CHAPITRE 1 ANALYSE DES SYSTÈMES 1.1 Feuille n°2

CHAPITRE
1
ANALYSE DES SYSTÈMES
1.1 Feuille n°2 : Modélisation et analyse d’un système linéaire à partir
des équations différentielles
L’objectif de ce TD est de montrer que l’outil équation différentielle permet d’étudier les systèmes
asservis mais qu’il n’est pas le plus adapté.
Exercice 1- Moteur à courant continu - équations différentielles
Corrigé page 5
A. Description
Un moteur 1 à courant continu est constitué d’un rotor bobiné (induit) qui est placé dans le champ
magnétique créé par un stator (inducteur), le champ peut être créé par un aimant permanent ou par
un stator bobiné.
collecteur
stator - inducteur
rotor - induit
Figure 1.1: Moteur à courant continu - écorché
Le courant qui circule dans un conducteur du rotor placé dans le champ magnétique produit
une force qui à tendance à faire tourner le rotor (figure 1.2). La force agissant sur le conducteur est
proportionnelle au courant circulant dans le conducteur.
1. Le principe et l’étude des machines électriques sera approfondi en sciences physiques
1
2
1 Analyse des systèmes
L
R
u(t)
E
(a) schéma de principe
(b) schéma électrique équivalent
MCC à aimant permanent
Figure 1.2: Schéma de principe moteur CC
Lorsque le rotor tourne une force électromotrice est induite dans le rotor qui s’oppose à la tension
d’alimentation, cette tension, appelée force contre électromotrice f.c.e.m, est proportionnelle à la
vitesse de rotation de l’arbre moteur.
B. Étude
B.1. Étude simplifié
Dans cette première partie, nous étudierons un modèle simplifié du moteur à courant continu 2 ,
nous considèrerons que l’inductance est nulle et qu’aucun couple résistant ni frottement ne s’oppose
à la rotation du moteur. Il peut à lors être décrit par les quatre équations suivantes :
– Équation électrique
u(t) = R · i(t) + e(t)
u(t) : la tension d’alimentation, i(t) : le courant et e(t) la force contre électromotrice.
– Équation de la mécanique
J·
d ω(t)
= Cm (t)
dt
ω(t) : la vitesse de rotation du moteur, Cm (t) : le couple moteur.
– Équations de couplage électromagnétique
Cm (t) = Kt · i(t)
e(t) = Ke · ω(t)
Q1. Donner l’équation différentielle donnant la vitesse de rotation ω(t) en fonction de la tension
d’alimentation u(t).
Le moteur étudié a les caractéristiques suivantes :
2. Les équations compètent seront vus en physique
1.1 Feuille n°2 : Modélisation et analyse d’un système linéaire à partir des équations différentielles3
Tension nominale
Résistance
Rendement
Constante de couple
Constante de FEM
Inductance du rotor
Inertie du rotor
Un
R
ηmax
Kt
Ke
L
J
20 V
4Ω
79%
34,20 mN A−1
3,590 mVmin/tr
630 µH
52 gcm2
Soit u(t) = U0 = 12 V, à l’instant initial, le moteur est à l’arrêt.
Q2. Déterminer ω(t) en fonction de τ, U0 et des autres paramètres
Q3. Tracer l’allure de la courbe pour différentes valeurs de U0 : 5 V, 10 V, 15 V(attention au unités
SI !). Que constatez vous ?
Q4. Déterminer la tangente à l’origine et la valeur finale ( ω∞ = lim (ω(t)) ), en fonction de τ, U0 , et
t→∞
des autres paramètres. Que constatez-vous ?
Q5. Tracer l’évolution de la valeur finale en fonction de U0 . Que constatez-vous ?
B.2. Prise en compte d’un couple résistant
Dans la première partie, nous avons supposé que le moteur n’entrainait aucune charge.
Toujours dans l’hypothèse de non frottement mais avec un couple résistant, l’équation de la mécanique devient :
J·
d ω(t)
= Cm (t) − Cr (t)
dt
Q6. Établir l’équation différentielle reliant ω(t), Cr (t) et u(t).
