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cours sur les homothéties corrigé

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HOMOTHETIE
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MODULE 15 : CONFIGURATIONS ELEMENTAIRES DU PLAN
CHAPITRE 17: HOMOTHETIES
INTERET
L’homothétie a pour intérêt de construire une image à partir d’une autre.
MOTIVATION
- Agrandir ou réduire l’image d’un objet de décoration, d’ornement….
- Déployer un raisonnement mathématique pour résoudre les problèmes relatifs à des
situations de vie faisant appel aux homothéties.
PREREQUIS
1) Trace une demi-droite [AB).
2) A et B sont deux points distincts du plan. Construis les points M et N tels que
AM = 2 AB et AN =
3
AB
2
COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES APPRENANTS
- Définir et caractériser une homothétie
- Construire l’image d’un point, d’une figure par une homothétie
- Appliquer les propriétés sur les homothéties
SITUATION PROBLEM E
En rentrant de l’école, deux élèves de troisième s’arrêtent devant un portail par curiosité pour
observer un ornement constitué de
2 triangles semblables comme l’indique la figure ci-
dessous. L’un d’eux affirme qu’il existe une relation géométrique entre ces deux triangles. At-il raison ?
C’
C
B’
A’
B
A
0
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1
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ACTIVITE D’APPRENTISSAGE
Sur la figure de la situation problème ci-dessus, on admet que les points A, B et C sont
respectivement des milieux des segments [OA’] ; [OB’] et [OC’].
1) Exprimer OA ' ; OB ' et OC ' respectivement en fonction de OA ; OB et OC
2) On suppose que (AC) // (A’C’) ; (AB) // (A’B’) ; (BC) // (B’C’) en utilisant la règle
graduée calculer les rapports
A' C ' A' B ' B ' C '
;
;
BC
AC
AB
3) Donner la solution à la situation problème en précisant la relation géométrique entre
les triangles A’B’C’ et ABC.
Solution :
1) Exprimons OA ' ; OB ' et OC ' respectivement en fonction de OA ; OB et OC
OA ' = 2 OA ; OB ' = 2 OB ; OC ' = 2 OC
2) calculons les rapports
A' C ' 4
= =2
AC 2
;
A' C ' A' B ' B ' C '
;
;
BC
AC
AB
A' B' 4
B' C ' 4
= =2 ;
= =2
AB 2
BC 2
3) Solution à la situation problème :
Le Triangle A’B’C’ est l’image de ABC par l’homothétie de centre O et rapport 2.
RESUME
a) Définition et notation
Soit O un point du plan et k un nombre réel non nul positif, on appelle homothétie h de
centre O et de rapport k notée h
(O ; k)
l’application du plan dans le plan qui à chaque point M
associe le point M’ tel que OM ' = k OM .
On note h
(O ; k)
(M)= M’ et on lit « A’ est l’image de A par l’homothétie h de centre O et
rapport k .
Exemple : si OA ' = 2 OA
alors A’ est l’image de A par l’homothétie de centre O et de
rapport 2.
Remarque :
- Une homothétie est caractérisée par son centre et son rapport k
- L’image de O par l’homothétie de centre O est O (lui-même).
.
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2
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b) . Image d’un point par une homothétie
M et O sont deux points et k un nombre réel non nul positif. Pour construire le point M’,
image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k, on construit le point M’ tel que
OM ' = k OM .
Exemple1 : Soit O et P deux points du plan. Construis le point P’ image de P par
l’homothétie de centre 0 et de rapport
1
3
Exemple 2 : Soit I et F deux points du plan tel que IF= 2cm. Construis le point G image de F
par l’homothétie de centre I et de rapport 2
c) Image d’une figure par une homothétie
Pour construire l’image d’une figure par une homothétie, on construit l’image de ses points
caractéristiques.
Exemple : ABC est un triangle équilatéral de côté 4cm. Construis le triangle A’B’C’ image
de ABC par l’homothétie h de centre A et de rapport
1
2
NB :
Selon la valeur du rapport k (r réel positif) , l’image d’une figure par une homothétie
s’agrandit ou se réduit :
-
Si k >1, il y’a agrandissement
-
Si k <1, il y’a réduction
d) Propriété
Soit A’B’C’ l’image d’une figure ABC par l’homothétie de rapport k , on a :
A’B’= k AB
Aire A’B’C’= k2 Aire ABC
EXERCICES D’APPLICATIONS
Exercice 1 :
1) Traduire par une égalité vectorielle la phrase suivante : « P est l’image du point Q par
l’homothétie h de centre E et de rapport 2,5 »
2) Les points M, N, P sont des points tels que PN = 2 PM . Traduire cette égalité par une
phrase en utilisant les mots image et homothétie.
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Exercice 2 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
A (1 ;-2) est l’image de B (3 ; 2) par l’homothétie de centre C et de rapport 2.
Déterminer les coordonnées de C.
Exercice 3 :
ABCD est un carré de côté 3 cm et I un point extérieur à ce carré.
1) Construire l’image EFGH de ABCD par l’homothétie de centre I et de rapport 2.
2) Calculer l’aire du carré ABCD puis déduire celle du carré EFGH.
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