Notion de groupe A. Exemple et définition : 1. Le groupe des

Notion de groupe
A. Exemple et définition :
1. Le groupe des homothéties-translations
Notons E l’ensemble des homothéties et des translations. Un élément f de E est donc soit une homothétie, soit une
translation.
A tout couple (f ; g) d'éléments de E, on peut faire correspondre la transformation f
°
g et cette transformation,
d’après les théorèmes de cours, est un élément de E. On dit alors que E est muni d’une loi interne, qu’on
appelle la «loi rond» (notée
°
). La loi est interne parce que, lorsqu’on l’applique à deux éléments dans E, on
obtient un élément dans E.
D’après le cours, pour toutes transformations f, g et h, f
°
(g
°
h) = (f
°
g)
°
h. On traduit ce résultat en
disant que la loi
°
est associative dans l’ensemble des transformations. Elle est donc associative dans E.
L’identité est un élément de E, car l’identité Id peut être vue comme la translation de vecteur nul. De plus,
Id
°
f = f
°
Id = f pour toute transformation f, et donc à fortiori pour tout élément de E.
On dit alors que Id est l'élément neutre de E
EE
E pour la loi
°
de E
EE
E.
Enfin, si l’on se donne f dans E, il existe un élément g dans E tel que f
°
g = g
°
f = Id, cet élément g est f
–1
.
Précisez cet élément f
–1
lorsque f est une homothétie, puis lorsque f est une translation.
Conclusion : Pour toutes ces raisons, on dit que E est un groupe pour la loi
°
.
2. Définition :
De manière générale, on appelle groupe un ensemble G muni d’une loi interne, c’est-à-dire une loi, qui à
tout couple (x ; y) de G associe un élément de G et qui possède les propriétés suivantes.
Pour énoncer facilement ces propriétés, désignons la loi par le symbole ¨ et notons x ¨ y l’élément associé par la
loi ¨ au couple (x ; y).
_La loi est associative : x ¨ (y ¨ z) = (x ¨ y) ¨ z, pour tous x, y, z ∈ G.
_La loi possède un élément neutre e tel que, pour tout x ∈ G, x ¨ e = e ¨ x= x.
_Pour tout x ∈ G, il existe un élément y de tel que x ¨ y = y ¨ x = e.
De plus on dit que G est un groupe commutatif si, pour tous x, y ∈ G, x ¨ y = y ¨ x.
B. Exercices :
I.1.a) Pourquoi l’ensemble S des similitudes est-il un groupe pour la loi
°
?
b) L’ensemble S
+
des similitudes directes est-il un groupe pour la loi
°
?
c) La loi
°
est-elle interne dans l’ensemble des similitudes indirectes ?
2. Si f et g sont deux transformations, on appelle «transmuée» de f par g, la transformation T = g
°
f
°
g
–1
.
h est l’homothétie de centre I, de rapport k (k distinct de 0 et de 1).
t est la translation de vecteur
→
u (
→
u ≠
→
0 ).
a) Démontrer que la transmuée de h par t est une homothétie. Préciser le centre et le rapport.
b) Démontrer que la transmuée de t par h est une translation ; préciser son vecteur.
O désigne un point du plan, H l’ensemble des homothéties de centre O.
c) Démontrer que H est un groupe pour la loi
°
et que ce groupe est commutatif.
d) t est une translation de vecteur
→
u non nul fixé.
Démontrer que l’ensemble H ’ des éléments de H qui sont des transmuées par t, est un groupe commutatif
pour la loi
°
.
II.1. Pourquoi l’ensemble ô des naturels n’est-il pas un groupe pour la loi «addition» ?

