrer que si une suite converge alors elle est de Cauchy.
Exercice 13
Montrer qu’une suite d’un compact qui a une seule valeur d’adhérence converge.
Exercice 14
Soit X un ensemble quelconque non vide et (un )n∈N une suite de X. Soit (uϕ(n) )n∈N une
suite extraite de (un )n∈N , c’est-à-dire, que ϕ est une application strictement croissante de N dans N. Soit
ψ une autre application strictement croissante de N dans N. Laquelle des deux suites suivantes est une
suite extraite de (uϕ(n) )n∈N ?
α) (u(ψ◦ϕ)(n) )n∈N ,
β) (u(ϕ◦ψ)(n) )n∈N .
Justifier le résultat. Commencer par le cas où X = N, un = n, ϕ(n) = 2n, ψ(n) = 2n + 1 pour n dans N.
Montrer que la convergence d’une suite (un )n∈N est équivalente à la convergence de la
Exercice 15∗
+∞
X
√ n n
série
(un+1 − un ). En déduire la formule de Stirling n! ∼ C n
en considérant un = ln(vn ) avec
e
n=0
n!
vn = n −n √ et l’existence de la constante d’Euler γ en considérant wn = 1 + 1/2 + ... + 1/n − ln(n).
n e
n
Exercice 16 Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé et (un )n∈N une suite de E. Prouver que si la suite
(un )n∈N admet deux sous-suites de limites différentes alors elle diverge.
S
Exercice 17 Soient ϕ et ψ deux fonctions strictement croissantes de N dans N telles que ϕ(N) ψ(N) = N.
Soient (un )n∈N une suite de réels et l un réel tels que uϕ(n) → l et uψ(n) → l. Prouver que la suite (un )n∈N
tend vers l.
Exercice 18 Soit (un )n∈N une suite de réels tendant vers zéro. Démontrer qu’il existe une application ϕ
de N dans N strictement croissante telle que lim n uϕ(n) = 0.
n→+∞
Indications
: Poser ϕ(0) = 0. On pourra construire ϕ par récurrence en s’aidant des ensembles suivants
1
An = k ∈ N | k > ϕ(n − 1) et |uk | ≤ 2 pour n ≥ 1.
n
Exercice 19 Théorème de Césaro.
Une suite (un )n∈N de réels sera dite convergente en moyenne si la suite (Sn )n∈N∗ définie par :
n
1X
Sn =
uk est convergente.
n k=1
1. On considère une suite de réels (an )n∈N convergeant vers zéro. Démontrer que pour tout ε strictement
positif,
ilexiste un entier naturel non nul p tel que pour tout entier naturel n supérieur à p on ait :
p
n
1 X
ε 1X
ak ≤ +
|ak |. En déduire que la suite (an )n∈N converge en moyenne vers zéro.
n
2 n
k=1
k=1
2. Soit (bn )n∈N un suite de réels convergeant vers b. Démontrer que (bn )n∈N converge en moyenne vers
b.
2
3. La suite (δn )n∈N définie par δn = (−1)n est-elle convergente ? Est-elle convergente en moyenne ? Que
peut-on en déduire ?
4. Soit (cn )n∈N une suite de réels. On suppose que la suite (dn )n∈N définie par dn = cn+1 − cn converge
cn
vers c. Démontrer que la suite
converge aussi vers c.
n n∈N∗
Exercice 20
Soit ϕ une fonction définie et continue sur [0, c] avec c > 0 qui admet le développement
asymptotique suivant :
ϕ(x) = x − axθ + xθ ε(x),
pour x au voisinage de 0 où ε est une fonction définie sur un voisinage de 0 telle que lim ε(x) = 0 avec
x→0
a > 0 et θ > 1.
1. Montrer qu’il existe η > 0 tel que pour tout x de ]0, η], on ait 0 < ϕ(x) < x.
2. En déduire que ϕ(]0, η]) ⊂]0, η].
3. Prouver que la suite (xn )n∈N définie par récurrence par x0 ∈]0, η] et xn+1 = ϕ(xn ) est définie et que
tous ses termes sont strictement positifs.
