CG - HOMOTHETIES ET TRANSLATIONS DU PLAN

CG - HOMOTHETIES ET TRANSLATIONS
DU PLAN
Si l’on note P le plan affine, on appelle transformation du plan toute application Φ du plan dans lui
même. Si M est un point de P, on notera M ′ l’image de M par la transformation :
Φ(M ) = M ′ .
On notera Id l’application identique du plan, c’est-à-dire la transformation qui à un point M associe
le point M lui même.
Un point fixe (ou invariant) de la transformation, sera un point M tel que
Φ(M ) = M .
L’ensemble des transformations du plan est muni de la composition des applications.
Dans ce qui suit, on étudie de manière purement géométrique les translations et les homothéties du plan.
−
→
Translation de vecteur V
−
→
Si V est donné, pour tout point M du plan, il existe un unique point M ′ , tel que
−−−→′ −
→
MM = V .
−
→
On définit ainsi une transformation du plan dans lui même, appelée translation de vecteur V , en
−.
associant à M le point M ′ . On la note T→
V
−
→
On remarque que M est un point fixe si et seulement si V est nul. Dans ce cas tout point est fixe et
− est l’application identique.
T→
0
Caractérisation d’une translation
Théorème 1 Une transformation Φ est une translation, si et seulement si, quels que soient les
points M et P , on a
−−−−−−−→ −−→
Φ(M )Φ(P ) = M P .
Si l’on a
− ,
Φ = T→
V
CG 2
alors
−−−−−→ −−−−→ −
→
M Φ(M ) = P Φ(P ) = V ,
donc
−−−−−−−→
−−−−−→ −−→ −−−−→
Φ(M )Φ(P ) = Φ(M )M + M P + P Φ(P )
−
→ −−→ −
→
= −V + MP + V
−−→
= MP .
Réciproquement, supposons que, quels que soient M et P , on ait
−−−−−−−→ −−→
Φ(M )Φ(P ) = M P .
Soit P un point fixé, et Φ(P ) sont image. Posons
−
→ −−−−→
V = P Φ(P ) .
Alors, si M est dans P, on a
−−−−−→
−−→ −−−−→ −−−−−−−→
M Φ(M ) = M P + P Φ(P ) + Φ(P )Φ(M )
−−→ −
→ −−→
= MP + V − MP
−
→
= V ,
−
→
et donc Φ est la translation de vecteur V .
Cette démonstration traduit simplement les propriétés du parallélogramme.
Φ(P )
>6
P
6
M
>
Φ(M )
CG 3
Propriétés d’une translation
Il résulte de cette caractérisation qu’une translation Φ
−−−−−−−→
−−→
a) conserve les longueurs (on a kΦ(M )Φ(P )k = kM P k ) ;
b) transforme le cercle de centre Ω et de rayon R, en le cercle de centre Φ(Ω) et de rayon R (puisque
−−−−−−−→
−−→
kΦ(Ω)Φ(M )k = kΩM k = R) ;
−
→
c) transforme une droite passant par Ω de vecteur directeur U en une droite parallèle passant par
−−−−−−−→ −→
−
→
Φ(Ω) (si P est sur la droite, Φ(Ω)Φ(P ) = ΩP = λ U ) ;
d) transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles (conséquence de c) ;
e) transforme deux droites faisant un angle de mesure α en deux droites faisant le même angle de
mesure α (ces deux droites étant parallèles aux deux premières toujours d’après c) ;
f) transforme deux droites orthogonales en deux droites orthogonales (cas particulier de e).
Théorème 2 L’ensemble des translations du plan est un groupe commutatif pour la composition
des applications. Ce groupe est isomorphe au groupe additif des vecteurs du plan.
On a de manière évidente les relations
→ = T→
→,
− ◦ T−
− −
T→
V
V′
V +V ′
et
− )−1 .
− = (T→
T−→
V
V
−
→
− est un isomorphisme du groupe additif des vecteurs du plan sur le groupe des
L’application V 7→ T→
V
translations.
Homothétie de centre O et de rapport k.
Si k est un nombre réel non nul, et O un point du plan, l’homothétie de centre O et de rapport k,
est la transformation qui à tout point M du plan, associe le point Φ(M ) défini par
−−−−−→
−−→
OΦ(M ) = k OM .
Le point M est un point fixe, si et seulement si
−−→
−−→
OM = k OM .
CG 4
Lorsque k = 1, cette relation est vraie quel que soit M , et dans ce cas l’homothétie est Id. Dans le cas
contraire, elle est vraie si et seulement si M = O. le centre O est alors le seul point fixe de l’homothétie.
On notera H(O,k) l’homothétie de centre O et de rapport k.
Caractérisation d’une homothétie de rapport k 6= 1
Théorème 3 Une transformation Φ est une homothétie de rapport k 6= 1, si et seulement si, quels
que soient les points M et P , on a
−−−−−−−→
−−→
Φ(M )Φ(P ) = k M P .
