PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercices chapitre 22 Espaces vectoriels de dimension finie Exercice 1. Une famille génératrice d’une famille génératrice. 1. Soit G une famille génératrice d’un espace vectoriel E. Montrer que G 0 une autre famille de vecteurs de E est génératrice si et seulement si tout vecteur de G est combinaison linéaire d’éléments de G 0 . 2. Application : Montrer que (j, j2 ) est une base de C (j = e 2iπ 3 ). Exercice 2. Une famille liée. Dans R3 , on considère ~x = (1, −1, 1) et ~y = (0, 1, a) où a ∈ R. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que ~ u = (1, 1, 2) appartienne à Vect(~x,~y). Comparer alors Vect(~x,~y), Vect(~x, ~ u) et Vect(~y, ~ u). Exercice 3. Une chance sur deux. Les familles suivantes sont-elles libres ou liées (dans leurs espaces respectifs) ? 1. x1 = (1, 1, 0), x2 = (0, 1, 1) et x3 = (1, 1, 1) ; 2. x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 1) et x3 = (1, 1, 1) ; 3. f 1 : x 7→ cos x, f 2 : x 7→ sin x et f 3 : x 7→ x ; 4. f 1 : x 7→ cos2 x, f 2 : x 7→ cos 2x et f 3 : x 7→ 1 ; 5. f k : x 7→ sin(kx), k ∈ [[1, n]] . Exercice 4. Il suffit de bien poser le problème. Soit (~x1 , . . . ,~xn ) une famille libre de vecteurs de E et α1 , . . . , αn ∈ K . On pose ~ u = α1 .~x1 + · · · + αn .~xn et ∀ i ∈ [[1, n]] ~yi = ~x i + ~ u. À quelle condition sur les α i , la famille (~y1 , . . . ,~yn ) est-elle libre ? Exercice 5. D’où l’intérêt du chapitre 10. Soient E un K-espace vectoriel et ~x, ~y et ~z trois vecteurs de E tels que la famille (~x,~y,~z) soit libre. On ~ = ~x + ~y . Montrer que la famille (~ ~ ) est libre. pose ~ u = ~y +~z, ~ v = ~z +~x et w u,~ v, w Exercice 6. Tout est dans la définition. Soit F l’ensemble des fonctions f : R → R telles qu’il existe a, b, c ∈ R pour lesquels : ∀ x ∈ R, f (x) = (ax2 + bx + c) cos x. 1. Montrer que F est sous-espace vectoriel de E = F (R, R). 2. Déterminer une base de F et sa dimension. 1 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 7. Un sous-espace vectoriel de RN . Soit p ∈ N∗ et E l’ensemble des suites réelles p-périodiques i.e. l’ensemble des suites réelles (u n ) telles que ∀ n ∈ N, u(n + p) = u(n) . Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci. Exercice 8. À la moitié, on est déjà arrivé. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~ e 1 ,~ e 2 ,~ e 3 ) une base de E. On pose ~ε1 = ~ e 2 + 2~ e 3 , ~ε2 = ~ e 3 −~ e 1 et ~ε3 = ~ e 1 + 2~ e2. Montrer que B 0 = (~ε1 ,~ε2 ,~ε3 ) est une base de E. Exercice 9. Vite, recrutons ! Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~ e 1 ,~ e 2 ,~ e 3 ) une base de E. Soit ~ε1 = ~ e 1 + 2~ e 2 + 2~ e 3 et ~ε2 = ~ e 2 +~ e3. Montrer que la famille (~ε1 ,~ε2 ) est libre et compléter celle-ci en une base de E. Exercice 10. Un système triangulaire, déjà rencontré. Soit E un K-espace vectoriel muni d’une base B = (e 1 , . . . , e n ). Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on pose ~ε i = ~ e 1 + · · · +~ ei. 1. Montrer que B 0 = (~ε1 , . . . ,~εn ) est une base de E. 2. Exprimer les composantes dans B 0 d’un vecteur en fonction de ses composantes dans B . Exercice 11. Pour une fois, elle n’est pas échelonnée. Soient n ∈ N∗ et E = Rn [X ]. Pour k ∈ [[0, n]], on pose P k = X k (1 − X )n−k . Montrer que les (P k )k forment une base de E. Exercice 12. Deux vérifications. © ª Dans R3 , on considère le sous-espace vectoriel H = (x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0 . Soit ~ u = (1, 2, 1) et ~ v = (−1, 1, 1). Montrer que B = (~ u,~ v) forme une base