TD n 12: Dérivabilité.

Lycée Joffre Année 2015-2016
PCSI 1. Feuille 12
TD n◦12: Dérivabilité.
•Dérivabilité: application directe
Exercice 1
Déterminer a, b ∈Rde manière à ce que la fonction fdéfinie sur R+par :
f(x) = √xsi 06x61et f(x) = ax2+bx + 1 sinon
soit dérivable sur R∗
+.
Exercice 2
Soit f:R→R
x7→ 1−x2ex.
•Montrer que la corestriction de f:g:R+→]− ∞,1]
x7→ f(x)est bijective.
•Sur quel(s) intervalle(s) g−1est-elle dérivable?
•Déterminez (g−1)′(1 −e).
Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:
•f1(x) = cos √x
•f2(x) = x2cos 1
xsi x6= 0; f2(0) = 0;
•f3(x) = sin xsin 1
xsi x6= 0; f3(0) = 0;
Exercice 4
Déterminer les extrema de f(x) = x4−x3+ 1 sur R.
Exercice 5
Soit f:R∗→Rdéfinie par f(x) = ex2−1
xpour tout x∈R∗. Montrer que fest
prolongeable par continuité en 0. le prolongement obtenu est-il dérivable? C1?
Exercice 6
Etudier la dérivabilité sur Rdes applications suivantes :
f:x7→ x|x|, g :x7→ x
1 + |x|, h :7→ 1 1 + |x|.
Exercice 7
Déterminer la limite en 0de tan x−sin x
arcsin x−arctan x.
•Théorème de Rolle et des accroissements finis
Exercice 8
Soient aréel, f: [a, +∞[→Rcontinue et dérivable sur ]a, +∞[. On suppose que
∃lim
+∞f(x) = f(a). Démontrer qu’il existe c > a tel que f′(c) = 0.
Exercice 9
Soit f∈ C(R+,R+). On suppose qu’il existe k > 0tel que f(x)6kZx
0
f(t)dt. En
considérant ϕ:x7→ e−kx Zx
0
f(t)dt, démontrer que fest nulle.
Exercice 10
Démontrer que pour tout xet yréels on a : |arctan x−arctan y|6|x−y|
Exercice 11
Soit f: [0,1] →Rune fonction dérivable. On définit une fonction gsur [0,1] par
g(x) = f(2x)si x∈[0,1
2]
f(2x−1) sinon
A quelle(s) condition(s) la fonction gest-elle dérivable?
Exercice 12
soient aet bdeux réels tels que a < b. Soient fet gdeux fonctions continues sur
[a, b], dérivables sur ]a, b[et telles que g′6= 0 sur ]a, b[.
•Montrez que :
∃c∈]a, b[tel que f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f′(c) g′(c)
•On suppose de plus que gne s’annule pas sur ]a, b[et que f(a) = g(a) = 0.
Montrez que ( c’est le théorème de l’Hopital) :
f′
g′−→
aα⇒f
g−→
aα
•Déduisez-en la limite en 0de fdéfinie par : f(x) = sin x−x
x(ln(1 + x)−x

Exercice 13
Soit Pun polynôme de R[X]scindé à racines simples sur R[X]. Montrer que P′est
également scindé à racines simples sur R[X].
Exercice 14
Soit f: [0,+∞[→Rde classe C1telle que f(0) = −1et lim
+∞f= +∞.
Montrer que si fs’annule au moins deux fois, alors f′aussi.
Exercice 15
Soit f: [0,1] →Rune fonction dérivable. On définit une fonction gsur [0,1] par
g(x) = f(2x)si x∈[0,1
2]
f(2x−1) sinon
A quelle(s) condition(s) la fonction gest-elle dérivable?
Exercice 16
Soient αun réel, fdans ∆1(]0,+∞[,R)ayant n>2zéros. Soit g:x7→ αf(x)+f′(x).
Démontrer que gadmet au moins n−1zéros.
Exercice 17
Soient a < b réels et fdans ∆2([a, b],R)telle que f(a) = f′(a)et f(b) = f′(b).
Montrer qu’il existe c∈]a;b[tel que f′′ (c) = f(c).
On pourra utiliser x7→ ex(f′(x)−f(x)).
Exercice 18
Pour xréel et ndans Non pose f(x) = xn(1 −x)n.
•Calculer de deux façons différentes f(n)(x).
•En déduire que
n
X
k=0 k
n2
=n
2n.
•Calcul de dérivées n-ièmes
Exercice 19
Calculer la dérivée n-ièmes des fonctions suivantes :
•x7→ sin3(x).
•x7→ excos x.
•x7→ 1
1−x.
•x7→ 1
1 + x.
•x7→ 1
1−x2.
•x7→ x2(1 + x)n.
•x7→ (x2+ 1)ex.
Exercice 20
•Soit f:x7→ ex√3sin x. Montrer que f(n)(x) = 2nex√3sin x+nπ
6.
•Soit g:x7→ xn−1e1/x. Montrer que g(n)(x) = (−1)nx−(n+1)e1/x.
Exercice 21
Soit f:x7→ arctan(x).
•Montrer que pour tout n>1,
f(n)(x) = (n−1)! cosn(f(x)) sin nf(x) + nπ
2.
•En déduire les racines de f(n)pour tout n>1.
Exercice 22
Calculer de deux façons différentes la dérivée n-ièmes de x7→ x2n. En déduire une
expression de
n
X
k=0 n
k.
•Recollement des solutions d’équation différentielle
Exercice 23
Existe-t-il une solution de xy′+ (1 + x2)y= 0 définie sur tout R?
Exercice 24
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur tout Rde
x2y′+y=x2+x.
Exercice 25
Existe-t-il des solutions définies sur Rde l’équation (1 −x2)y′= 2 −x.
Exercice 26
Existe-t-il des solutions définies sur Rde l’équation x2y′+y=x2+x?
•Développements limités et formules de Taylor
Exercice 27
Donner le développement limité en 0des fonctions :
•x7→ ln(cos(x)) (à l’ordre 6).
•x7→ tan(x)(à l’ordre 7).
•x7→ sin(tan(x)) (à l’ordre 5).
•x7→ (ln(1 + x))2(à l’ordre 4).
•x7→ exp(sin(x)) (à l’ordre 3).
•x7→ sin6(x)(à l’ordre 9.)

Exercice 28
Calculer les limites des fonctions suivantes au point précisé :
•x7→ (sin(x))−4(ch(sin(x)) −ch(x))
en 0.
•x→(xsin(1/x))x2en +∞.
•x7→ esin x−etan x
sin x−tan xen 0
•x7→ e−(1 + 1
x)x
1
x
en +∞.
•x7→ ex−(cos(x) + x)
x2en 0.
Exercice 29
Calculer le DL des fonctions suivantes en 0.
x7→ ex2−cos x
x2x7→ ln(1 + x)−sin x xx7→ cos x−√1−x2 x4
En déduire que ces fonctions sont dérivables en 0et donner leur dérivée en 0.
Memo
•Comment déterminer si une fonction est dérivable?
–Utiliser les thms généraux (somme, produit, composée, quotient)
–Calculer la limite du taux d’accroissement
–Utiliser le théorème de la limite de la dérivée
•Comment montrer que la dérivée s’annule?
Utiliser Rolle
•Comment majorer un taux d’accroissement?
Utiliser le théorème des accroissements finis
•Comment calculer la dérivée n-ième d’une fonction ?
–Faire une récurrence
–Utiliser la formule de Leibniz