Chapitre 14 – Trigonométrie Table des matières

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 14 – Trigonométrie
Chapitre 14 – Trigonométrie
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
II Cours
1
II-1
Rappels de collège
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1a
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1b
Exemple de calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1c
Exemple de calcul d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1d
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
2
« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique . . . . . . . . . II-2
3
Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
4
Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 14 – Trigonométrie
I
Exercices
Cercle trigonométrique et mesure en radians
1
|
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O de rayon 1. Sur ce cercle, le
sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une
montre. Le point A a pour coordonnées A (1 ; 1), et on imagine
que la droite (IA) « s’enroule » sur le cercle trigonométrique.
π
|
Le fichier GeoGebra nommé
2de-Trigo_1-_Enroulement_de_la_droite_numerique.ggb 1 sera montré en classe, pour visualiser
l’idée d’ « enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique.
π
2
b
A
1. Le nombre π sur la droite graduée (IA) est associé de cette
manière au point B sur le cercle trigonométrique. Placer
le point B sur la figure.
+
2. À quel point est associé
π
(a) le nombre ?
(b) le nombre 0 ?
2
3. Placer les points C, D associés respectivement à
4. On dit que le nombre
’
l’angle orienté IOC.
J
π
π
,− .
4
2
b
π
est la mesure en radians de
4
(a) Tracer sur la figure l’angle
O
’
IOC.
b
b
I
(b) Quelle est sa mesure en degrés ?
5. Compléter le tableau ci-dessous.
Angle orienté de vecteurs
Mesure en radians
’
IOC
π
4
’
IOB
’
IOJ
’
IOI
|
π
2
−
|
6. Quel est le point E sur le cercle trigonométrique tel que
’ soit égale à π + 2π ?
la mesure en radians de l’angle IOE
2
’
7. Donner deux autres mesures en radians de l’angle IOE
une positive, une négative.
−π
’
IOD
Mesure en degrés
1. Fichier téléchargeable sur le site du lycée, adresse ci-dessous à droite.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 14 – Trigonométrie
2
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
Placer les points correspondant aux nombres suivants.
3π
π
π
π
5π
(1)
(2)
(3)
(4) −
(5)
4
3
6
6
4
3
Tracer un repère orthonormé (O, I, J) d’unité 4 cm (ou 4 carreaux) et son cercle trigonométrique.
1. Placer les points correspondant aux nombres suivants.
−13π
26π
43π
17π
(b)
(c)
(d) −11π
(e)
(a)
4
2
3
6
17π
17π
π 16π
π
π
2. Pour placer
on peut écrire le calcul suivant :
= +
= + 4π = + 2 × 2π
4
4
4
4
4
4
Le résultat est sous la forme : (un nombre entre − π et π) + k × 2π où k est un entier relatif.
Écrire le même type de calcul pour (b), (c), (d), (e).
4
Chacun des nombres des exercices 2 et 3. est une mesure d’angle en radians.
Convertir ces dix mesures en degrés.
Cosinus et sinus
5
ABC est un triangle rectangle isocèle tel que :
÷ = −π
AB = a et ABC
2
÷
1. Sans justifier, donner une mesure en radians de l’angle BAC.
√
2. Démontrer que AC = a 2
√
Å ã
Å ã
π
π
2
3. Démontrer que cos
= sin
=
4
4
2
C
b
A
b
b
B
6
÷ = π , et le point I est le milieu de [AB] et on appelle a
Le triangle ABC est équilatéral, tel que BAC
3
la distance AB.
√
3
C
1. Démontrer que CI = a
2
’
’
2. En utilisant les angles IAC et ACI
Å ã
Å ã
1
π
π
= sin
= ;
(a) démontrer que : cos
3
6
2
√
Å ã
Å ã
3
π
π
= sin
=
.
(b) et démontrer que : cos
6
3
2
A
B
I
b
b
7
b
b
÷ = π rad.
1. Tracer un parallélogramme ABCD tel que AB = 4 cm et AD = 7 cm et DAB
3
√
2. Calculer l’aire exacte du parallélogramme ABCD (sous la forme a b). Indication : tracer la
hauteur du parallélogramme ABCD issue de B, qui coupe (AD) en H, puis calculer BH.
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 14 – Trigonométrie
8
Un cercle trigonométrique est tracé sur la figure 1. L’unité du quadrillage est 0,5.
π
sur le cercle trigonométrique, en effectuant un tracé.
4
3π
π
3π
De la même manière, placer
, − , − .
4
4
4
Å ã
π
π
D’après la valeur de cos
, placer
sur le cercle trigonomé3
3
trique.
π
2π
2π
,− ,−
sur le cercle trigonométrique.
Placer
3
3
3
Å ã
π
π
D’après la valeur de sin
, placer
sur le cercle trigonomé6
6
trique.
π
5π
5π
,− ,−
sur le cercle trigonométrique.
Placer
6
6
6
1. Placer
2.
3.
4.
5.
6.
Figure 1
9
Pour répondre aux questions suivantes, on pourra s’aider de la figure 1.
1
et que sin(x) est négatif.
2
√
2
et que cos(x) est négatif.
2. Déterminer x sachant que sin(x) =
2
1
3. Déterminer x sachant que sin(x) = − et que cos(x) est positif.
2
1. Déterminer x sachant que cos(x) =
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II COURS – page II-1
Chapitre 14 – Trigonométrie
II
1
Cours
Rappels de collège
1a Définitions
Dans un triangle rectangle,
longueur du côté adjacent à cet angle
cosinus d’un angle aigu =
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
sinus d’un angle aigu =
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
tangente d’un angle aigu =
longueur du côté adjacent à cet angle
C
hypoténuse
A
côté adjacent à l’angle Â
AB
AC
BC
tan  =
AB
cos  =
côté opposé à l’angle Â
sin  =
BC
AC
B
Remarques :
— le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1 ;
— la tangente d’un angle aigu est un nombre positif ;
— la tangente de 90◦ n’existe pas.
1b
Exemple de calcul de longueur
Calcul de la longueur F G dans le triangle rectangle EF G.
sin 47◦
5
=
1
FG
FG =
1×5
sin 47◦
F G ≈ 6, 836637305 ≈ 6, 8cm
1c
Exemple de calcul d’angle
÷ dans le triangle rectangle JKL. Arrondir le résultat à
Calculer l’angle KJL
l’unité près.
KJ
1
=
LJ
3
Å ã
Å ã
1
1
÷ = arccos
(ou cos−1
)
KJL
3
3
÷ ≈ 70, 52877937 ≈ 71◦
KJL
÷ =
cos(KJL)
L
3m
?
K
1m
J
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II COURS – page II-2
Chapitre 14 – Trigonométrie
1d
Compléments
Propriété
On a les égalités suivantes entre le cosinus, le sinus et la tangente :
“ 2 + (sin A)
“2=1
(cos A)
“=
tan A
“
sin A
“
cos A
2 « Enroulement de la droite numérique » sur le cercle
trigonométrique
J
|
+
π
π
2
A
I
π
2
|
O
−
|
On considère maintenant un repère orthonormé (O, I, J), son cercle trigonométrique, le point A (1 ; 1), la droite graduée (IA), et on imagine que la
droite (IA) « s’enroule » sur le cercle trigonométrique.
• Ainsi, à chaque nombre de la droite graduée (IA), on associe un point
du cercle trigonométrique.
π
Par exemple, le nombre correspond au point J sur le cercle trigono2
π
ˆ en
métrique, parce que est égal à la longueur du quart de cercle IJ,
2
2π
π
effet la longueur du cercle trigonométrique est 2π et
= .
4
2
• En revanche, à chaque point du cercle trigonométrique on peut associer
une infinité de nombres sur la droite graduée (IA).
π
π π
Par exemple le point J correspond à , + 2π, + 4π, . . . et le point
2 2
2
π
π
J correspond aussi à − 2π, − 4π, . . .
2
2
Autrement dit le point J correspond à une liste infinie de nombres qui
π
s’écrivent tous sous la forme + k × 2π, où k est un entier relatif.
2
|
Définition
— Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle dont le centre est
l’origine du repère et dont le rayon est 1.
— Sur ce cercle, le sens d’orientation positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
−π
Plus généralement on peut dire que :
tout nombre réel x est associé à un point du cercle trigonométrique, et tous les nombres réels de la
forme x + k × 2π où k est un entier relatif, sont également associés à ce point.
2de – Mathématiques
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II COURS – page II-3
Chapitre 14 – Trigonométrie
3
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition
sin(x)
Un point M du cercle trigonométrique est associé à un nombre réel x.
• on appelle cosinus de x l’abscisse du point M ;
• on appelle sinus de x l’ordonnée du point M.
b
M
x
cos(x)
+
Remarque
Au collège, le cosinus et le sinus ont été définis d’une autre façon : il s’agissait
du cosinus ou du sinus d’un angle ïaigu, dans
un triangle rectangle.
πò
Si x est un nombre de l’intervalle 0 ;
, le point M associé à x sur le cercle
2
÷ est aigu, et les égalités ci-dessous font
trigonométrique est tel que l’angle IOM
le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle.
J M
K
x
b
O
H
I
+





