TD n 12: Dérivabilité.

Lycée Joffre
PCSI 1. Feuille 12
Année 2015-2016 Exercice 6
Etudier la dérivabilité sur R des applications suivantes :
f : x 7→ x|x|,
TD n 12: Dérivabilité.
◦
Exercice 7
Déterminer la limite en 0 de
• Dérivabilité: application directe
g : x 7→
x
,
1 + |x|
h :7→
1
.
1 + |x|
tan x − sin x
.
arcsin x − arctan x
• Théorème de Rolle et des accroissements finis
Exercice 1
Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par :
√
f (x) = x si 0 6 x 6 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 sinon
Exercice 8
Soient a réel, f : [a, +∞[→ R continue et dérivable sur ]a, +∞[. On suppose que
∃ lim f (x) = f (a). Démontrer qu’il existe c > a tel que f ′ (c) = 0.
+∞
Exercice 9
soit dérivable sur R∗+ .
Exercice
2
R
Soit f :
x
Soit f ∈ C(R+ , R+ ). On suppose qu’il existe k > 0 tel que f (x) 6 k
Z x
−kx
considérant ϕ : x 7→ e
f (t)dt, démontrer que f est nulle.
→ R
.
7
→
1 − x2 ex
−1
R+
x
→ ] − ∞, 1]
est bijective.
7
→
f (x)
est-elle dérivable?
• Déterminez (g −1 )′ (1 − e).
Exercice 3
• f2 (x) = x2 cos x1 si x 6= 0; f2 (0) = 0;
1
x
si x 6= 0; f3 (0) = 0;
Exercice 4
Déterminer les extrema de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R.
Exercice 5
f (t)dt. En
0
Exercice 10
Démontrer que pour tout x et y réels on a : | arctan x − arctan y |6| x − y |
Exercice 11
Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g sur [0, 1] par
f (2x) si x ∈ [0, 12 ]
g(x) =
f (2x − 1) sinon
A quelle(s) condition(s) la fonction g est-elle dérivable?
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:
√
• f1 (x) = cos x
• f3 (x) = sin x sin
x
0
• Montrer que la corestriction de f : g :
• Sur quel(s) intervalle(s) g
Z
2
ex − 1
pour tout x ∈ R∗ . Montrer que f est
Soit f : R → R définie par f (x) =
x
prolongeable par continuité en 0. le prolongement obtenu est-il dérivable? C 1 ?
Exercice 12
soient a et b deux réels tels que a < b. Soient f et g deux fonctions continues sur
[a, b], dérivables sur ]a, b[ et telles que g ′ 6= 0 sur ]a, b[.
• Montrez que :
∃c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a)
f ′ (c)
= ′
g(b) − g(a)
g (c)
• On suppose de plus que g ne s’annule pas sur ]a, b[ et que f (a) = g(a) = 0.
Montrez que ( c’est le théorème de l’Hopital ) :
′
f
f
−
→
α
⇒
−
→
α
g′ a
g a
∗
• Déduisez-en la limite en 0 de f définie par : f (x) =
sin x − x
x(ln(1 + x) − x
Exercice 13
Exercice 20
Soit P un polynôme de R[X] scindé à racines simples sur R[X]. Montrer que P ′ est
√
√
nπ également scindé à racines simples sur R[X].
.
• Soit f : x 7→ ex 3 sin x. Montrer que f (n) (x) = 2n ex 3 sin x +
6
Exercice 14
• Soit g : x 7→ xn−1 e1/x . Montrer que g (n) (x) = (−1)n x−(n+1) e1/x .
Soit f : [0, +∞[→ R de classe C 1 telle que f (0) = −1 et lim f = +∞.
+∞
Montrer que si f s’annule au moins deux fois, alors f ′ aussi.
Exercice 15
Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g sur [0, 1] par
f (2x) si x ∈ [0, 21 ]
g(x) =
f (2x − 1) sinon
A quelle(s) condition(s) la fonction g est-elle dérivable?
