SUITES, S´ERIES, VARIABLE R´EELLE 1. Topologie et

Universit´e de TOURS - Pr´eparation `a l’Agr´egation - 2012/2013
SUITES, S´ ERIES, VARIABLE R´ EELLE
1. Topologie et espaces vectoriels norm´es
Exercice 1 Montrer qu’une suite de Cauchy dans un espace vectoriel norm´e est toujours born´ee.
Exercice 2 Montrer que Zest complet mais que Qne l’est pas (autrement dit les suites de Cauchy de Z
convergent alors que celles de Qne convergent pas forc´ement dans Q).
Exercice 3∗Montrer que si Kest un compact et fune fonction continue de Kdans Ralors fest born´ee
et atteint ses bornes.
Exercice 4 Soit P∈C[X] non constant. Montrer que |P(z)| → +∞quand |z| → +∞.
Exercice 5 On munit Rndes normes usuelles ||.||1,||.||2et ||.||∞. Comparer et dessiner les boules unit´es
associ´ees `a ces diff´erentes normes et montrer que ces normes sont ´equivalentes.
Rappel : si p≥1, ||x||p= n
X
k=1 |xi|p!
1
p
.
Exercice 6 Rnest muni de la norme ||.||po`u pest un r´eel ≥1. Pour tout xde Rn, d´emontrer que
lim
p→+∞||x||p=||x||∞.
Exercice 7 Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e. D´emontrer que les boules de (E, N) sont convexes.
En d´eduire que pour tout 0 < t < 1, l’application (x1, ..., xn)7→ n
X
i=1 |xi|t!
1
t
n’est pas une norme sur Rn
pour n≥2.
Exercice 8∗D´emontrer que GLn(C), l’ensemble des matrices complexes inversibles, est un ouvert dense
de Mn(C).
Exercice 9 (Attention, on est en dimension quelconque)
Soit Fun sous-espace vectoriel d’un R-espace vectoriel norm´e (E, ||||).
1. D´emontrer que si Fest un sous-espace vectoriel strict alors ◦
F=∅.
(Fsous-espace vectoriel strict signifie F6=E)
Indication : Soit Fun sous-espace tel que ◦
Fcontienne une boule ouverte, par exemple de centre x0
et de rayon r0. Soit x∈E\{x0}. Consid´erer le vecteur x0+α(x−x0) avec αun nombre r´eel bien
choisi.
2. D´emontrer que si F est un sous-espace vectoriel, Fest un sous-espace vectoriel de E.
Indication : soit (x, y)∈F2et λ∈R. Les vecteurs xet ysont les limites de suites d’´el´ements de F.
3. En d´eduire que si Fest un hyperplan, Fest soit ferm´e, soit dense dans E.
(Si F6=Falors ∃x0∈F\Ftelle que Rx0⊂Fet Rx0∩F={0})
1

2. Suites de r´eels et de complexes
Exercice 10 Montrer qu’une suite croissante et major´ee converge.
Exercice 11 A t-on l’´equivalence entre :
1. (un)n∈Nest une suite r´eelle convergente,
2. Pour tout entier p∈N, lim
n→+∞un+p−un= 0 ?
Exercice 12 Montrer que si une suite converge alors elle est de Cauchy.
Exercice 13 Montrer qu’une suite d’un compact qui a une seule valeur d’adh´erence converge.
Exercice 14 Soit Xun ensemble quelconque non vide et (un)n∈Nune suite de X. Soit (uϕ(n))n∈Nune
suite extraite de (un)n∈N, c’est-`a-dire, que ϕest une application strictement croissante de Ndans N. Soit
ψune autre application strictement croissante de Ndans N. Laquelle des deux suites suivantes est une
suite extraite de (uϕ(n))n∈N?
α) (u(ψ◦ϕ)(n))n∈N,
β) (u(ϕ◦ψ)(n))n∈N.
Justifier le r´esultat. Commencer par le cas o`u X=N,un=n,ϕ(n) = 2n,ψ(n) = 2n+ 1 pour ndans N.
Exercice 15∗Montrer que la convergence d’une suite (un)n∈Nest ´equivalente `a la convergence de la
s´erie
+∞
X
n=0
(un+1 −un). En d´eduire la formule de Stirling n!∼C√nn
enen consid´erant un= ln(vn) avec
vn=n!
nne−n√net l’existence de la constante d’Euler γen consid´erant wn= 1 + 1/2 + ... + 1/n −ln(n).
Exercice 16 Soit (E, ||||) un espace vectoriel norm´e et (un)n∈Nune suite de E. Prouver que si la suite
(un)n∈Nadmet deux sous-suites de limites diff´erentes alors elle diverge.
Exercice 17 Soient ϕet ψdeux fonctions strictement croissantes de Ndans Ntelles que ϕ(N)Sψ(N) = N.
Soient (un)n∈Nune suite de r´eels et lun r´eel tels que uϕ(n)→let uψ(n)→l. Prouver que la suite (un)n∈N
tend vers l.
Exercice 18 Soit (un)n∈Nune suite de r´eels tendant vers z´ero. D´emontrer qu’il existe une application ϕ
de Ndans Nstrictement croissante telle que lim
n→+∞n uϕ(n)= 0.
Indications : Poser ϕ(0) = 0. On pourra construire ϕpar r´ecurrence en s’aidant des ensembles suivants
An=k∈N|k > ϕ(n−1) et |uk| ≤ 1
n2pour n≥1.
Exercice 19 Th´eor`eme de C´esaro.
Une suite (un)n∈Nde r´eels sera dite convergente en moyenne si la suite (Sn)n∈N∗d´efinie par :
Sn=1
n
n
X
k=1
ukest convergente.
1. On consid`ere une suite de r´eels (an)n∈Nconvergeant vers z´ero. D´emontrer que pour tout εstrictement
positif, il existe un entier naturel non nul ptel que pour tout entier naturel nsup´erieur `a pon ait :
1
n
n
X
k=1
ak≤ε
2+1 n
p
X
k=1 |ak|. En d´eduire que la suite (an)n∈Nconverge en moyenne vers z´ero.
2. Soit (bn)n∈Nun suite de r´eels convergeant vers b. D´emontrer que (bn)n∈Nconverge en moyenne vers
b.
2

