Mécanique : faisons le point… - CPGE TSI Lycée Louis Vincent

Les théorèmes de la mécanique Mécanique 2012-2013
O.KELLER – TSI1 Lycée Louis Vincent Metz
Mécanique : faisons le point…
La mécanique du point nous offre beaucoup de possibilités pour étudier un système (point M).
Voici un petit récapitulatif des points importants et des applications des théorèmes généraux
de la mécanique.
Toutes les notions citées ci-dessous sont valables pour une étude dans un référentiel galiléen.
Rappel : Avant l’application des théorèmes énoncés ici, il est nécessaire de définir le système,
le référentiel, la base d’étude ainsi que d’effectué un bilan des forces.
Etude dynamique
Principe fondamental de la dynamique :
PFD :
ma
!
M
( )
=F
"!
avec
a
!
M
( )
l’accélération du point matériel M et
F
!"
la résultante des forces appliquées à M.
Remarque : Le PFD est applicable dans tous les cas, mais ce n’est pas forcément le moyen le
plus rapide pour arriver au résultat recherché.
Applications :
- Dans la plupart des cas, on utilise le PFD pour trouver l’équation du mouvement du
point M, connaissant l’expression des forces.
a
!
M
( )
,
v
!
M
( )
et
OM
! "!!!
sont des
inconnues, on les exprime à partir des équations de la cinématique. La projection de la
relation fondamentale de la dynamique permet d’obtenir 3 équations différentielles à
résoudre. (Pour les mouvements à un degré de liberté, on peut souvent se contenter de
la projection sur la direction du mouvement :
ex
!"
pour une translation d’axe Ox,
e
!
!"
pour un mouvement circulaire, …)
- On peut également utiliser le PFD pour trouver l’expression de forces inconnues (la
réaction normale du support
N
!"
par exemple) si l’on connaît le mouvement.
Etude énergétique
Les théorèmes « de la puissance »
Le théorème de la puissance cinétique :
TPC :
dEC
dt =P F
!"
( )
avec
EC=1
2
mv2
l’énergie cinétique du point matériel M,
F
!"
la résultante des forces
appliquées à M et
P F
!"
( )
=F
!"
.v
"
M
( )
.
Le théorème de la puissance mécanique :
TPM :
dEM
dt =P F
nc
! "!
( )

Les théorèmes de la mécanique Mécanique 2012-2013
O.KELLER – TSI1 Lycée Louis Vincent Metz
avec
EM=EC+EP
l’énergie mécanique du point matériel M,
EP
l’énergie potentielle du
point M,
F
nc
! "!
la résultante des forces non conservatives appliquées à M.
Remarques :
- L’énergie potentielle, est une énergie « stockée » par le point M qui peut être
transformée en énergie cinétique. Il est indispensable de connaître :
o L’énergie potentielle de pesanteur (due au poids) :
EP,pes = ±mgz
(+ si Oz est
orienté vers le haut, - si Oz est orienté vers le bas).
o L’énergie potentielle élastique (due à la force de rappel d’un ressort) :
EP,el =1
2
k l !l0
( )
2
.
- Les forces non conservatives, sont des forces pour lesquelles on ne peut pas définir
d’énergie potentielle. L’énergie est dissipée (forces de frottements...)
Application :
Ces deux théorèmes permettent d’obtenir rapidement l’équation différentielle pour un
mouvement à un seul degré de liberté.
Les théorèmes « de l’énergie »
Le théorème de l’énergie cinétique :
TEC :
!EC=ECB
( )
"ECA
( )
=WA#BF
!"
( )
Avec A et B deux points sur la trajectoire de M et
F
!"
la résultante des forces appliquées à M.
Le théorème de l’énergie mécanique :
TEM :
!EM=EMB
( )
"EMA
( )
=WA#BF
nc
! "!
( )
avec
F
nc
! "!
la résultante des forces non conservatives appliquées à M.
Remarques :
-
WA!BF
!"
( )
=F
!"
.dl
A
B
"
est le travail de la force
F
!"
le long de la trajectoire de M du point
A au point B.
- En général, W dépend du chemin suivi, sauf si la force est conservative.
Application :
Ces deux théorèmes permettent d’obtenir rapidement la vitesse du point M en un point B de la
trajectoire lorsque l’on connaît celle au point A (souvent le point de départ, décrit par les
conditions initiales).
Récapitulons :
- Si on cherche l’équation différentielle du mouvement :
o Pour un mouvement quelconque, on utilise le PFD.
o Pour un mouvement à un degré de liberté, on utilise le TPC, le TPM ou le PFD
en projection sur la direction du mouvement.
- Si on cherche la vitesse de M en un point donné : on utilise le TEC ou le TEM.
- Si on cherche l’expression d’une force inconnue : On utilise le PFD.