4. Montrer que la suite (xn )n∈N tend vers zéro.
5. On pose pour tout n ∈ N, un = xαn où α est un réel non nul. Trouver un équivalent de un+1 − un en
fonction de xn .
6. Trouver un réel non nul α tel que la suite (un+1 − un )n∈N admette une limite réelle non nulle. En
déduire un équivalent de (xn )n∈N à l’aide du théorème de sommation des équivalents.
Exercice 21
3.
Énoncé et démontrer le théorème du point fixe dans un espace métrique complet.
Séries numériques
Exercice 22
Convergence et calcul de la somme
+∞
X
p=1
p−2
. (Décomposer en éléments simples)
p(p + 1)(p + 2)
Exercice 23
X
√
Etudier la suite (un )n∈N définie par un = sin π n4 + 1 puis la série
un .
n∈N
(Faire un développement asymptotique de un )
Étudier la nature de la série de terme général définie pour tout n de N∗ par :
1
=
.
ln (ch n)
1
1
= arccos − arccos 2 .
n
n
√
1
1
= arcsin √ − n arcsin .
n
n
(ln n)n
.
=
n!
Z +∞
| cos nx|
=
dx.
1 + n 2 x2
0
Exercice 24
1. un
2. un
3. un
4. un
5. un
Exercice 25
Étudier la nature de la série de terme général définie pour tout n de N∗ par :
3
(−1)n
.
n + sin n
(−1)n
√
2. un =
[Indication : (−1)n sin n = sin(n(π + 1))].
n + sin n
1. un =
Exercice 26
4.
Énoncer et démontrer le critère des séries alternées.
Continuité et dérivabilité de fonctions numériques
Exercice 27
Démontrer l’inégalité arithmético-géométrique.
Exercice 28
Prouver que pour tout x dans [0, 1], arcsin x + arccos x =
Exercice 29
Énoncer et démontrer le théorème de Rolle.
π
.
2
Exercice 30 Inégalité des accroissements finis relative à un couple de fonctions.
(E, || ||) désignant un espace vectoriel normé, soient a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] → E et
g : [a, b] → R des applications continues admettant en tout point de ]a, b[ des dérivées à droite telles que
∀t ∈]a, b[, ||fd0 (t)|| ≤ gd0 (t).
Le but est de prouver que ||f (b) − f (a)|| ≤ g(b) − g(a).
Soient ε > 0, ϕε : [a, b] → R, t 7→ ||f (t) − f (a)|| − g(t) + g(a) − ε(t − a) et Eε = {t ∈ [a, b] | ϕε (t) ≤ ε}.
1. Démontrer que c = max Eε existe et que c > a.
Supposons que c < b.
2. Prouver qu’il existe un t ∈]c, b] tel que ||f (t) − f (c)|| ≤ g(t) − g(c) + ε(t − c).
Indication : Utiliser la dérivabilité à droite de ||f || et de g en c puis multiplier par t − c.
3. En remarquant que c ∈ Eε et en utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que t ∈ Eε .
4. Conclure.
5. En déduire l’inégalité des accroissements finis :
Soient E un espace vectoriel normé, a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] → E une application
continue sur [a, b], dérivable à droite sur ]a, b[ telle que fd0 soit bornée sur ]a, b[. Alors
||f (b) − f (a)|| ≤ (b − a) sup ||fd0 (t)||.
t∈]a,b[
Exercice 31
1. Soit I un intervalle de R et a un point de I. On suppose que la fonction f est continue sur I, dérivable
sur I\{a} et que la fonction dérivée f 0 a une limite finie l en a. Démontrer que la fonction f est
dérivable en a, que f 0 (a) = l et que la fonction f 0 est continue en a.
2. Démontrer le fait que la fonction f 0 ait une limite finie en a est une condition suffisante mais non
nécessaire pour que la fonction f soit dérivable en a.
