Équations différentielles

Équations différentielles
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Équations de la forme y 0 = ay (a 6= 0)
2
2 Équations de la forme y 0 = ay + b (a et b non nuls)
3
∗ Ce
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1
1
ÉQUATIONS DE LA FORME Y 0 = AY (A 6= 0)
Définition : Soient a et b deux réels.
Résoudre sur un intervalle I l’équation y 0 = ay + b c’est déterminer toutes les fonctions f définies et
dérivables sur un intervalle I telles que, pour tout x ∈ I, on a :
f 0 (x) = af (x) + b
1
Équations de la forme y 0 = ay (a 6= 0)
Théorème 1 :
Les solutions sur I = R de l’équation différentielle y 0 = ay sont les fonctions de la forme x −→ keax , où
k ∈ R.
Démonstration :
Soit f (x) = keax .
On a f 0 (x) = kaeax = af (x) donc f est solution de l’équation différentielle.
Réciproquement, si g est une solution de l’équation différentielle, on note h (x) = g (x) e−ax . On
a:
h0 (x)
= g 0 (x) e−ax + (−a) g (x) e−ax
= ag (x) e−ax − ag (x) e−ax = 0
h0 est nulle sur R donc il existe une constante k telle que, pour tout x ∈ R, h (x) = k, c’est-à-dire
g (x) e−ax = k, d’où g (x) = keax . g a donc bien la forme voulue.
Exemples :
1. Résolution sur R de l’équation différentielle y 0 + 2y = 0
Cette équation se met sous la forme y 0 = −2y.
Les solutions sont donc les fonctions de la forme f (x) = ke−2x , où k ∈ R.
2. Résolution de l’équation différentielle 3y + 4y 0 = 0
Cette équation se met sous la forme y 0 = − 34 y.
3
Les solutions sont donc les fonctions de la forme f (x) = ke− 4 x , où k ∈ R.
Théorème 2 :
Pour tout couple de réels (x0 ; y0 ), il existe une unique solution f de l’équation différentielle y 0 = ay sur
I = R vérifiant f (x0 ) = y0 .
Démonstration :
Les solutions sont de la forme f (x) = keax .
f (x0 ) = y0 ⇐⇒ keax0 = y0 ⇐⇒ k = y0 e−ax0
On a trouvé une seule valeur de la constante k, d’où l’unicité de la solution.
Remarque : Dans ce cas, la solution est :
f (x) =y0 e−ax0 eax = y0 e−ax0 +ax = y0 ea(x−x0 )
Exemple : Déterminer la solution f de l’équation différentielle 2y 0 − 5y = 0 telle que f (2) = 2
L’équation différentielle se met sous la forme y 0 = 52 y.
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Les solutions sont donc de la forme f (x) = ke 2 x .
5
De plus, on veut que f (2) = 0, c’est-à-dire ke5 = 3. D’où k = 3e−5 et f (x) = 3e 2 x−5 .
Exercices : 45, 47, 49 page 103 et 52, 54 page 104 1 [TransMath]
Module : TD 1 page 97 2 [TransMath]
1. Résolution d’équations différentielles de type y 0 = ay.
2. Équation fonctionnelle.
2
RÉFÉRENCES
Équations de la forme y 0 = ay + b (a et b non nuls)
2
Théorème :
1. Les solutions sur I = R de l’équation différentielle y 0 = ay + b sont les fonctions de la forme
x −→ keax − ab , où k ∈ R.
2. Pour tout couple de réels (x0 ; y0 ), il existe une unique solution f de l’équation différentielle y 0 = ay+b
sur I = R vérifiant f (x0 ) = y0 .
Démonstration (partielle) :
On montre facilement que toute fonction ayant la forme proposée est solution de l’équation
différentielle.
Réciproquement, si f est solution de l’équation différentielle, on pose g (x) = f (x) + ab .
On a : g 0 (x) = f 0 (x) et comme f solution de l’équation différentielle, f 0 (x) = af (x) + b. d’où :
g 0 (x)
= af (x) + b
b
+b
= a g (x) −
a
= ag (x) − b + b
= ag (x)
Par suite, d’après 1 il existe k ∈ R tel que g (x) = keax . Par suite :
f (x) = g (x) −
b
b
= keax −
a
a
La deuxième partie du théorème se prouve par une méthode analogue à celle du 1.
Exercices : 51 page 103 et 53, 55 page 104 3 [TransMath]
Module : TD 4 page 99 4 [TransMath]
Exercices : 79, 80, 82 page 109 5 – 83 page 109 6 [TransMath]
Références
[TransMath] TransMATH Term S, édition 2006 (Nathan)
2, 3
3.
4.
5.
6.
Résolution d’équations différentielles de type y 0 = ay + b.
Résolution d’équation différentielle avec second membre.
Résolution d’équation différentielle.
Équation fonctionnelle.
3