3. La suite (δn)n∈Nd´efinie par δn= (−1)nest-elle convergente ? Est-elle convergente en moyenne ? Que
peut-on en d´eduire ?
4. Soit (cn)n∈Nune suite de r´eels. On suppose que la suite (dn)n∈Nd´efinie par dn=cn+1 −cnconverge
vers c. D´emontrer que la suite cn
nn∈N∗
converge aussi vers c.
Exercice 20 Soit ϕune fonction d´efinie et continue sur [0, c] avec c > 0 qui admet le d´eveloppement
asymptotique suivant :
ϕ(x) = x−axθ+xθε(x),
pour xau voisinage de 0 o`u εest une fonction d´efinie sur un voisinage de 0 telle que lim
x→0ε(x) = 0 avec
a > 0 et θ > 1.
1. Montrer qu’il existe η > 0 tel que pour tout xde ]0, η], on ait 0 < ϕ(x)< x.
2. En d´eduire que ϕ(]0, η]) ⊂]0, η].
3. Prouver que la suite (xn)n∈Nd´efinie par r´ecurrence par x0∈]0, η] et xn+1 =ϕ(xn) est d´efinie et que
tous ses termes sont strictement positifs.
4. Montrer que la suite (xn)n∈Ntend vers z´ero.
5. On pose pour tout n∈N,un=xα
no`u αest un r´eel non nul. Trouver un ´equivalent de un+1 −unen
fonction de xn.
6. Trouver un r´eel non nul αtel que la suite (un+1 −un)n∈Nadmette une limite r´eelle non nulle. En
d´eduire un ´equivalent de (xn)n∈N`a l’aide du th´eor`eme de sommation des ´equivalents.
Exercice 21 ´ Enonc´e et d´emontrer le th´eor`eme du point fixe dans un espace m´etrique complet.
3. S´eries num´eriques
Exercice 22 Convergence et calcul de la somme
+∞
X
p=1
p−2
p(p+ 1)(p+ 2). (D´ecomposer en ´el´ements simples)
Exercice 23
Etudier la suite (un)n∈Nd´efinie par un= sin π√n4+ 1puis la s´erie X
n∈N
un.
(Faire un d´eveloppement asymptotique de un)
Exercice 24 ´ Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral d´efinie pour tout nde N∗par :
1. un=1
ln (ch n).
2. un= arccos 1
n−arccos 1 n2.
3. un= arcsin 1
√n−√narcsin 1
n.
4. un=(ln n)n
n!.
5. un=Z+∞
0
|cos nx|
1 + n2x2dx.
Exercice 25 ´ Etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eral d´efinie pour tout nde N∗par :
3