÷ = cos HOM
◊ = OH = OH = cos(x)
cos IOM
OM


HM

÷ = sin HOM
◊ =
 sin IOM
= HM = OK = sin(x)
OM
1)
(OM =
Propriétés
Pour tout nombre réel x,
(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1
−1 6 cos(x) 6 1
−1 6 sin(x) 6 1
Valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
◊
AOM
0
cos(x)
1
sin(x)
0
30◦
√
3
2
1
2
45◦
√
2
√2
2
2
2de – Mathématiques
π
3
π
2
60◦ 90◦
1
0
√2
3
1
2
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II COURS – page II-4
Chapitre 14 – Trigonométrie
4
Utilisation de la calculatrice
TI 82
TI 89
CASIO
Réglage
en degré ou radian
mode 3e ligne.
mode 4e ligne,
touche →
choisir dans la liste
SHIFT [SET UP], descendre sur Angle, choisir avec F1 ou F2
Cosinus,
sinus, tangente
sin , cos , tan
2ND [SIN]
sin , cos , tan
2ND [COS]
2ND [TAN]
Arcsinus, arccosinus,
arctangente
2de – Mathématiques
2nde [Arcsin],
◆ [SIN-1]
SHIFT [Asn]
2nde [Arccos],
◆ [COS-1]
SHIFT [Acn]
2nde [Arctan]
◆ [TAN-1]
SHIFT [Atn]
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