Terminale S/Derivabilite et continuite

Terminale S/Derivabilite et continuite
1. Révisions sur les dérivés :
Exercice 3429
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’inter-
valle −2 ; 7dont la courbe représentative Cfest donnée ci-
dessous :
-2 -1 2 3 4 5 6 7
I
-2
-1
2
3
J
O
Cf
Les tangentes à la courbe Cf, aux points d’abscisses −1,1,2,
5ont été tracées sur la représentation ci-dessus.
1. Déterminer le nombre dérivée de la fonction fen −1et
en 1.
2. Déterminer les équations des tangentes à la courbe Cf
aux points d’abscisses 2et 5.
Exercice 3314
Déterminer l’expression des fonctions dérivées associées aux
fonctions ci-dessous :
a. f(x) = −5x3+ 2x−2b. g(x) = x·5x+ 1
c. h(x) = 3x−1
2−xd. j(x) = x 5−2x
Exercice 3912
Il est possible que certains des résultats, à démontrer, ne
soient pas lisibles sur l’écran de votre calculatrice graphique.
On considère la fonction fdéfinie sur 0 ; 1∪1 ; +∞par :
f(x) = 10·(x−8)
x·(x−1)
et on désigne par (C)sa courbe représentative relative à un
repère orthonormal O;−→ i;−→ j.
1. a. Déterminer les limites de fen 0et en +∞.
b. Déterminer les limites de fquand xtend vers 1par
valeurs inférieures et quand xtend vers 1par valeurs
supérieures.
c. En déduire les asymptotes à la courbe (C).
2. a. Déterminer la dérivée f′de la fonction f.
b. Montrer que f′(x)s’annule pour ¸=8+214 et pour
˛=8−214.
c. Dresser le tableau de variation de f(on indiquera les
valeurs approchées au dixième près des extrémums lo-
caux à l’aide de la calculatrice).
Exercice 6803
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O;−→ i;−→ j, on
désigne par Cula courbe représentative de la fonction udéfi-
nie sur l’intervalle 0 ; +∞par :
u(x) = a+b
x+c x2
où a,bet csont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe Cuet la
droite Dd’équation y=1 :
~
i
~
j
Cu
D
AB
On précise que la courbe Cupasse par les points A(1 ; 0)et
B(4 ; 0)et que l’axe des ordonnées et la droite Dsont asymp-
totes à la courbe Cu.
1. a. Donner les valeurs de u(1) et u(4).
b. Donner lim
x7→+∞u(x). En déduire la valeur de a.
c. En déduire que, pour tout réel xstrictement positif :
u(x) = x2−5·x+ 4
x2
2. On suppose l’existence d’une fonction fdéfinie sur l’in-
tervalle 0 ; +∞vérifiant admettant pour dérivée la
fonction u:
f′=u
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
(it aucune valeur ne sera indiquée dans le tableau)
Exercice 3312
Terminale S - Derivabilite et continuite - http://chingatome.net

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour
chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est
exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez
l’affirmation exacte sans justifier votre choix.
Barème : A chaque question est attribué 1 point.
Une réponse inexacte enlève 0;5point.
Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun
point.
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exer-
cice est ramenée à zéro.
Soit fla fonction définie sur 4 ; +∞par :
f(x) = −2x+ 1 −8
x−4
et Γsa courbe représentative dans un repère orthonormal du
plan.
1. Une autre expression de f(x)est :
a. f(x) = −2x+ 1 −2
x−1
b. f(x) = 2x2−9x+ 12
4−x
c. f(x) = 2x2+ 9x−2
x−4
2. Soit f′la fonction dérivée de fsur 4;+∞. Une expres-
sion de f′(x)est :
a. f′(x) = −2−8
x−42
b. f′(x) = (2 −x)(x−6)
(x−4)2
c. f′(x) = −2x2+ 16x−24
(x−4)2
3. La courbe Γadmet pour asymptote :
a. la droite d’équation y=4
b. la droite d’équation x=4
c. la droite d’équation y=4x
Exercice 3509
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar la relation :
f:x7−→ 3
2·x4+ 3·x3−9 2·x2−5·x+ 6
On donne, ci-dessous, la courbe représentative de la fonction
fdans un repère (O;I;J):
-4 -3 -2 -1 2 3 4
I
-2
2
4
6
8
J
O
La courbe Cfreprésentative de cette fonction admet une
droite (d)de coefficient directeur 1 comme tangente en deux
points.
Déterminer l’equation de cette droite et les coordonnées de
ces deux points.
2. Dérivées de fonctions composées :
Exercice 95
On considère la fonction fdéfinie par :
f:x7−→ »−2x2−x+ 6
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Donner l’expression de la fonction dérivée de la fonction
f.
Exercice 3506
Déterminer l’expression de la fonction dérivée de chacune des
fonction suivantes :
a. f(x) = 3·x+ 55b. g(x) = 1
3·x4+ 11
c. h(x) = x2+x+ 1 d. j(x) = …1
x
Exercice 2337
Le tableau présente pour chaque ligne une fonction et l’ex-
pression de la dérivée. Etablir l’exactitude de chaque ligne.
Fonction Image de xNombre dérivé en x
f(3x+ 2)618·(3x+ 2)5
g4·(3 −2x)4−32·(3 −2x)3
h1
−2x2+ 3x+ 1
4x−3
2x2−3x−12
j5x2+ 6x−25x+ 3
5x2+ 6x−2
k2x−1
3−x
2x−11
2·(x−3)·3−x
Exercice 5217
On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle −∞ ;−1
2
par la relation par la relation suivante :
f(x) = 2x2−3x−2
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf
en −1
Exercice 5065
Terminale S - Derivabilite et continuite - http://chingatome.net

