corrigé

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BACCALAUREAT GENERAL – Session 2011 MATHEMATIQUES Série S
Exercice 1 :
Dans un pays , il y a 2% de la population contaminée par un virus
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
 la probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test )
 La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du
test )
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population .
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est
positif »
1-a) : ;  et 
arbre :
b) :
2-La probabilité pour que le test soit positif est :
3-a) :  donc 
Donc la probabilité que la personne soit contaminée alors que le test est positif est de l’ordre de
40,2% .
0,02
0,98
0,99
0,01
0,97
0,03

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Remarque : Ce taux faible s’explique par le fait que le taux de contamination est faible (02%)
b) : 
Remarque :Le test a en revanche une très grande fiabilité pour indiquer qu’une personne est saine
PARTIE B :
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard , on considère que les tirages
sont indépendants . On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes
contaminées par le virus parmi ces 10 personnes .
1-Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres .
On peut considérer que l’on a une répétition de 10 épreuves de Bernouilly identiques et
indépendantes . Chacune de ces épreuves a deux issues possibles  avec une probabilité de 0,02 ou
 avec une probabilité 0,98. La variable aléatoire X qui donne le nombre de personnes malades suit
donc la loi binomiale de paramètres 10 et 0,2 .
2- 
 Soit environ 
Exercice 2 :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  .On désigne par A , B , C et D les
points d’affixes respectives :  ,  ,  et 
1-
 donc 

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L’image E du point D par la rotation de centre A et d’angle 
 a pour affixe :
2- Soit M le point d’affixe  .
M appartient à la médiatrice du segment [AD] 
L’ensemble des points d’affixe  telle que  est la médiatrice du
segment [AD].
Puisqu’il n’ya qu’une seule réponse par question il est donc inutile de vérifier que les
médiatrices des segments *AD+ et *BC+ sont confondues ………….
3-
solution 1 :
 est l’affixe du vecteur  et  est l’affixe du vecteur  .
 pour M différent de C et D
 imaginaire pur non nul 
 et   donne M appartient au cercle de diamètre [CD] privé des
points C et D .
solution 2 :
Pour 

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On reconnait l’équation du cercle de centre 
 et de rayon 
 privé du point C puisque on
doit avoir 
Parmi les deux cercles proposés , calculons les coordonnées du milieu du diamètre [CD] :
L’affixe du milieu de *CD] est : 
 donc les coordonnées du milieu sont 
L’affixe du milieu de *BD+ étant 
 la solution ne peut pas être ce cercle .
L’ensemble des points d’affixes z telle que 
 soit un imaginaire pur est donc le cercle de diamètre
[CD] privé de C .
4-
L’affixe du vecteur  est  donc puisque 
 on a :
 ) est l’affixe du vecteur  pour  c'est-à-dire 
 et 
les vecteurs  et  sont colinéaires de même sens (
L’ensemble des points d’affixe  telle que 
 est la demi-droite  privée du
point D .
Exercice 3 :
Pour tout entier  supérieur ou égal à 1 , on désigne par  la fonction définie sur  par :

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Partie A :
1-a) 
limite en  : D’après la propriété du cours sur les croissances comparée on a : 
donc 
limite en  :  et  donc par produit des limites on a :
b) :Etude des variations de  :
La fonction  étant définie comme le produit de deux fonctions dérivable sur  , elle est dérivable
sur  .
Quel que soit  appartenant à  la fonction exponentielle est positive donc le signe de la fonction
dérivée est le même que celui de 
 Si  alors  donc 
 Si  alors  donc 
 Si  alors  donc 
c) : L’entier  ne peut pas être égal à 1 car d’après le graphique la fonction  est décroissante pour
 ou tout du moins sur un intervalle autour de zéro .
Donc 
2-a) :quel que soit  on a : 
Et quel que soit  on a :  donc  donc toutes les courbes
 avec  passent par le point de coordonnées 
b) : La fonction  ( étant définie comme le produit de deux fonctions dérivable sur  , elle
est dérivable sur  .