SMATM205 - Fondements des mathématiques
Objectifs
De bonnes connaissances en mathématique sont nécessaires, vu que le cours traverse les domaines tels que la logique, l'analyse, la géometrie, ...
Contenu
Le cours s'articule autour de trois axes. Le premier axe est d'ordre philosophique. Il porte sur la question de la vérité en sciences et en mathématique en
particulier. Comment les mathématiciens voient-ils le rapport à la vérité et au réel ' Que signifie : cette proposition est démontrée ou réfutée ' Le deuxième
axe est d'ordre logique. Il s'agit de faire la distinction entre le niveau syntaxique et les niveaux interprétatifs (sémantiques). Peu à peu, des théories sont
construites et des théorèmes sont prouvés. La logique des prédicats du premier ordre est étudiée, entre autre, dans ses propriétés de cohérence et de
complètude. Le troisième axe est axiomatique. Il s'agit ici de construire la théorie des ensembles à partir d'axiomes fondamentaux. La construction des
nombres ordinaux et cardinaux est présentée en détail. L'axiome du choix et l'axiome de fondation, ainsi que la théorie de Zermelo-Fraenkel, sont
étudiés. Finalement, les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont expliqués.
Table des matières
Les racines : la logique des anciens, d'Aristote aux stoiciens Le vocabulaire et le formalisme : langage, modèle, structure, cohérence, complétude La
logique des prédicats du premier ordre. La théorie des ensembles et la construction des nombres La question de l'infini : les classes cardinales et les
alephs L'auto-référence et les théorèmes de Gödel. Conclusions.
Méthodes d'enseignement
Cours magistral avec support powerpoint. Pas de travaux pratiques associés.
Description des TP/Exercices
Pas d'exercices ou de travaux pratiques.
Mode d'évaluation
L'examen se fait oralement. Chaque étudiant prépare un sujet sur une des deux grandes parties du cours (logique des prédicats ou théorie des
ensembles), qu'il présente pendant 10 minutes, puis il est interrogé sur une autre partie du cours (avec préparation de 10 minutes).
Sources, références et supports éventuels
J.-L. KRIVINE, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F., 2e éd. 1972
Titulaire(s) : Remon Marcel
Enseignants
Lieu de l'activité :
Langue d'enseignement : French / Français
NAMUR
Annuel
Ex. Q1
Th. Q1 Ex. Q2Th. Q2
30 h.
Descriptif de cours : 2016-2017
Formations concernées Bloc Crédits
Master 60 en sciences mathématiques 1 3
Master 120 en sciences mathématiques, à finalité spécialisée 2 3
Master 120 en sciences mathématiques, à finalité didactique 2 3
Master 120 en sciences mathématiques, à finalité approfondie 2 3
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