Exercice 32∗
Soit f une application monotone d’un intervalle I de R et E l’ensemble des points de
discontinuité de f . Démontrer que E est au plus dénombrable.
4
5.
Suites et séries de fonctions
Exercice 33
Etudier la convergence simple et uniforme
]0, +∞[ et sur tout compact de ]0, +∞[ de la
sur
1
pour tout x > 0 et tout n de N∗ .
suite de fonctions (fn )n∈N∗ définie par : fn (x) = n sin
nx
Exercice 34 Trouver une suite de fonctions continues (fn )n∈N qui converge simplement vers une fonction
f discontinue.
Exercice 35 Soit f : R+ → R une fonction continue et non identiquement nulle telle que
f (0) = lim f (x) = 0.
x→+∞
1. Prouver que la fonction f est bornée sur R+ .
fn : R + → R
2. Démontrer que les suites de fonctions
et
x 7→ f (nx) n∈N
convergent simplement vers zéro sur R+ .
gn : R + → R x
x 7→ f
n
!
n∈N∗
3. Prouver que la suite de fonctions (fn )n∈N ne converge pas uniformément vers zéro sur R+ .
4. Prouver que la suite de fonctions (gn )n∈N∗ ne converge pas uniformément vers zéro sur R+ .
5. Prouver que la suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément vers zéro sur [a, +∞[ pour tout
a > 0.
6. Prouver que la suite de fonctions (gn )n∈N∗ converge uniformément vers zéro sur [0, a] pour tout a > 0.
Exercice 36 Théorème de Dini.
Soit (fn )n∈N une suite croissante de fonctions continues sur [a, b], c’est-à-dire,
∀x ∈ [a, b] ∀n ∈ N fn (x) ≤ fn+1 (x).
On suppose que cette suite de fonctions (fn )n∈N converge simplement sur [a, b] vers une fonction f continue
sur [a, b]. Le but est de démontrer que la convergence est uniforme sur [a, b].
On pose pour tout entier n de N, αn = sup (f (x) − fn (x)).
x∈[a,b]
1. Prouver que la suite (αn )n∈N est une suite positive et décroissante au sens large.
Soit l sa limite. On va prouver que l = 0.
2. Démontrer qu’il existe un point xn de [a, b] tel que αn = f (xn ) − fn (xn ).
3. Prouver que l’on peut extraire une sous-suite convergente notée (xϕ(n) )n∈N de la suite (xn )n∈N .
On notera x∗ sa limite.
4. Soit p ∈ N et n tel que ϕ(n) ≥ p. En considérant f (xϕ(n) ) − fp (xϕ(n) ), démontrer que
f (x∗ ) − fp (x∗ ) ≥ l ≥ 0.
5. Conclure
Exercice 37
Étudier f (x) =
+∞
X
ln(n + 1)e−nx .
n=0
Z
Exercice 38
On pose pour tout θ réel, f (θ) =
π
cos(θ cos t) dt. Démontrer que la fonction f est
0
développable en série entière de rayon de convergence infini.
5
Exercice 39 Critère d’Hadamard.
Soit (an )n∈N une suite de nombres complexes. Démontrer que :
La série
X
n∈N
an z n a pour rayon de convergence R =
1
1
lim sup |an | n
.
Rappel : soit (bn )n∈N une suite de réels. Le réel L = lim sup bn est la plus grande des valeurs d’adhérence
de la suite (bn )n∈N dans R, c’est-à-dire, que L vérifie les deux propriétés suivantes :
a. ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N ) =⇒ (bn < L + ε)
si L > −∞ (Propriété triviale si L = +∞),
b. il existe ϕ : N → N une application strictement croissante telle que bϕ(n) → L quand n → +∞.
Remarque : Si L = −∞ alors lim bn = −∞.
n→+∞
1
n
Exemple : lim sup(−1) = 1, lim sup = 0.
n
1
1
1
n
On pose L = lim sup |an | . Si L = 0, par convention, = +∞ et si L = +∞ alors = 0.
L
L
6