On considère la fonction fdéfinie par la relation :
f(x) = −x2+ 4x−3
x2−4x+ 4
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Montrer que la fonction fadmet pour dérivée la fonction
f′dont l’expression est :
f′(x) = −2
(x−2)3
3. On considère la fonction gdéfinie par la relation :
g(x) = f2x−1
a. Donner l’expression simplifiée du nombre g(x)en fonc-
tion de x.
b. Donner l’expression de la fonction g′dérivée de la fonc-
tion g.
3. Dérivées de fonctions :
Exercice 2841
Déterminer l’expression, sous une forme simplifiée, des fonc-
tions dérivées des fonctions suivantes :
a. f(x) = …1
3x−2b. g(x) = x+ 13
c. h(x) = 3x2−2x+ 1xd. j(x) = (2x+ 1)·3−x
Exercice 119
Déterminer l’expression de la fonction dérivée pour chacune
des fonctions ci-dessous :
a. f:x7−→ 1
1−2xb. g:x7−→(2x+ 1)·3x−1
Exercice 2826
Déterminer, pour chaque fonction, l’expression de la fonction
dérivée :
a. f:x7−→ 4x−27b. g:x7−→ 1
5−3x
c. h:x7−→ 3x−1d. j:x7−→ 3−2x3·4x+ 1
Donner l’expression de la fonction jsous la forme d’un quo-
tient où :
Le dénominateur est 4x+1
3−2x2est en facteur au numérateur.
Exercice 6810
On considère pour tout entier naturel nnon-nul, la fonction
fndéfinie sur Rpar la relation :
fn(x) = 2·x+n
1 + x2
Dans un repère O;I;Jorthonormé, on note Cnla courbe
représentative de la fonction fn.
I
J
O
C1
C3
C2
1. Déterminer l’expression de la fonction dérivée f′
n.
2. Déterminer l’équation réduite de la tangente (dn)à la
courbe Cfau point d’abscisse 1.
3. a. Etablir l’égalité suivante :
n·x3−2·n+1·x2+n+2·x−1 = x−12·n·x−1
b. Etudier la position relative de la droite dnet de la
courbe Cnpour tout entier naturel nsupérieur ou égal
à2.
4. Etude derivee :
Exercice 5752
On considère la fonction fdéfinie par la relation :
f(x) = 6x2+ 13x−5
1. Justifier que la fonction fadmet pour ensemble de défi-
nition la partie Ide Rdéfinie par :
I=−∞ ;−5
2∪1 3; +∞.
2. Déterminer le sens de variation de la fonction fsur son
ensemble de définition I.
Exercice 5062
On considère la fonction fdéfinie sur Rdont l’image d’un
nombre xest donnée par la relation :
f(x) = (5x2+ 3x+ 2)5
1. Déterminer l’expression de la dérivée f′de la fonction f.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction f
Exercice 2325
On considere deux fonctions fet gdéfinies respectivement
sur Ret sur 5
3; +∞par :
f(x) = 23−2x5;g(x) = 3x−5
1. Déterminer l’expression des fonctions dérivées f′et g′
associées aux fonctions fet g.
2. a. Déterminer le signe des fonctions f′et g′sur leur
ensemble dérivation.
b. Dresser le tableau de variation de ces deux fonctions.
Exercice 5063
On considère la fonction fdont l’image d’un nombre xest
Terminale S - Derivabilite et continuite - http://chingatome.net

