CHAPITRE 2 ELEMENTS DE CINEMATIQUE NEWTONIENNE

Introduction à la mécanique newtonienne
CHAPITRE 2
ELEMENTS DE CINEMATIQUE NEWTONIENNE
Vecteur position
1. DEFINITION
La position d’un objet, mesurée en m, peut être résumée par la position de son centre de gravité G.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮 (
Rq :
𝒙(𝒕)
)
𝒛(𝒕)
Le mouvement d’un objet, même complexe, peut être décrit par une succession de mouvements plans.
Deux coordonnées suffisent donc souvent.
2. ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR
Du fait de son altitude, un corps possède « en réserve » une énergie appelée « énergie potentielle
gravitationnelle », liée à l’interaction gravitationnelle qui existe entre l’objet et la Terre.
Pour un objet situé au voisinage de la Terre (g = g0 = cste), cette énergie est appelée énergie potentielle de
pesanteur, Epp.
𝑬𝒑𝒑 = 𝒎𝒈𝒛
!! L’AXE (OZ) EST ORIENTE VERS LE HAUT DANS CETTE RELATION !!
Rappel : Une énergie se mesure en joules
Rq :
Choix de l’origine de l’axe (Oz) :
Epp dépend de z  La position de l’origine a une importance.
La détermination d'Epp n’est pas unique : 𝐸𝑝𝑝 = 𝑚𝑔𝑧 +
𝐾
⏟
𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑑𝑒 𝑙′ 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖𝑒
Pour z = 0, 𝐾 = 𝐸𝑝𝑝 0
Pour nous, l’origine n’aura pas d’importance, car on ne va s’intéresser qu’aux variations d’E pp :
∆𝐸𝑝𝑝 = 𝐸𝑝𝑝 𝑓 − 𝐸𝑝𝑝 𝑖 = (𝑚𝑔𝑧𝑓 + 𝐾) − (𝑚𝑔𝑧𝑖 + 𝐾) = 𝑚𝑔𝑧𝑓 − 𝑚𝑔𝑧𝑖
La constante disparaît.
Il existe d’autres formes d’énergie potentielle.
Un ressort comprimé, par exemple, possède « en réserve » de l’énergie potentielle élastique :
1
𝐸𝑝 é𝑙 = 𝑘𝑥 2
avec k la constante de raideur du ressort et x son allongement.
Rq :
2
Vecteur vitesse
1. QUELQUES NOTIONS DE CALCUL DIFFERENTIEL
a. Notation
La définition mathématique de la dérivée d’une fonction en un point est associée au taux de variation de cette
∆𝑓
fonction autour du point considéré : 𝑓 ′ (𝑥) = lim∆𝑥→0
∆𝑥
En sciences physiques, un phénomène dépend souvent de plusieurs paramètres. Il sera alors modélisé à l’aide
d’une fonction à plusieurs variables : 𝑓(𝑥, 𝑡)
Lorsqu’on veut étudier l’influence d’un seul de ces paramètres, il est nécessaire de préciser ce paramètre, d’où la
notation privilégiée de la dérivée :
𝑑𝑓
 dérivée par rapport à x :
Rq :
𝑑𝑥
𝑑𝑓

dérivée par rapport à t :

dérivée seconde par rapport à t : 2
𝑑𝑡
En sciences physiques, on s’intéresse souvent aux variations temporelles d’une grandeur. On a alors
𝑑𝑓
𝑑2𝑓
coutume d’utiliser une notation simplifiée pour la dérivation par rapport au temps : = 𝑓̇;
= 𝑓̈
𝑑𝑡
𝑑2 𝑓
𝑑𝑡
𝑑𝑓
Ex :
𝑑𝑥
𝑓(𝑥, 𝑡) = 2𝑥 + 3𝑡 2 + 5𝑥𝑡 ⇒ {𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 2 + 5𝑡
= 6𝑡 + 5𝑥
𝑑𝑡 2
Introduction à la mécanique newtonienne
b. Règles d’utilisation
Toutes les propriétés de la dérivée vues en mathématiques s’appliquent en sciences physiques.
c. Dérivée d’un vecteur
Dériver un vecteur revient à dériver ses coordonnées :
𝑑𝑣𝑥
𝑣𝑥 (𝑡)
𝑑𝑣 𝑑𝑡
𝑣(
)⇒
(
)
𝑣𝑧 (𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
2. DEFINITION
a. Vitesse moyenne
-1
La vitesse moyenne d’un objet, mesurée en m.s , est le rapport de la distance parcourue par l’objet sur la durée
du parcours.
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑚 =
∆𝑡
b. Vitesse instantanée
Pour obtenir la vitesse instantanée d’un objet, on réduit la durée sur laquelle on mesure la vitesse moyenne:
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑂𝐺
𝑣 = lim ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑚 = lim
∆𝑡→0
∆𝑡→0 ∆𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑮
𝒗𝒙 (𝒕) = 𝒙̇ (𝒕)
⃗ =
⃗ (
⇒𝒗
⇒𝒗
)
𝒅𝒕
𝒗𝒛 (𝒕) = 𝒛̇ (𝒕)
3. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT
⃗ = 𝒎𝒗
⃗
On appelle quantité de mouvement d’un objet le produit de sa masse par sa vitesse : 𝒑
4. ENERGIE CINETIQUE
L’énergie cinétique Ec d’un corps est due à son mouvement.
𝟏
𝑬𝒄 = 𝒎𝒗𝟐
𝟐
Rq :
v = 0  Ec = 0.
Energie mécanique
On définit l’énergie mécanique macroscopique par : 𝑬𝒎 = 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑
Vecteur accélération
Une accélération correspond à une variation de vitesse par unité de temps.
⃗
⃗
𝒅𝒗
𝟏 𝒅𝒑
𝒂𝒙 (𝒕) = 𝒗𝒙̇ (𝒕) = 𝒙̈ (𝒕)
⃗ =
⃗ (
𝒂
=
⟹𝒂
)
𝒅𝒕 𝒎 𝒅𝒕
𝒂𝒛 (𝒕) = 𝒗𝒛̇ (𝒕) = 𝒛̈ (𝒕)