Si Φ est une telle homothétie, on a
−−−−−→
−−−−→
−−→
−−→
OΦ(M ) = k OM et OΦ(P ) = k OP .
Alors
−−−−−−−→
−−−−→ −−−−−→
Φ(M )Φ(P ) = OΦ(P ) − OΦ(M )
−−→
−−→
= k OP − k OM
−−→ −−→
= k(OP − OM )
−−→
= k MP .
Réciproquement, si Φ vérifie, quels que soient les points M et P
−−−−−−−→
−−→
Φ(M )Φ(P ) = k M P ,
avec k 6= 1, la transformation Φ n’est donc pas l’application Id. Il existe un point P tel que Φ(P ) soit
distinct de P . Fixons un tel point, et appelons O le barycentre des points (P, k) et (Φ(P ), −1), qui est
tel que
−−−−→
−−→
OΦ(P ) = k OP ,
c’est-à-dire
−−
→
OP =
1 −−−−→
P Φ(P ) .
k−1
Alors, si M est un point du plan, on a
−−−−−→
−−−−→ −−−−−−−→
OΦ(M ) = OΦ(P ) + Φ(P )Φ(M )
−−→
−−→
= k OP + k P M
−−→ −−→
= k (OP + P M )
−−→
= k OM .
On a donc bien une homothétie de centre O et de rapport k.
CG 5
O
M U P
U
Φ(M )
Φ(P )
Propriétés d’une homothétie
Il résulte de cette caractérisation qu’une homothétie de rapport k
−−−−−−−→
−−→
−−→
a) multiplie les longueurs par |k| (on a kΦ(M )Φ(P )k = kkM P k = |k| kM P k ) ;
b) transforme le cercle de centre Ω et de rayon R, en le cercle de centre Φ(Ω) et de rayon |k|R (puisque
−−−−−−−→
−−→
kΦ(Ω)Φ(M )k = |k| kΩM k = |k| R) ;
−
→
c) transforme une droite passant par Ω de vecteur directeur U en une droite parallèle passant par
−−−−−−−→
−→
−
→
Φ(Ω) (si P est sur la droite, Φ(Ω)Φ(P ) = kΩP = λ U ) ;
d) transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles (conséquence de c) ;
e) transforme deux droites faisant un angle de mesure α en deux droites faisant le même angle de
mesure α (ces deux droites étant parallèles aux deux premières toujours d’après c) ;
f) transforme deux droites orthogonales en deux droites orthogonales (cas particulier de e).
Théorème 4 L’ensemble des homothéties de centre O est un groupe commutatif pour la composition des applications. Ce groupe est isomorphe au groupe multiplicatif R∗ des réels non nuls.
On a de manière évidente les relations
H(O,k) ◦ H(O,k′ ) = H(O,kk′ ) ,
et
−1
= H(O,k−1 ) .
H(O,k)
CG 6
L’application k 7→ K(O,k) est un isomorphisme du groupe R∗ sur le groupe des homothéties de centre O.
Etudions maintenant la composée de deux homothéties de centres distincts.
Théorème 5 Soit H(O,k) et H(O′ ,k′ ) deux homothéties du plan. La composée H(O′ ,k′ ) ◦ H(O,k) est
a) si kk′ 6= 1 une homothétie de rapport kk′ dont le centre Ω est situé sur la droite OO′
−−→
−
→
b) si kk′ = 1 une translation de vecteur V colinéaire à OO′ .
Si les points M et P se transforment en M ′ et P ′ par H(O,k) , et si M ′ et P ′ se transforment en M ′′ et
P ′′ par H(O′ ,k′ ) , on a successivement
−−−
→
−−→
M ′ P ′ = kM P
donc
−−−−→
−−−→
et M ′′ P ′′ = k′ M ′ P ′ ,
−−−
−→
−−→
M ′′ P ′′ = kk′ M P .
Alors en utilisant les caractérisations des translations et homothéties obtenues ci-dessus, on obtient la
nature de la composée suivant la valeur de kk′ . Il reste à caractériser les éléments de cette transformation.
a) Si kk′ 6= 1, notons Ω le centre de l’homothétie produit. Et cherchons ses images successives par les
deux homothéties. L’homothétie H(O,k) transforme Ω en Ω′ de telle sorte que
−−→′
−→
OΩ = kOΩ .
Puis H(O′ ,k′ ) transforme Ω′ en Ω, de telle sorte que
−−→
−−→
O ′ Ω = k ′ O ′ Ω′ .
Alors
−−→
−−→
O ′ Ω = k ′ O ′ Ω′
−−→ −→ −−→
= k′ (O′ Ω + ΩO + OΩ′ )
−−→ −→
−→
= k′ (O′ Ω + ΩO + kOΩ)
−−→
−→
= k′ (O′ Ω + (1 − k)ΩO)
−−→
−→
= k′ O′ Ω + k′ (1 − k)ΩO .
On en déduit donc
−−→
−→ −
→
(1 − k′ )O′ Ω + k′ (1 − k) OΩ = 0 .
