Exercices chapitre 22 Espaces vectoriels de dimension finie

PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet
Exercices chapitre 22
Espaces vectoriels de dimension finie
Exercice 1. Une famille génératrice d’une famille génératrice.
1. Soit Gune famille génératrice d’un espace vectoriel E. Montrer que G0une autre famille de
vecteurs de Eest génératrice si et seulement si tout vecteur de Gest combinaison linéaire
d’éléments de G0.
2. Application : Montrer que (j,j2) est une base de C(j =e2iπ
3).
Exercice 2. Une famille liée.
Dans R3, on considère ~ x=(1,−1,1) et ~ y=(0,1,a) où a∈R.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur apour que ~ u=(1,1,2) appartienne à Vect(~ x,~ y).
Comparer alors Vect(~ x,~ y), Vect(~ x,~ u) et Vect(~ y,~ u).
Exercice 3. Une chance sur deux.
Les familles suivantes sont-elles libres ou liées (dans leurs espaces respectifs) ?
1. x1=(1,1,0), x2=(0,1,1) et x3=(1,1,1) ;
2. x1=(1,0,0), x2=(0,1,1) et x3=(1,1,1) ;
3. f1:x7→cos x,f2:x7→sin xet f3:x7→ x;
4. f1:x7→cos2x,f2:x7→cos2xet f3:x7→1 ;
5. fk:x7→sin(kx), k∈[[1,n]] .
Exercice 4. Il suffit de bien poser le problème.
Soit (~ x1,...,~ xn) une famille libre de vecteurs de Eet α1,...,αn∈K.
On pose ~ u=α1.~ x1+···+αn.~ xnet ∀i∈[[1, n]] ~ yi=~ xi+~ u.
À quelle condition sur les αi, la famille (~ y1,...,~ yn) est-elle libre ?
Exercice 5. D’où l’intérêt du chapitre 10.
Soient Eun K-espace vectoriel et ~ x,~ yet ~ ztrois vecteurs de Etels que la famille (~ x,~ y,~ z) soit libre. On
pose ~ u=~ y+~ z,~ v=~ z+~ xet ~ w=~ x+~ y. Montrer que la famille (~ u,~ v,~ w) est libre.
Exercice 6. Tout est dans la définition.
Soit Fl’ensemble des fonctions f:R→Rtelles qu’il existe a,b,c∈Rpour lesquels :
∀x∈R,f(x)=(ax2+bx +c)cos x.
1. Montrer que Fest sous-espace vectoriel de E=F(R,R).
2. Déterminer une base de Fet sa dimension.
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Exercice 7. Un sous-espace vectoriel de RN.
Soit p∈N∗et El’ensemble des suites réelles p-périodiques i.e. l’ensemble des suites réelles (un) telles
que
∀n∈N,u(n+p)=u(n).
Montrer que Eest un R-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.
Exercice 8. À la moitié, on est déjà arrivé.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 3 et B=(~ e1,~ e2,~ e3) une base de E.
On pose~ ε1=~ e2+2~ e3,~ ε2=~ e3−~ e1et~ ε3=~ e1+2~ e2.
Montrer que B0=(
~
ε1,~ ε2,~ ε3) est une base de E.
Exercice 9. Vite, recrutons!
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 3 et B=(~ e1,~ e2,~ e3) une base de E.
Soit~ ε1=~ e1+2~ e2+2~ e3et~ ε2=~ e2+~ e3.
Montrer que la famille (
~
ε1,~ ε2) est libre et compléter celle-ci en une base de E.
Exercice 10. Un système triangulaire, déjà rencontré.
Soit Eun K-espace vectoriel muni d’une base B=(e1,..., en).
Pour tout i∈{1,..., n}, on pose~ εi=~ e1+···+~ ei.
1. Montrer que B0=(
~
ε1,...,~ εn) est une base de E.
2. Exprimer les composantes dans B0d’un vecteur en fonction de ses composantes dans B.
Exercice 11. Pour une fois, elle n’est pas échelonnée.
Soient n∈N∗et E=Rn[X]. Pour k∈[[0,n]], on pose Pk=Xk(1−X)n−k. Montrer que les (Pk)kforment
une base de E.