2. L’ensemble Ù des entiers relatifs est-il un groupe pour la loi «addition» ? pour la loi «multiplication » ?
3. Mêmes questions en remplaçant Ù par l’ensemble Ð des rationnels, puis par l’ensemble Ñ, et enfin par
l’ensemble .
III. Soit p ∈ ô
*
, on appelle Ù
pÙ l’ensemble ayant pour éléments
0,1,...,p 1.
−
Pour i ∈ {0 ; 1 ;… ; p – 1}, i représente l’ensemble des éléments de Ù congrus à i modulo p, c’est à dire
i
= {k ≡ i (p) ; k ∈ Ù}.
_Pour tout n ∈ Ù, il existe un et un seul
i
∈ Ù
pÙ tel que n ∈
i
.
Démonstration :
D’après la division euclidienne, il existe un unique(q ; r) ∈ Ù
2
avec r ∈ {0 ; 1 ;… ; p – 1} tel que
n = qp + r, donc n ∈
r
avec r défini de manière unique.
On dit que les ensembles
0,1,...etp 1.
−
réalisent une partition de Ù.
_On définit deux opérations sur Ù
pÙ :
*
l’addition par
i j
+ =
ℓ
s’il existe m ∈
i
et n ∈
j
tel que m + n ≡
ℓ
(p).
*
la multiplication par
i j
× =
ℓ
s’il existe m ∈
i
et n ∈
j
tel que m × n ≡
ℓ
(p).
Vérification de la validité de ces définitions :
Soient n, n’ ∈
i
et m, m’ ∈
j
, donc n ≡ i (p), n’ ≡ i (p), m ≡ j (p) et m’ ≡ j (p).
Par conséquent, m + n ≡ i + j (p) et m’ + n’ ≡ i + j (p), donc m + n ≡ m’ + n’ (p).
De même m × n ≡ m’ × n’ (p), donc les définitions de ces deux opérations sont cohérentes et définissent deux
lois internes sur Ù
pÙ .
Remarques :
*
pour faire
i
+
j
ou
i
×
j
, il suffit donc de faire ces opérations avec un élément de
i
et un de
j
et de regarder
à quel élément de Ù
pÙ le résultat appartient.
*
du fait de leur définition, on constate que l’addition et la multiplication sont commutatives, c’est à dire que
i
+
j
=
j
+
i
et
i
×
j
=
j
×
i
.
_Associativité de + et de × dans Ù
pÙ :
Soient
i
,
j
,
ℓ
∈ Ù
pÙ , soient m, n, q ∈ Ù tels que m ∈
i
, n ∈
j
et q ∈
ℓ
.
On a donc (m + n) + q = m + (n + q), d’où (m + n) + q ≡ m + (n + q) (p), donc (
i
+
j
) +
ℓ
=
i
+ (
j
+
ℓ
),
donc l’addition est associative sur Ù
pÙ .
De même, (
i
×
j
) ×
ℓ
=
i
× (
j
×
ℓ
), donc la multiplication est associative sur Ù
pÙ .
1. Pour montrer que ( Ù
pÙ ; +) est un groupe, il nous reste à montrer qu’il admet un élément neutre et que tous ses
éléments admettent un inverse.

a) Montrer que
0
est l’élément neutre de ( Ù
pÙ ; +).
b) Montrer que, pour tout
i
∈ Ù
pÙ , il existe
j
∈ Ù
pÙ tel que
i
+
j
=
0
. ( Ù
pÙ ;+) est donc bien un groupe.
c) Exemple :( Ù
5Ù ;+). Compléter le tableau suivant représentant les règles d’addition sur Ù 5Ù .
Par exemple, 4 + 3 ≡ 2 (5), donc
4
+
3
=
2
.
2. Pour montrer que ( Ù
pÙ
*
;×) est un groupe, il nous reste à montrer qu’il admet un élément neutre et que tous ses
éléments admettent un inverse.
a) Montrer que
1
est l’élément neutre de ( Ù
pÙ
*
;×) .
b) Montrer que, si p n’est pas premier, il existe
i
,
j
∈ Ù
pÙ
*
tels que
i
×
j
=
0
, donc × n’est pas une loi
interne et ( Ù
pÙ
*
;×) n’est pas un groupe.
c) Montrer que, si p est premier, pour tout
i
∈ Ù
pÙ
*
, il existe
j
∈ Ù
pÙ
*
tel que
i
×
j
=
1
.
(indication : utiliser l’égalité de Bézout.)
En conclusion ( Ù
pÙ
*
;×) est un groupe si, et seulement si, p est premier.
d) Exemple :( Ù
7Ù
*
;×).
Compléter le tableau suivant représentant les règles de multiplication sur Ù
7Ù
*
:
×
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
e) Pourquoi ( Ù
pÙ ;×) n’est pas un groupe ?
+
0
1
2
3
4
0
1
2
3
2
4
2