SMATM205 - Fondements des mathématiques Descriptif de cours

SMATM205 - Fondements des mathématiques

Objectifs

De bonnes connaissances en mathématique sont nécessaires, vu que le cours traverse les domaines tels que la logique, l'analyse, la géometrie, ...

Contenu

Le cours s'articule autour de trois axes. Le premier axe est d'ordre philosophique. Il porte sur la question de la vérité en sciences et en mathématique en

particulier. Comment les mathématiciens voient-ils le rapport à la vérité et au réel ' Que signifie : cette proposition est démontrée ou réfutée ' Le deuxième

axe est d'ordre logique. Il s'agit de faire la distinction entre le niveau syntaxique et les niveaux interprétatifs (sémantiques). Peu à peu, des théories sont

construites et des théorèmes sont prouvés. La logique des prédicats du premier ordre est étudiée, entre autre, dans ses propriétés de cohérence et de

complètude. Le troisième axe est axiomatique. Il s'agit ici de construire la théorie des ensembles à partir d'axiomes fondamentaux. La construction des

nombres ordinaux et cardinaux est présentée en détail. L'axiome du choix et l'axiome de fondation, ainsi que la théorie de Zermelo-Fraenkel, sont

étudiés. Finalement, les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont expliqués.

Table des matières

Les racines : la logique des anciens, d'Aristote aux stoiciens Le vocabulaire et le formalisme : langage, modèle, structure, cohérence, complétude La

logique des prédicats du premier ordre. La théorie des ensembles et la construction des nombres La question de l'infini : les classes cardinales et les

alephs L'auto-référence et les théorèmes de Gödel. Conclusions.

Méthodes d'enseignement

Cours magistral avec support powerpoint. Pas de travaux pratiques associés.

Description des TP/Exercices

Pas d'exercices ou de travaux pratiques.

Mode d'évaluation

L'examen se fait oralement. Chaque étudiant prépare un sujet sur une des deux grandes parties du cours (logique des prédicats ou théorie des

ensembles), qu'il présente pendant 10 minutes, puis il est interrogé sur une autre partie du cours (avec préparation de 10 minutes).

Sources, références et supports éventuels

J.-L. KRIVINE, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F., 2e éd. 1972

Titulaire(s) : Remon Marcel

Enseignants