Séance 11

Théorèmes asymptotiques Loi des grands nombres
Inégalité de Markov
Théorème: Inégalité de Markov
Soit Xune variable aléatoire réelle supposée presque sûrement
positive (P(X≥0) = 1). Alors
∀α > 0,P(X>α)6E[X]
α
Preuve: On suppose que Xadmet une densité de probabilité f, alors
on a l’inégalité
E(X) = Z+∞
0
xf (x)dx
≥Z+∞
α
αf(x)dx
=αP(X≥α).
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Théorèmes asymptotiques Loi des grands nombres
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Corollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT)
Si Xest une variable aléatoire de moyenne µet de variance finie
σ2<∞alors
∀k>0P(|X−µ|>kσ)≤1
k2
Preuve: Il suffit d’appliquer l’inégalité de Markov à la v.a. |X−µ|2et
prendre α= (kσ)2.
N. B. L’IBT permet de majorer d’une façon large la probabilité de
l’éloignement d’une v.a. quelconque de sa moyenne par un rayon
donné
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Théorèmes asymptotiques Loi des grands nombres
Implications
Pour k=1 on a P(|X−µ|>1σ)≤1 : aucun intérêt
Pour k=2 on a P(|X−µ|>2σ)≤1/22=0.25 :
Moins de 25%des valeurs d’une v.a. sont loins de sa moyenne
plus de 2 écarts-type
Pour k=3 on a P(|X−µ|>2σ)≤1/9 :
Moins de 11.11%des valeurs d’une v.a. sont loins de sa moyenne
plus de 3 écarts-type
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Théorèmes asymptotiques Loi des grands nombres
Loi des grands nombres
Théorème : Loi des grands nombres
Soient X1,...,Xnune suite de variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées (i.i.d.), d’espérance µet de variance finie.
Désignons par Xla moyenne empirique de l’échantillon :
X=1
n
n
X
i=1
Xi
Alors Xtend en probabilité vers µlorsque n−→ +∞:
∀ε > 0,lim
n→+∞
P(|X−µ|> ε) = 0.
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Théorèmes asymptotiques Loi des grands nombres
Loi des grands nombres
Preuve: Remarquons que
E(X) = X
i
E(Xi)/n=nµ/n=µ
et
V(X) = σ2
X=X
i
V(Xi)/n2=nσ2
n2=σ2
n.
Soit ε > 0, posons k=ε/σX, l’inégalité IBT donne
P(|X−µ|> ε)≤σ2(X)
ε2≤σ2 nε2
n
−→ 0.
N. B. Le fait que la moyenne empirique de l’échantillon Xconverge en
probabilité vers µ(la moyenne de Xpratiquement inconnu) le favorise
pour être un estimateur qui se rapproche assez bien du paramètre µ
pour une taille de l’échantillon assez grande
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Théorèmes asymptotiques Théorèmes d’approximation en loi
Approximation normale de la binomiale
Théorème: Moivre-Laplace
Soit Xune v.a qui suit la loi B(n,p)alors, lorsque n7→ +∞
X−np
pnp(1−p)≈ N(0,1)
N. B. ≈: suit approximativement la loi
N. B. L’application en pratique (en dimension finie) est valable lorsque
l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
1n≥20,np ≥10 et nq ≥10
2npq ≥10
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Théorèmes asymptotiques Théorèmes d’approximation en loi
Approximation de la binomiale par la loi de poisson
Théorème
Soit Xune v.a qui suit la loi B(n,p)alors, lorsque n7→ +∞
X−np
pnp(1−p)≈ P(λ)
où λ=np
N. B. La conditions d’application en pratique est :
n≥20 et np ≤0.10
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Théorèmes asymptotiques Théorèmes d’approximation en loi
Approximation normale de la poissonnienne
Théorème
Soit Xune v.a qui suit la loi P(λ)alors, quand λ7→ +∞
X−λ
pλ)≈ N(0,1)
N. B. La condition d’application en pratique est λ≥15
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Théorèmes asymptotiques Théorèmes d’approximation en loi
Résumé des approximations
BC(n,p)et PC(λ)désignent respectivement les lois binomiale et de
Poisson centrées réduites
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Théorèmes asymptotiques Théorèmes d’approximation en loi
Généralisation : Théorème Central Limite
Théorème Central Limite (TCL)
Soient X1,...,Xnune suite de variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées (i.i.d.), d’espérance µet de variance
σ2<∞. On a
X−µ
σ/√n≈ N(0,1).
N. B. La condition d’application du TCL en pratique est n≥30
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