Transformations cours à trous

Transformations
En mathématiques, une transformation est un processus qui a tout point donné
M associe un unique point M’. On a étudié en cinquième deux
transformations : la symétrie axiale et la symétrie centrale.
En troisième, nous étudierons trois nouvelles transformations :
• l’homothétie.
• la translation.
• la rotation.
I)Homothétie :
a) Définition :
Définition :
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Exemple n°1 :
Cas d’une homothétie h de centre O et de rapport k = 3, notée h(O ;3) :
* Les points O, A et A’ sont alignés.
* k = 3 > 0 donc O ∉ [AA’].
* OA’ = 3OA.
* On écrit A’ = h(A).
Exemple n°2 :
Cas d’une homothétie h de centre O et de rapport k = –2, notée h(O ;–2) :
* Les points O, A et A’ sont alignés.
* k = –2 < 0 donc O ∈ [AA’].
* OA’ = 2OA.
* On écrit A’ = h(A).
b) Image d’une figure par une homothétie :
Propriété :
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Exemple n°1 :
Cas d’une homothétie de centre O et de rapport k = 2 :
Le triangle A’B’C’ est l’image du
triangle ABC par l’homothétie
de centre O et de rapport k = 2.
Le triangle A’B’C’ est un
agrandissement du triangle ABC
de rapport 2 ( les dimensions
du triangle ABC ont toutes été
multipliées par 2 ).
Exemple n°2 :
Cas d’une homothétie de centre O et de rapport k = –0,5 :
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle
ABC par l’homothétie de centre O et de
rapport k = – 0,5.
Le triangle A’B’C’ est une réduction du
triangle ABC de rapport 0,5 ( les dimensions
du triangle ABC ont toutes été multipliées
par 0,5).
c) Propriétés des homothéties :
Propriété :
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Exemple :
La droite (A’B’) est l’image de la droite
(AB) par l’homothétie h(O ; k ).
Les droites
parallèles.
(AB)
et
(A’B’)
sont
On
constate
également
que
l’homothétie conserve l’alignement des
points car l’image d’une droite est une
droite.
II)Translation:
a) Définition :
Définition :
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Exemple :
M a pour image M’ par la translation qui transforme A en B.
Autrement dit, dans la translation qui transforme A en B, un point M a pour
image M’ tel que :
• on se déplace de A vers B dans la même direction et le même sens
que de M vers M’.
• les distances AB et MM’ sont égales.
b) Propriété :
Soit CDE un triangle et A, B deux
points donnés.
C’D’E’ est l’image de CDE par la
translation qui transforme A en
B.
On constate que les deux triangles sont identiques.
Propriété :
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III) Rotation:
a) Définition :
Définition :
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Exemple n°1 :
Soit r la rotation de centre O et d’angle 45° dans le
sens des aiguilles d’une montre ou sens indirect,
notée r(O ; – 45°) :
M’ est l’image du point M par la rotation de centre
O et d’angle 45° dans le sens indirect.
On note : M’ = r(M).
Exemple n°2 :
Soit r la rotation de centre O et d’angle 45° dans
le sens inverse des aiguilles d’une montre ou
sens direct, notée r(O ; 45°) :
M’ est l’image du point M par la rotation de
centre O et d’angle 45° dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre ou le sens direct.
On note M’ = r(M).
b) Propriété :
Soit ABC un triangle et on
considère la rotation r de centre O
et d’angle 45° dans le sens direct,
notée r(O ; 45°).
A’B’C’ est l’image du triangle ABC
par cette rotation.
On note A’B’C’ = r(ABC).
On constate que les deux triangles
sont identiques.
Propriété :
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