1. un=(−1)n
n+ sin n.
2. un=(−1)n
√n+ sin n[Indication : (−1)nsin n= sin(n(π+ 1))].
Exercice 26 ´ Enoncer et d´emontrer le crit`ere des s´eries altern´ees.
4. Continuit´e et d´erivabilit´e de fonctions num´eriques
Exercice 27 D´emontrer l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique.
Exercice 28 Prouver que pour tout xdans [0,1], arcsin x+ arccos x=π
2.
Exercice 29 ´ Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Rolle.
Exercice 30 In´egalit´e des accroissements finis relative `a un couple de fonctions.
(E, ||||) d´esignant un espace vectoriel norm´e, soient aet bdeux r´eels tels que a < b,f: [a, b]→Eet
g: [a, b]→Rdes applications continues admettant en tout point de ]a, b[ des d´eriv´ees `a droite telles que
∀t∈]a, b[,||f0
d(t)|| ≤ g0 d(t).
Le but est de prouver que ||f(b)−f(a)|| ≤ g(b)−g(a).
Soient ε > 0, ϕε: [a, b]→R,t7→ ||f(t)−f(a)|| − g(t) + g(a)−ε(t−a) et Eε={t∈[a, b]|ϕε(t)≤ε}.
1. D´emontrer que c= max Eεexiste et que c>a.
Supposons que c<b.
2. Prouver qu’il existe un t∈]c, b] tel que ||f(t)−f(c)|| ≤ g(t)−g(c) + ε(t−c).
Indication : Utiliser la d´erivabilit´e `a droite de ||f|| et de gen cpuis multiplier par t−c.
3. En remarquant que c∈ Eεet en utilisant l’in´egalit´e triangulaire, d´emontrer que t∈ Eε.
4. Conclure.
5. En d´eduire l’in´egalit´e des accroissements finis :
Soient Eun espace vectoriel norm´e, aet bdeux r´eels tels que a < b,f: [a, b]→Eune application
continue sur [a, b], d´erivable `a droite sur ]a, b[ telle que f0
dsoit born´ee sur ]a, b[. Alors
||f(b)−f(a)|| ≤ (b−a) sup
t∈]a,b[||f0
d(t)||.
Exercice 31
1. Soit Iun intervalle de Ret aun point de I. On suppose que la fonction fest continue sur I, d´erivable
sur I\{a}et que la fonction d´eriv´ee f0a une limite finie len a. D´emontrer que la fonction fest
d´erivable en a, que f0(a) = let que la fonction f0est continue en a.
2. D´emontrer le fait que la fonction f0ait une limite finie en aest une condition suffisante mais non
n´ecessaire pour que la fonction fsoit d´erivable en a.
Exercice 32∗Soit fune application monotone d’un intervalle Ide Ret El’ensemble des points de
discontinuit´e de f. D´emontrer que Eest au plus d´enombrable.
4

5. Suites et s´eries de fonctions
Exercice 33 Etudier la convergence simple et uniforme sur ]0,+∞[ et sur tout compact de ]0,+∞[ de la
suite de fonctions (fn)n∈N∗d´efinie par : fn(x) = nsin 1
nxpour tout x > 0 et tout nde N∗.
Exercice 34 Trouver une suite de fonctions continues (fn)n∈Nqui converge simplement vers une fonction
fdiscontinue.
Exercice 35 Soit f:R+→Rune fonction continue et non identiquement nulle telle que
f(0) = lim
x→+∞f(x) = 0.
1. Prouver que la fonction fest born´ee sur R+.
2. D´emontrer que les suites de fonctions fn:R+→R
x7→ f(nx)n∈N
et gn:R+→R
x7→ fx
n!n∈N∗
convergent simplement vers z´ero sur R+.
3. Prouver que la suite de fonctions (fn)n∈Nne converge pas uniform´ement vers z´ero sur R+.
4. Prouver que la suite de fonctions (gn)n∈N∗ne converge pas uniform´ement vers z´ero sur R+.
5. Prouver que la suite de fonctions (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers z´ero sur [a, +∞[ pour tout
a > 0.
6. Prouver que la suite de fonctions (gn)n∈N∗converge uniform´ement vers z´ero sur [0, a] pour tout a > 0.
Exercice 36 Th´eor`eme de Dini.
Soit (fn)n∈Nune suite croissante de fonctions continues sur [a, b], c’est-`a-dire,
∀x∈[a, b]∀n∈Nfn(x)≤fn+1(x).
On suppose que cette suite de fonctions (fn)n∈Nconverge simplement sur [a, b] vers une fonction fcontinue
sur [a, b]. Le but est de d´emontrer que la convergence est uniforme sur [a, b].
On pose pour tout entier nde N,αn= sup
x∈[a,b]
(f(x)−fn(x)).
1. Prouver que la suite (αn)n∈Nest une suite positive et d´ecroissante au sens large.
Soit lsa limite. On va prouver que l= 0.
2. D´emontrer qu’il existe un point xnde [a, b] tel que αn=f(xn)−fn(xn).
3. Prouver que l’on peut extraire une sous-suite convergente not´ee (xϕ(n))n∈Nde la suite (xn)n∈N.
On notera x∗sa limite.
4. Soit p∈Net ntel que ϕ(n)≥p. En consid´erant f(xϕ(n))−fp(xϕ(n)), d´emontrer que
f(x∗)−fp(x∗)≥l≥0.
5. Conclure
Exercice 37 ´ Etudier f(x) =
+∞
X
n=0
ln(n+ 1)e−nx.
Exercice 38 On pose pour tout θr´eel, f(θ) = Zπ
0
cos(θcos t)dt. D´emontrer que la fonction fest
d´eveloppable en s´erie enti`ere de rayon de convergence infini.
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