Équations différentielles

Équations différentielles
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Équations de la forme y0=ay (a6= 0) 2
2 Équations de la forme y0=ay +b(aet bnon nuls) 3
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1

1 ÉQUATIONS DE LA FORME Y0=AY (A6= 0)
Définition : Soient aet bdeux réels.
Résoudre sur un intervalle Il’équation y0=ay +bc’est déterminer toutes les fonctions fdéfinies et
dérivables sur un intervalle Itelles que, pour tout x∈I, on a :
f0(x) = af (x) + b
1 Équations de la forme y0=ay (a6= 0)
Théorème 1 :
Les solutions sur I=Rde l’équation différentielle y0=ay sont les fonctions de la forme x−→ keax, où
k∈R.
Démonstration :
Soit f(x) = keax.
On a f0(x) = kaeax =af (x)donc fest solution de l’équation différentielle.
Réciproquement, si gest une solution de l’équation différentielle, on note h(x) = g(x)e−ax. On
a :
h0(x) = g0(x)e−ax + (−a)g(x)e−ax
=ag (x)e−ax −ag (x)e−ax = 0
h0est nulle sur Rdonc il existe une constante ktelle que, pour tout x∈R,h(x) = k, c’est-à-dire
g(x)e−ax =k, d’où g(x) = keax.ga donc bien la forme voulue.
Exemples :
1. Résolution sur Rde l’équation différentielle y0+ 2y= 0
Cette équation se met sous la forme y0=−2y.
Les solutions sont donc les fonctions de la forme f(x) = ke−2x, où k∈R.
2. Résolution de l’équation différentielle 3y+ 4y0= 0
Cette équation se met sous la forme y0=−3
4y.
Les solutions sont donc les fonctions de la forme f(x) = ke−3
4x, où k∈R.
Théorème 2 :
Pour tout couple de réels (x0;y0), il existe une unique solution fde l’équation différentielle y0=ay sur
I=Rvérifiant f(x0) = y0.
Démonstration :
Les solutions sont de la forme f(x) = keax .
f(x0) = y0⇐⇒ keax0=y0⇐⇒ k=y0e−ax0
On a trouvé une seule valeur de la constante k, d’où l’unicité de la solution.
Remarque : Dans ce cas, la solution est :
f(x) =y0e−ax0eax =y0e−ax0+ax =y0ea(x−x0)
Exemple : Déterminer la solution fde l’équation différentielle 2y0−5y= 0 telle que f(2) = 2
L’équation différentielle se met sous la forme y0=5
2y.
Les solutions sont donc de la forme f(x) = ke5
2x.
De plus, on veut que f(2) = 0, c’est-à-dire ke5= 3. D’où k= 3e−5et f(x)=3e5
2x−5.
Exercices : 45, 47, 49 page 103 et 52, 54 page 104 1[TransMath]
Module : TD 1 page 97 2[TransMath]
1. Résolution d’équations différentielles de type y0=ay.
2. Équation fonctionnelle.
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RÉFÉRENCES
2 Équations de la forme y0=ay +b(aet bnon nuls)
Théorème :
1. Les solutions sur I=Rde l’équation différentielle y0=ay +bsont les fonctions de la forme
x−→ keax −b
a, où k∈R.
2. Pour tout couple de réels (x0;y0), il existe une unique solution fde l’équation différentielle y0=ay+b
sur I=Rvérifiant f(x0) = y0.
Démonstration (partielle) :
On montre facilement que toute fonction ayant la forme proposée est solution de l’équation
différentielle.
Réciproquement, si fest solution de l’équation différentielle, on pose g(x) = f(x) + b
a.
On a : g0(x) = f0(x)et comme fsolution de l’équation différentielle, f0(x) = af (x) + b. d’où :
g0(x) = af (x) + b
=ag(x)−b
a+b
=ag (x)−b+b
=ag (x)
Par suite, d’après 1il existe k∈Rtel que g(x) = keax . Par suite :
f(x) = g(x)−b
a=keax −b a
La deuxième partie du théorème se prouve par une méthode analogue à celle du 1.
Exercices : 51 page 103 et 53, 55 page 104 3[TransMath]
Module : TD 4 page 99 4[TransMath]
Exercices : 79, 80, 82 page 109 5– 83 page 109 6[TransMath]
Références
[TransMath] TransMATH Term S, édition 2006 (Nathan)
2, 3
3. Résolution d’équations différentielles de type y0=ay +b.
4. Résolution d’équation différentielle avec second membre.
5. Résolution d’équation différentielle.
6. Équation fonctionnelle.
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