Q7. Résoudre l’équation différentielle dans le cas où u(t) = U0 et Cr (t) = Cr0 avec U0 et Cr0 des
constantes.
B.3. Modèle de connaissance complet
En fait les équations électriques et mécanique du moteur à courant sont plus complexes (sans
prise en compte du couple résistant),
u(t) = R · i(t) + L ·
J·
d i(t)
+ e(t)
dt
L : l’inductance du moteur
d ω(t)
= Cm (t) − f · ω(t) f : le coefficient de frottement fluide
dt
Cm (t) = Kt · i(t)
e(t) = Ke · ω(t)
Q8. Établir l’équation différentielle donnant ω(t) en fonction de u(t).
Q9. Quel est l’ordre de l’équation différentielle ?
Q10. À partir des valeurs numériques, préciser la nature des racines ?
C. Notion d’asservissement
Nous revenons sur le premier modèle (pas d’inductance, pas de frottements, pas de couple résistant).
Dans ce modèle, nous avons constaté que la vitesse de rotation dépend de la tension d’alimentation. On peut souhaiter commander le moteur directement avec une consigne de vitesse ωc (t) et
non plus avec une commande en tension.
Pour réaliser cette commande, on rajoute
4
1 Analyse des systèmes
– un capteur : une dynamo tachymétrique, qui permet de mesure la vitesse réelle de rotation du
moteur et retourne une tension proportionnelle à cette vitesse :
uω (t) = Kc · ω(t)
– une interface (IHM) qui permet d’adapter la consigne ωc (t) au système (conversion numérique
analogique)
uc (t) = Kc · ωc (t)
– un comparateur et un correcteur qui compare la consigne et la valeur réelle et qui amplifie
cette écart., pour générer la tension de commande du moteur u(t)
u(t) = Kp · (uc (t) − uω − t))
Q11. Déterminer l’équation différentielle donnant ω(t) en fonction de la consigne de vitesse ωc (t).
On suppose que Kc = Ke (la génératrice à les même caractéristiques que le moteur).
Q12. Déterminer la solution de l’équation différentielle pour ωc (t) = ω0 (constant) en fonction de
Kp
Q13. Déterminer la valeur finale ω∞ = lim (ω(t)) en fonction de ω0 et Kp . Que peut-on dire ?
t→∞
Q14. Déterminer Kp pour que l’erreur de vitesse soit inférieure à 5%.
D. En conclusion
1.1 Feuille n°2 : Modélisation et analyse d’un système linéaire à partir des équations différentielles5
1.1.1 Corrections
Sujet page 1
Cor. 1: Moteur à courant continu - équations différentielles
Q1. Donner l’équation différentielle donnant la vitesse de rotation ω(t) en fonction de la tension d’alimentation u(t).
Q2. Déterminer ω(t) (attention au unités SI !)
Il faut résoudre :
u(t) = R · i(t) + e(t)
d ω(t)
J·
= Cm (t)
dt
Cm (t) = Kt · i(t)
e(t) = Ke · ω(t)
τ·
1
· U0
Ke
t
−
La solution sans second membre est : ωs (t) = A · e τ
On pose comme solution particulière : ωp (t) =
en substituant
u(t) = R · i(t) + Ke · ω(t)
d ω(t)
J·
= Kt · i(t)
dt
R · J d ω(t)
·
+ Ke · ω(t) = u(t)
Kt
dt
On pose τ =
d ω(t)
1
+ ω(t) =
· U0
dt
Ke
t
−
1
ω(t) = A · e τ +
· U0
Ke
à l’instant initial, ω(0) = 0
0
−
1
1
A·e τ +
· U0 = 0 ⇒ A = −
· U0
Ke
Ke
R·J
Ke · Kt
d’où
d ω(t)
1
τ·
+ ω(t) =
· u(t)
dt
Ke
ω(t) =
Q3. Tracer l’allure de la courbe
R·J
déterminons τ =
Ke · Kt
– Inertie du rotor :J = 52 gcm2 = 52 × 10−3 kgcm2 = 52 × 10−7 kgm2
– Constante de couple : Kt = 34,20 mN A−1 = 34,20 × 10−3 N A−1
– Constante de FEM :Ke = 3,590 mVmin/tr = 3,590 × 10−3 Vmin/tr = 215,40 × 10−3 Vs/tr =
Ke = 34,28 × 10−3 V s rad−1
On remarque Kt et Ke sont égaux.
R·J
4 · 52 × 10−7
τ=
=
≈ 0,017 7 s = 17 ms
Ke · Kt (34,2 × 10−3 )2

t

− 

1

· U0 1 − ·e τ 


Ke
1
215,40 × 10−3 V s rad−1
2·π
441,0 rad s−1
U0 = 15 V
294,0 rad s−1
U0 = 10 V
147,0 rad s−1
U0 = 5 V
t