donnée par la relation :
f(x) = 2x2+x+ 1
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f.
3. Dans un repère O;I;J, on donne la courbe Cfrepré-
sentative de la fonction f:
-4 -3 -2 -1 2 3 4
I
2
3
J
O
Cf
a. Déterminer l’équation de la tangente (d)à la courbe
Cfau point d’abscisse 1.
b. Tracer la droite (d)dans le repère ci-dessus.
Exercice 3510
1. Soit fla fonction définie sur Rpar la relation :
f(x) = 1
2·x+ 14
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cfre-
présentative de la fonction fau point d’abscisse 2.
2. On considère la fonction gdéfinie par la relation :
g(x) = x2−2x+ 3
On note Cgla courbe représentative de la fonction g.
a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g.
b. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cg
au point d’abscisse 3
2.
Exercice 2348
Soit fla fonction définie par la relation :
f:x7−→(x+ 5)1−2x
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f.
3. Dresser le tableau de signe de f′.
4. En déduire le tableau de variation de la fonction f
5. Justifier que fadmet un extrémum global en −4
3
Exercice 6163
On considère la fonction fdéfinie par la relation :
f(x) = (a·x+ 1)·2x2+x+ 12
Dans un repère O;I;Jorthogonal donné ci-dessous, on re-
présente la courbe Cfreprésentative de la fonction f:
I
J
O
4B
Cf
La droite (d)passe par les points Jet B(1 ; 4).
1. a. Justifier que la courbe Cfpasse par le point J.
b. Déterminer le coefficient de la droite (JB).
c. Démontrer que tout réel x,ona:
f′(x) = 10ax2+ (3a+ 8)·x+ (a+ 2)·2x2+x+ 1
d. On suppose que la droite (JB)est tangente à la courbe
Cfau point J. Déterminer la valeur de a. Justifier
votre réponse.
2. On admet que f′a pour expressions :
f′(x) = 10x2+ 11x+ 32x2+x+ 1
Déterminer les sens de variation de la fonction fsur R.
5. Lien entre derivee et nombre derivee :
Exercice 5064
Déterminer la valeur des limites suivantes :
a. lim
h7→03 + h4−81
hb. lim
h7→06·h+ 1 −1
h
c. lim
x7→0x2+ 18−1
xd. lim
x7→0x2+x+ 4 −2
x
Exercice 5829
Soit fune fonction numérique dérivable.
1. Soit a∈Df. Etablir la limite suivante :
lim
x7→a
x̸=a
x·f(a)−a·f(x)
x−a=f(a)−a·f′(a)
On posera : x=a+h.
2. En déduire la limite : lim
x7→a
x̸=a
x3·a−a3·x
x−a
6. Continuite :
Terminale S - Derivabilite et continuite - http://chingatome.net

Exercice 3537
Ci-dessous est donnée la courbe représentative Cfde la fonc-
tion f; cette courbe admet une tangente verticale au point
d’abscisse 1;5:
-4 -3 -2 -1 2 3 4
I
-2
-1
2
3
J
O
1. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de la
fonction f.
2. Déterminer graphiquement l’ensemble de dérivabilité de
la fonction f.
3. Déterminer les limites suivantes :
a. lim
x7→−2−f(x)b. lim x7→−2+f(x)
c. lim
x7→1−f(x)d. lim x7→1+f(x)
4. a. Combien existe-t-il de nombres atels que :
lim
x7→a−f(x)̸= lim x7→a+f(x)
b. Quelle particularité graphique ont les points d’abscisse
avérifiant une telle condition ?
Exercice 3538
La partie entière de 5;5est 5 ; pour étendre, cette notion à
l’ensemble des nombres réels (et particulièrement aux nombres
négatifs), on définit la partie entière d’un nombre x, qu’on
note E(x), de la manière suivante :
“E(x)est le plus grand entier de l’ensemble des entiers
inférieurs ou égaux à x”
1. a. Supposons que x=−2;5, justifier que E(x)=−3.
b. Compléter le tableau suivant :
x−4;5−4−3;9−3;2−3
E(x)
c. Justifier l’encadrement suivant pour tout nombre réel
x:
E(x)⩽x < E(x)+1
2. a. On considère le repère orthogonal O;I;Jci-
dessous ; effectuer la représentation graphique de la
fonction Esur −4 ; 4
-4 -3 -2 -1 2 3 4
I
-4
-3
-2
-1
2
3
4
J
O
b. Quelles particularités possède cette courbe ?
Exercice 5825
On considère la fonction fdéfinie sur R∗par la relation :
f(x) = |x|
x
1. Justifier que la fonction hn’est pas continue en 0.
2. Déterminer les deux limites suivantes :
lim
x7→0−
x̸=0
f(x);lim
x7→0+
x̸=0
f(x)
Exercice 3539
1. On considère la fonction fdont l’image d’un nombre x
est définie par la relation :
f(x) = x2+ 1 −1
x
a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
b. Déterminer la valeur des deux limites suivantes :
lim
x7→0−f(x);lim x7→0+f(x)
c. Peut-on dire que la fonction fest continue en 0?
2. On considère la fonction gdéfinie sur Rpar :
®g(x) = f(x)pour x̸=0
g(0) = 0
Justifier que la fonction fest continue en 0.
7. Dérivabilité :
Exercice 3541
On considère la fonction fdéfinie sur Rde la manière sui-
vante :
f(x) = x2+ 3x+ 3 pour tout x∈−∞ ;−1
f(x) = 2
x2+ 1 pour tout x∈−1 ; +∞
1. a. Effectuer le tracé de la fonction fà l’aide de votre
calculatrice.
b. Faire une conjecture sur la continuité et sur la dériva-
bilité de la fonction f.
2. Justifier que la fonction fest continue en −1.
3. Justifier que la fonction fest dérivable en −1.
Exercice 3600
A - Etude d’une fonction :
Terminale S - Derivabilite et continuite - http://chingatome.net