.
Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre de parties le
joueur sera perdant.
Remarque :
Lorsque l’espérance de gain de tous les joueurs est nulle, on dit que le jeu est équitable.
2°) Propriétés :
Propriété :
Soit X une variable aléatoire. Pour tous nombres réels a et b on a :
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX) = a2V(X)
Preuve :
E(aX + b) = p1(ax1 + b) + p2(ax2 + b) + …… + pn(axn + b)
= ap1x1 + bp1 + ap2x2 + bp2 + …… + apnxn + bpn
= a(p1x1 + p2x2 + … + pnxn) + b(p1 + p2 + …+ pn)
= aE(X) + b car p1 + p2 + …+ pn = 1
V(aX) = p1 (ax1 – E(aX))2 + p2 (ax2 – E(aX))2 + …… + pn (axn – E(aX))2
= p1 (ax1 – aE(X))2 + p2 (ax2 – aE(X))2 + …… + pn (axn – aE(X))2
= a2p1 (x1 – E(X))2 + a2p2 (x2 – E(X))2 + …… + a2pn (xn – E(X))2
= a2 [p1 (x1 – E(X))2 + p2 (x2 – E(X))2 + …… + pn (xn – E(X))2]
= a2V(X)
III. Répétition d'expériences identiques et indépendantes :
1°) Expériences indépendantes :
Définition :
Des expériences aléatoires successives sont dites indépendantes lorsque les résultats de l'une n'influencent
pas les probabilités des résultats des autres.
Exemple 1 :
On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces.
Les deux expériences sont identiques et indépendantes.
Exemple 2 :
Un sac contient 4 bonbons au citron et 1 à la menthe. Jean prend au hasard un bonbon puis Claude fait de
même. Jean prend un bonbon, le contenu du sac change.
Les deux expériences aléatoires ne sont pas indépendantes.
2°) Modéliser une répétition :
On peut représenter la répétition d'expériences indépendantes et identiques à l'aide d'un arbre pondéré.
Exemple :
Une urne contient 3 boules rouges et 5 noires. On tire successivement trois boules avec remise. C'est la
répétition de trois expériences identiques et indépendantes.
Soient les événements suivants : A : « Obtenir deux boules rouges » et B : « Obtenir au moins une boule
noire »
Déterminons à l’aide d’un arbre l’univers :