Produits dans l`espace

Mathématiques 3e
Ch5: Géométrie vectorielle
§7: Produits dans l'espace
Produits dans l'espace
1. Définition
 
v1
w1
Le produit scalaire de deux vecteurs v v 2 et w
 w2 de l'espace est défini par
v3
w3
w =v 1 w1v 2 w 2v 3 w3
v⋅
2. Théorème
Propriétés du produit scalaire (dans l'espace)
() () ()
u1
v1
w1
u3
v3
w3
u u
v v
w w
Soit ⃗
, ⃗
et ⃗
trois vecteurs de l'espace et λ ∈ℝ . Alors on a:
2
2
2
 =w⋅v
a) v⋅w
b) u⋅ v w =u⋅v u⋅w
c) v⋅
w = v ⋅
w =v⋅ 
w
d) v⋅v =∥ v∥
2
Démontration identique à celle des « Propriétés du produit scalaire » dans le plan.
3. Théorème
Produit scalaire et angles
 
v1
w1
Soit v v 2 et w
 w2 deux vecteurs non nuls de l'espace. Alors on a:
v3
w3
w
a) v⋅
w =∥v∥∥
w∥cos  , où  est l'angle entre v et 
b) v et w sont orthogonaux ⇔
Démontration identique à celle des propriétés du produit scalaire dans≤ plan. v⋅
w=0
Démontration identique à celle du « Produit scalaire et angles » dans le plan.
 
−2
2
a 4 et b 3 .
4. Soit les vecteurs 
0
−1
a)
b)
c)
d)
a et b .
Calculer l'angle entre les vecteurs 
Déterminer un vecteur orthogonal à b .
a .
Déterminer un vecteur de longueur 10 orthogonal à 
a et à b .
Déterminer un vecteur orthogonal à 
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5. Soit A(-1;-1;0) , B(2;3;-1) et C(-2;-2;0) trois points de l'espace.
Calculer les longueurs des côtés ainsi que les angles du triangle  ABC .
6. Soit A(2;1;-3) et B(-1;3;1) deux points de l'espace
Déterminer un point C situé sur l'axe Oz et tel que le triangle  ABC soit rectangle en A.
7. Deux problèmes:
a) comment calculer rapidement et efficacement l'aire du parallélogramme défini par deux
vecteurs non colinéaires de l'espace?
b)Comment obtenir facilement un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de
l'espace?
La solution a ces deux problèmes est amenée par un nouveau « produit », le produit
vectoriel. Jusque-là, nous connaissons déjà deux produits:
a) le produit d'un vecteur v par un scalaire  , noté  v , dont le résultat est un vecteur
w , dont le résultat est un
b)le produit scalaire entre deux vecteurs v et w
 , noté v⋅
nombre
Nous allons construire un troisième produit ...
8. Définition
 
u1
v1
Soit u
 u 2 et v v 2 deux vecteurs de l'espace.
u3
v3
Le produit vectoriel de u et v , dans cet ordre, noté u ×v , est un vecteur
a) de direction perpendiculaire à celle de de u et à celle de v
b) de sens donné par la "règle du tire-bouchon" (aussi appelée « règle de la main
droite »)
c) de norme (longueur) égale à ∥u∥∥v∥sin , où  est l'angle entre les vecteurs u
et v , càd que ∥u ×v∥=∥u∥∥v∥sin 
Le produit vectoriel est donc une opération qui à deux vecteurs de l'espace associe un
troisième vecteur de l'espace.
Illustrer par des exemples.
9. Effectuer les neuf produits vectoriels possibles en utilisant deux des trois vecteurs de la
base canonique i , j et 
k.
10.Trouver un vecteur unitaire (ie de norme 1) simultanément perpendiculaire au vecteurs
i  j et jk .
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11.Remarque
Le produit vectoriel est utile en physique; par exemple, la force électromagnétique 
F

exercée sur une charge q en mouvement dans un champ magnétique B est donnée par

F =q v ×
B , où v est la vitesse de la charge en mouvement.
12.Théorème (sans démonstration)
Propriétés du produit vectoriel
Soit u , v et w
 trois vecteurs de l'espace. Alors on a:
a) u ×v =−v × u
w = u ×v  u×
w
b) u × v 
c) u ×v = u ×v =u × v 
d) Si u et v sont deux vecteurs non nuls , alors u ×v =0⇔ u et v sont colinéaires.
e) Si u et v ne sont pas colinéaires, alors u ×v est perpendiculaire au plan défini par
u et v
13.Théorème
Aire d'un parallélogramme et produit vectoriel
Soit ⃗
v et ⃗
w deux vecteurs de l'espace. Alors on a:
∥u ×v∥ est égale à l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u et v
14.Théorème
Expression du produit vectoriel en composantes par rapport à la base i , j , 
k
 

u1
u2 v 3−u3 v 2
v1
Soit u u 2 et v v deux vecteurs de l'espace. Alors on a: u ×v = u 3 v 1−u1 v 3
2
u3
u1 v 2−u2 v 1
v3

15.Calculer l'aire du triangle de sommets A(3;-1;2), B(1;-1;-3) et C(4;-3;1).
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16.Soient A3 ;−1 ; 2 , B 4 ; 4 ;−1 , C 7 ; 0−3 et D 8 ;5 ;−6 quatre points de ℝ .
Vérifier que ABDC est un parallélogramme, puis calculer son aire.
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17.Trouver un vecteur de ℝ orthogonal au plan passant par les points A , B et C , pour:
a) A1 ; 3 ;5 , B 2 ;−1 ; 3 ,C −3 ; 2 ; 6
b) A 2 ; 4 ; 6 , B−3 ;1 ;−5 , C 12 ; 20 ; 28.
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18.La conjecture ci-dessous est-elle vraie ou fausse? Justifier.
w trois vecteurs de l'espace. Alors on a: u × v ×
w = u ×v ×
w
Conjecture: Soit u , v et 
(le produit vectoriel est associatif)
19.Démontrer à l'aide du produit vectoriel que si les diagonales d'un parallélogramme sont
utilisées comme côtés d'un autre parallélogramme, alors l'aire du second parallélogramme
est le double de celle du premier.
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