Exercice 16
Soient α un réel, f dans ∆1 (]0, +∞[, R) ayant n > 2 zéros. Soit g : x 7→ αf (x)+f ′ (x).
Démontrer que g admet au moins n − 1 zéros.
Exercice 21
Soit f : x 7→ arctan(x).
• Montrer que pour tout n > 1,
nπ f (n) (x) = (n − 1)! cosn (f (x)) sin nf (x) +
.
2
• En déduire les racines de f (n) pour tout n > 1.
Exercice 22
Calculer de deux façons différentes la dérivée n-ièmes de x 7→ x2n . En déduire une
n
X
n
expression de
k .
k=0
Exercice 17
• Recollement des solutions d’équation différentielle
Soient a < b réels et f dans ∆2 ([a, b], R) telle que f (a) = f ′ (a) et f (b) = f ′ (b).
Exercice 23
Montrer qu’il existe c ∈ ]a; b[ tel que f ′′ (c) = f (c).
x
′
Existe-t-il une solution de xy ′ + (1 + x2 )y = 0 définie sur tout R?
On pourra utiliser x 7→ e (f (x) − f (x)).
Exercice 24
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur tout R de
Exercice 18
Pour x réel et n dans N on pose f (x) = xn (1 − x)n .
x2 y ′ + y = x2 + x.
• Calculer de deux façons différentes f (n) (x).
n 2
X
n
k
• En déduire que
=
.
2n
n
Exercice 25
Existe-t-il des solutions définies sur R de l’équation (1 − x2 )y ′ = 2 − x.
k=0
Exercice 26
Existe-t-il des solutions définies sur R de l’équation x2 y ′ + y = x2 + x?
• Calcul de dérivées n-ièmes
• Développements limités et formules de Taylor
Exercice 19
Calculer la dérivée n-ièmes des fonctions suivantes :
• x 7→ sin3 (x).
• x 7→ ex cos x.
1
.
• x 7→
1−x
1
• x 7→
.
1+x
• x 7→
Exercice 27
1
.
1 − x2
• x 7→ x2 (1 + x)n .
• x 7→ (x2 + 1)ex .
Donner le développement limité en 0 des fonctions :
• x 7→ ln(cos(x)) (à l’ordre 6).
• x 7→ (ln(1 + x))2 (à l’ordre 4).
• x 7→ tan(x) (à l’ordre 7).
• x 7→ exp(sin(x)) (à l’ordre 3).
• x 7→ sin(tan(x)) (à l’ordre 5).
• x 7→ sin6 (x) (à l’ordre 9.)
Exercice 28
Calculer les limites des fonctions suivantes au point précisé :
• x 7→ (sin(x))−4 (ch(sin(x)) − ch(x))
en 0.
1
1 x x
• x 7→ e − (1 + )
en +∞.
x
2
• x → (x sin(1/x))x en +∞.
sin x
• Comment déterminer si une fonction est dérivable?
– Utiliser les thms généraux (somme, produit, composée, quotient)
– Calculer la limite du taux d’accroissement
tan x
e
−e
en 0
sin x − tan x
Exercice 29
Calculer le DL des fonctions suivantes en 0.
• x 7→
Memo
x
• x 7→
e − (cos(x) + x)
en 0.
x2
√
2
ln(1 + x) − sin x
cos x − 1 − x2
ex − cos x
x 7→
x 7→
x 7→
x2
x
x4
En déduire que ces fonctions sont dérivables en 0 et donner leur dérivée en 0.
– Utiliser le théorème de la limite de la dérivée
• Comment montrer que la dérivée s’annule?
Utiliser Rolle
• Comment majorer un taux d’accroissement?
Utiliser le théorème des accroissements finis
• Comment calculer la dérivée n-ième d’une fonction ?
– Faire une récurrence
– Utiliser la formule de Leibniz