Séance 11

Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Inégalité de Markov
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème: Inégalité de Markov
Corollaire: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT)
Soit X une variable aléatoire réelle supposée presque sûrement
positive (P(X ≥ 0) = 1). Alors
Si X est une variable aléatoire de moyenne µ et de variance finie
σ 2 < ∞ alors
1
∀k > 0 P(|X − µ| > k σ) ≤ 2
k
∀α > 0,
P(X > α) 6
E[X ]
α
Preuve: On suppose que X admet une densité de probabilité f , alors
on a l’inégalité
Z +∞
xf (x)dx
E(X ) =
0
Z +∞
≥
αf (x)dx
Preuve: Il suffit d’appliquer l’inégalité de Markov à la v.a. |X − µ|2 et
prendre α = (k σ)2 .
N. B. L’IBT permet de majorer d’une façon large la probabilité de
l’éloignement d’une v.a. quelconque de sa moyenne par un rayon
donné
α
= αP(X ≥ α).
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Loi des grands nombres
Théorèmes asymptotiques
Implications
Loi des grands nombres
Loi des grands nombres
Théorème : Loi des grands nombres
Pour k = 1 on a P(|X − µ| > 1σ) ≤ 1 : aucun intérêt
1/22
Pour k = 2 on a P(|X − µ| > 2σ) ≤
= 0.25 :
Moins de 25% des valeurs d’une v.a. sont loins de sa moyenne
plus de 2 écarts-type
Soient X1 , . . . , Xn une suite de variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées (i.i.d.), d’espérance µ et de variance finie.
Désignons par X la moyenne empirique de l’échantillon :
Pour k = 3 on a P(|X − µ| > 2σ) ≤ 1/9 :
Moins de 11.11% des valeurs d’une v.a. sont loins de sa moyenne
plus de 3 écarts-type
n
X =
1X
Xi
n
i=1
Alors X tend en probabilité vers µ lorsque n −→ +∞:
∀ε > 0,
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lim P(|X − µ| > ε) = 0.
n→+∞
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Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Théorèmes asymptotiques
Loi des grands nombres
Approximation normale de la binomiale
Preuve: Remarquons que
E(X ) =
Théorème: Moivre-Laplace
X
E(Xi )/n = nµ/n = µ
Soit X une v.a qui suit la loi B(n, p) alors, lorsque n 7→ +∞
i
et
V (X ) = σX2 =
X
V (Xi )/n2 =
i
nσ 2
n2
=
σ2
n
X − np
p
≈ N (0, 1)
np(1 − p)
.
N. B. ≈ : suit approximativement la loi
Soit ε > 0, posons k = ε/σX , l’inégalité IBT donne
P(|X − µ| > ε) ≤
σ 2 (X )
ε2
≤
σ2
nε2
N. B. L’application en pratique (en dimension finie) est valable lorsque
l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :
n
−→ 0.
1
N. B. Le fait que la moyenne empirique de l’échantillon X converge en
probabilité vers µ (la moyenne de X pratiquement inconnu) le favorise
pour être un estimateur qui se rapproche assez bien du paramètre µ
pour une taille de l’échantillon assez grande
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2
n ≥ 20, np ≥ 10 et nq ≥ 10
npq ≥ 10
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Théorèmes d’approximation en loi
Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d’approximation en loi
Approximation de la binomiale par la loi de poisson
Approximation normale de la poissonnienne
Théorème
Soit X une v.a qui suit la loi B(n, p) alors, lorsque n 7→ +∞
Théorème
Soit X une v.a qui suit la loi P(λ) alors, quand λ 7→ +∞
p
X − np
np(1 − p)
X −λ
p
≈ N (0, 1)
λ)
≈ P(λ)
où λ = np
N. B. La condition d’application en pratique est λ ≥ 15
N. B. La conditions d’application en pratique est :
n ≥ 20 et np ≤ 0.10
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Théorèmes d’approximation en loi
Théorèmes asymptotiques
Théorèmes d’approximation en loi
Résumé des approximations
Généralisation : Théorème Central Limite
BC (n, p) et PC (λ) désignent respectivement les lois binomiale et de
Poisson centrées réduites
Théorème Central Limite (TCL)
Soient X1 , . . . , Xn une suite de variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées (i.i.d.), d’espérance µ et de variance
σ 2 < ∞. On a
X −µ
√ ≈ N (0, 1).
σ/ n
N. B. La condition d’application du TCL en pratique est n ≥ 30
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Théorèmes d’approximation en loi
Généralisation : Théorème Central Limite (suite)
Remarque
Le TCL est généralement formulé pour une moyenne X , mais on peut
n
X
l’utiliser sous une autre forme. Soit XT =
Xi la somme de n
i=1
variables aléatoires, il suffit de factoriser par 1/n pour verifier que
XT − nµ
√
≈ N (0, 1).
σ n
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