Le point Ω est le barycentre des points (O, k′ (1 − k)) et (O′ , 1 − k′ ). Il appartient donc à la droite OO′ .
On obtient d’ailleurs
−→
k′ − 1 −−→′
OO .
OΩ = ′
kk − 1
CG 7
M
O′
Ω
O
- P
M′
-
P′
-
M ′′
P ′′
Le dessin précédent montre d’ailleurs comment construire géométriquement le centre Ω. Partant d’un
−−−→
−−−−→
−−→
vecteur M P quelconque on construit les images successives M ′ P ′ puis M ′′ P ′′ . La droite M M ′′ recoupe
OO′ en Ω.
−
→
b) Si kk′ = 1, cherchons le vecteur V de la translation. L’homothétie H(O,k) laisse O invariant, puis
−
→
H(O′ ,k′ ) transforme O en O′′ , qui est donc l’image de O par la translation de vecteur V . Il en résulte
que
−
→ −−→′′
V = OO .
Par ailleurs
Alors
−−→
−−′−→′′
O O = k′ O′ O .
−−→
−−→
−
→ −−→′ −−′−→′′ −−→′
V = OO + O O = OO + k′ O′ O = (1 − k′ )OO′ .
−−→
−
→
Le vecteur V est donc bien colinéaire à OO′ .
Remarque : il résulte de ce qui précède, que, lorsque les homothéties n’ont pas le même centre, leur
composée n’est pas commutative.
−
→
Théorème 6 La composée d’une translation de vecteur V et d’une homothétie de rapport k 6= 1
est une homothétie de rapport k. De plus, si l’on appelle Ω le centre de cette homothétie, les vecteurs
−→ −
→
OΩ et V sont colinéaires.
− .
Etudions tout d’abord H(O,k) ◦ T→
V
CG 8
Si l’on prend deux points M et P , leurs images successives vérifient
−−−
→ −−→
−−−−→
−−−→
M ′ P ′ = M P et M ′′ P ′′ = kM ′ P ′ ,
donc
−−−
−→
−−→
M ′′ P ′′ = kM P ,
et la composée est une homothétie de rapport k. Cherchons le centre Ω de cette homothétie. Soit Ω′
son image par la translation. On a donc
−−→′ −
→
ΩΩ = V .
Alors Ω est l’image de Ω′ par l’homothétie H(O,k) , donc
−−→
−→
OΩ = kOΩ′ .
Il en résulte que
−→
−→ −−→
OΩ = k(OΩ + ΩΩ′ ) ,
d’où l’on tire
−→
OΩ =
→
k −
V .
1−k
−→ −
→
Les vecteurs OΩ et V sont bien colinéaires.
−−→
On peut trouver géométriquement le point Ω en cherchant les transformés successifs d’un vecteur OM .
C’est l’intersection des droites OO′ et M M ′′ .
M ′′
6
M′
M
6
6
Ω
O
−
→
V
− ◦ H(O,k) .
La méthode est identique pour une composition T→
V
Si l’on prend deux points M et P , leurs images successives vérifient
−−−
→
−−→
M ′ P ′ = kM P et
donc
−−−
−→ −−−→
M ′′ P ′′ = M ′ P ′ ,
−−−
−→
−−→
M ′′ P ′′ = kM P ,
et la composée est une homothétie de rapport k.
-
O′
O′′
CG 9
Cherchons le centre Ω de cette homothétie. Soit Ω′ son image par l’homothétie H(O,k) . On a donc
−−→′
−→
OΩ = kOΩ .
Alors Ω est l’image de Ω′ par la translation, donc
−−→
−
→
Ω′ Ω = V .
On en déduit
−→ −−→′ −−→
−→ −
→
OΩ = OΩ + Ω′ Ω = k OΩ + V ,
d’où l’on tire
−→
OΩ =
→
1 −
V .
1−k
−→ −
→
Les vecteurs OΩ et V sont bien colinéaires.
−−→
On peut trouver géométriquement le point Ω en cherchant les transformés successifs d’un vecteur OM .
C’est l’intersection des droites OO′′ et M M ′′ .
−
→
V
M′
6
M ′′
6
M
6
Ω
O
O′′
On constate de nouveau que la composition des deux applications n’est pas commutative.
Théorème 7 L’ensemble constitué des homothéties et des translations est un groupe pour la
composition des applications. L’ensemble des translations est un sous-groupe distingué du précédent.
La stabilité résulte des théorèmes précédents et chaque élément possède un élément symétrique qui est
de même nature que lui.
CG 10
Pour voir que que le sous-groupe des translations est distingué, étudions, si k 6= 1 le produit
−1
− ◦ H(O,k) ,
◦ T→
H(O,k)
V
qui n’est autre que
− ◦ H(O,k) .
H(O,k−1 ) ◦ T→
V
− ◦ H(O,k) est une homothétie de rapport k et de centre Ω. Alors
On sait que T→
V
−1
− ◦ H(O,k) = H(O,k −1 ) ◦ H(Ω,k)
◦ T→
H(O,k)
V
est une translation. On a donc le résultat.