de H. Exercice 13. Une impression de déjà déjà vu. Soient n ∈ N∗ , E = Rn [X ] et A ∈ E, avec A 6= 0. On pose F = {P ∈ E , A |P }. Montrer que F est un sousespace vectoriel de E dont on déterminera la dimension, ainsi qu’une base et un supplémentaire. Exercice 14. Une question de dimension. Soit F,G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N. Montrer que si dim F + dimG > n alors F ∩ G contient un vecteur non nul. Exercice 15. Les chaises musicales dans R4 . ~ = (1, 1, 1, 1), ainsi que Dans R4 on considère les vecteurs ~ u = (1, 0, 1, 0), ~ v = (0, 1, −1, 0), w ~x = (0, 0, 1, 0) et ~y = (1, 1, 0, −1). Soit F = Vect(~ ~ ) et G = Vect(~x,~y). u,~ v, w Quelles sont les dimensions de F, G, F + G et F ∩ G ? 2 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 16. Où l’on peut court-circuiter le problème. Dans R3 , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants : 1. F = Vect(~ u,~ v) où ~ u = (1, 1, 0) et ~ v = (2, 1, 1) ; ~ ) où ~ ~ = (1, 1, 1) ; 2. F = Vect(~ u,~ v, w u = (−1, 1, 0), ~ v = (2, 0, 1) et w © ª 3. F = (x, y, z) ∈ R3 /x − y + 4z = 0 . Exercice 17. Une famille de fonctions. Dans E = R]−1,1[ on considère : s s 1+ x 1− x , f 2 (x) = , f 1 (x) = 1− x 1+ x 1 f 3 (x) = p 1 − x2 et x f 4 (x) = p . 1 − x2 Quel est le rang de la famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) ? Exercice 18. Encore et toujours une question de dimension. Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie, V un sous-espace vectoriel de E et f ∈ L (E). Montrer que V ⊂ f (V ) ⇒ f (V ) = V . Exercice 19. Endomorphismes nilpotents en dimension finie. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Ê 1 et f un endomorphisme nilpotent non nul de E. Soit p le plus petit entier tel que f p = 0. 1. Soit ~x ∉ Ker f p−1 . Montrer que la famille (~x, f (~x), f 2 (~x), . . . , f p−1 (~x)) est libre. 2. En déduire que f n = 0. Exercice 20. My Taylor is rich. Soient n ∈ N∗ et E = Rn [X ]. On définit sur E n + 1 formes linéaires par ∀ k ∈ [[0, n)] , ϕk : P 7→ P (k) (0) . Montrer que les ϕk forment une base de E ∗ = L (E, R) . Exercice 21. Une histoire d’inversibilité. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et soient f , g ∈ L (E) tels que f 2 + f ◦ g = Id. Montrer que f et g commutent. Exercice 22. Le retour des hyperplans. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et ϕ une forme linéaire non nulle sur E. Montrer que pour tout ~ u ∈ E \Ker ϕ, Ker ϕ et Vect(~ u) sont supplémentaires dans E. Exercice 23. Beaucoup d’inégalités donnent une égalité. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finies et f ∈ L (E, F), g ∈ L (F, E) telles que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g. Montrer que f , g, f ◦ g et g ◦ f ont même rang. 3 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 24. Tellement plus facile qu’avant. Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes : 1. f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) ; 2. f : R4 → R3 définie par f (x, y, z, t) = (2x + y + z, x + y + t, x + z − t) ; 3. f : C → C définie par f (z) = z + i z̄ (C est ici vu comme un R-espace vectoriel). Exercice 25. Pas loin d’un projecteur. Soient E un K -espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E) tel que rg( f 2 ) = rg( f ). 1. Établir Im f 2 = Im f et Ker f 2 = Ker f . 2. Montrer que Im f et Ker f sont supplémentaires dans E. Exercice 26. Autour du théorème du rang. Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie et f , g ∈ L (E) tels que f + g bijectif et g ◦ f = 0. Montrer que rg f + rgg = dim E . 4