Exercice 12. Deux vérifications.
Dans R3, on considère le sous-espace vectoriel H=©(x,y,z)∈R3|x−2y+3z=0ª.
Soit ~ u=(1,2,1) et ~ v=(−1,1,1). Montrer que B=(~ u,~ v) forme une base de H.
Exercice 13. Une impression de déjà déjà vu.
Soient n∈N∗,E=Rn[X] et A∈E, avec A6=0. On pose F={P∈E,A|P}. Montrer que Fest un sous-
espace vectoriel de Edont on déterminera la dimension, ainsi qu’une base et un supplémentaire.
Exercice 14. Une question de dimension.
Soit F,Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie n∈N.
Montrer que si dimF+dimG>nalors F∩Gcontient un vecteur non nul.
Exercice 15. Les chaises musicales dans R4.
Dans R4on considère les vecteurs ~ u=(1,0,1,0), ~ v=(0,1,−1,0), ~ w=(1,1,1,1), ainsi que
~
x=(0,0,1,0) et ~ y=(1,1,0,−1). Soit F=Vect(~ u,~ v,~ w) et G=Vect(~ x,~ y).
Quelles sont les dimensions de F,G,F+Get F∩G?
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Exercice 16. Où l’on peut court-circuiter le problème.
Dans R3, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants :
1. F=Vect(~ u,~ v) où ~ u=(1,1,0) et ~ v=(2,1,1) ;
2. F=Vect(~ u,~ v,~ w) où ~ u=(−1,1,0), ~ v=(2,0,1) et ~ w=(1,1,1) ;
3. F=©(x,y,z)∈R3/x−y+4z=0ª.
Exercice 17. Une famille de fonctions.
Dans E=R]−1,1[on considère :
f1(x)=s1+x
1−x,f2(x)=s1−x 1+x,f3(x)=1
p1−x2et f4(x)=x p1−x2.
Quel est le rang de la famille (f1,f2,f3,f4) ?
Exercice 18. Encore et toujours une question de dimension.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, Vun sous-espace vectoriel de Eet f∈L(E). Montrer
que V⊂f(V)⇒f(V)=V.
Exercice 19. Endomorphismes nilpotents en dimension finie.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nÊ1 et fun endomorphisme nilpotent non nul de E. Soit
ple plus petit entier tel que fp=0.
1. Soit ~ x∉Ker fp−1. Montrer que la famille (~ x,f(~ x), f2(~ x),..., fp−1(~ x)) est libre.
2. En déduire que fn=0.
Exercice 20. My Taylor is rich.
Soient n∈N∗et E=Rn[X]. On définit sur E n +1 formes linéaires par
∀k∈[[0, n)], ϕk:P7→P(k)(0).
Montrer que les ϕkforment une base de E∗=L(E,R) .
Exercice 21. Une histoire d’inversibilité.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie, et soient f,g∈L(E) tels que f2+f◦g=Id. Montrer
que fet gcommutent.
Exercice 22. Le retour des hyperplans.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n∈N∗et ϕune forme linéaire non nulle sur E.
Montrer que pour tout ~ u∈E\Kerϕ, Kerϕet Vect(~ u) sont supplémentaires dans E.
Exercice 23. Beaucoup d’inégalités donnent une égalité.
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finies et f∈L(E,F), g∈L(F,E) telles que
f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
Montrer que f,g,f◦get g◦font même rang.
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Exercice 24. Tellement plus facile qu’avant.
Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes :
1. f:R3→R3définie par f(x,y,z)=(y−z,z−x,x−y) ;
2. f:R4→R3définie par f(x,y,z,t)=(2x+y+z,x+y+t,x+z−t) ;
3. f:C→Cdéfinie par f(z)=z+i¯ z(Cest ici vu comme un R-espace vectoriel).
Exercice 25. Pas loin d’un projecteur.
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E) tel que rg(f2)=rg(f).
1. Établir Imf2=Imfet Ker f2=Ker f.
2. Montrer que Imfet Ker fsont supplémentaires dans E.
Exercice 26. Autour du théorème du rang.
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E) tels que f+gbijectif et g◦f=0.
Montrer que
rgf+rgg=dimE.
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