Probabilité 1.

PROBABILITÉ
I.Variable aléatoire :
1°) Définition, exemple :
Définition :
Soit  l'univers d'une expérience aléatoire (c'est à dire l'ensemble des issues de cette expérience
aléatoire).
Définir une variable aléatoire X sur , c’est associer à chaque élément de  un nombre réel.
Exemple :
On lance deux fois une pièce équilibrée.
On considère  l'univers de cette expérience.  = {PP ; PF ; FP ; FF}.
Si à chaque issue de cette expérience, on associe le nombre de « face » obtenus, alors on définit une
variable aléatoire X sur elle prend les valeurs 0, 1 et 2. X() = {0 ; 1 ; 2}
2°) Loi de probabilité :
Définition :
Définir la loi de probabilité associée à une variable aléatoire revient à associer à chaque valeur prise par
cette variable aléatoire la probabilité correspondant.
Valeurs prises par X
x1
x2
…
xn
total
P(X = xi) = pi
p1
p2
…
Exemple :
Retour avec la pièce.
(X) = {0 ; 1 ; 2}. La loi de probabilité associée est
Valeurs prises par X
0
1
P(X = xi) = pi
0,25
0,5
pn
1
2
total
0,25
1
Remarque :
De manière générale, la loi de probabilité de X est la fonction qui à xi associe le nombre P(X = xi ).
II. Paramètres d'une loi de probabilité :
1°) Espérance, variance et écart type :
Définition :
Soit X une variable aléatoire définie sur .
On suppose que X prend les valeurs x1, x2, ……, xn avec les probabilités respectives p1, p2, … , pn (comme
dans la tableau ci-dessus).
n
E(X) = p1x1 + p2x2 + …… + pnxn =
∑ pi x i
est l'espérance mathématique de X.
i=1
n
2
2
2
V(X) = p1 (x1 – E(X)) + p2 (x2 – E(X)) + …… + pn (xn – E(X)) =
∑ pi ( x i−E( X ))2
i=1
(X) = √ V( X )
Exemple :
Calculons E(X), V(X) et (X) de l'expérience avec la pièce.
Rappel de la loi de probabilité :
Valeurs prises par X
0
1
P(X = xi) = pi
0,25
0,5
Donc :
E(X) = 0×0,25 + 1×0,5 + 2×0,25 = 1
V(X) = 0,25×(0 –1)2 + 0,5×(1 – 1)2 + 0,25×(2 – 1)2 = 0,5
2
(X) = √ V( X )= √ .
2
2
total
0,25
1
est la variance de X.
Exemple : Gain ou perte.
On lance un dé. On perd 2€ si on tombe sur 1 ou 2, on gagne 0,5€ si on tombe sur 3 et enfin on gagne 1€
si on tombe sur 4, 5 ou 6. On appelle X la variable aléatoire qui donne le gain associé à un tirage.
2 1
1
3 1
Ainsi : P(X = –2) = = , P(X = 0,5) =
et P(X = 1) = = .
6 3
6
6 2
On peut présenter cette loi de probabilité à l'aide du tableau :
X
–2
0,5
1
1
1
1
3
6
2
1
1
1 −4 0,5 3 −0,5 −1
+
+ =
=
On a alors E ( X )=−2× + 0,5× + 1× =
.
3
6
2 6
6 6
6
12
Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre de parties le
joueur sera perdant.
Remarque :
Lorsque l’espérance de gain de tous les joueurs est nulle, on dit que le jeu est équitable.
P(X = xi)
2°) Propriétés :
Propriété :
Soit X une variable aléatoire. Pour tous nombres réels a et b on a :
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX) = a2V(X)
Preuve :
E(aX + b)
= p1(ax1 + b) + p2(ax2 + b) + …… + pn(axn + b)
= ap1x1 + bp1 + ap2x2 + bp2 + …… + apnxn + bpn
= a(p1x1 + p2x2 + … + pnxn) + b(p1 + p2 + …+ pn)
= aE(X) + b
car p1 + p2 + …+ pn = 1
V(aX) = p1 (ax1 – E(aX))2 + p2 (ax2 – E(aX))2 + …… + pn (axn – E(aX))2
= p1 (ax1 – aE(X))2 + p2 (ax2 – aE(X))2 + …… + pn (axn – aE(X))2
= a2p1 (x1 – E(X))2 + a2p2 (x2 – E(X))2 + …… + a2pn (xn – E(X))2
= a2 [p1 (x1 – E(X))2 + p2 (x2 – E(X))2 + …… + pn (xn – E(X))2]
= a2V(X)
III. Répétition d'expériences identiques et indépendantes :
1°) Expériences indépendantes :
Définition :
Des expériences aléatoires successives sont dites indépendantes lorsque les résultats de l'une n'influencent
pas les probabilités des résultats des autres.
Exemple 1 :
On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces.
Les deux expériences sont identiques et indépendantes.
Exemple 2 :
Un sac contient 4 bonbons au citron et 1 à la menthe. Jean prend au hasard un bonbon puis Claude fait de
même. Jean prend un bonbon, le contenu du sac change.
Les deux expériences aléatoires ne sont pas indépendantes.
2°) Modéliser une répétition :
On peut représenter la répétition d'expériences indépendantes et identiques à l'aide d'un arbre pondéré.
Exemple :
Une urne contient 3 boules rouges et 5 noires. On tire successivement trois boules avec remise. C'est la
répétition de trois expériences identiques et indépendantes.
Soient les événements suivants : A : « Obtenir deux boules rouges » et B : « Obtenir au moins une boule
noire »
Déterminons à l’aide d’un arbre l’univers  :
3
8
R
3
8
5
8
5
8
R
N
3
8
R
RRR
N
RRN
3
8
R
RNR
N
RNN
5
8
R
3
5 8
8
R
NRR
N
NRN
N
3
5 8
8
R
NNR
N
NNN
N
5
8
3
8 5
8
3 3 5 3 5 3 5 3 3 135
× × + × × + × × =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 512
3 3
P(B) = 1 – P(RRR) = 1 –
= 485/512
8
Propriétés :
La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité d'un événement est le produit des probabilités portées sur les branches du chemin
aboutissant à cet événement.
P(A) =
()