Table des matières 1 Introduction 2 Fonctions trigonométriques

CHAPITRE 6– FONCTIONS USUELLES
Table des matières
1 Introduction 1
2 Fonctions trigonométriques 1
2.1 Fonctions circulaires ........................................................ 1
2.2 Fonctions circulaires réciproques ................................................ 4
3 Logarithme népérien et exponentielle 7
3.1 Définitions et premières propriétés ............................................... 7
3.2 Courbes représentatives ...................................................... 8
3.3 Propriétés algébriques ....................................................... 9
3.4 Fonctions exponentielles et logarithmes en base quelconque ................................ 9
3.5 Limites ................................................................ 10
4 Fonctions puissances 11
5 Cosinus et sinus hyperboliques 12
5.1 Définitions et premières propriétés ............................................... 12
5.2 Courbes représentatives ...................................................... 13
5.3 Propriétés algébriques ....................................................... 13
1 Introduction
Pendant les cours de Mathématiques au collègue puis au lycée, vous avez rencontré de nombreuses fonctions : d’abord les fonc-
tions trigonométriques cosinus, sinus et tangente, vous avez également utilisé les touches arccos et arcsin de votre calculatrice,
puis, en terminale, vous avez défini les fonctions exponentielle et logarithme népérien etc.
Dans ce chapitre, nous faisons des rappels autour de ces fonctions et nous en introduisons de nouvelles : les fonctions
cosinus et sinus hyperboliques. Il existe une fonction tangente hyperbolique, mais elle n’est pas au programme de PCSI.
2 Fonctions trigonométriques
2.1 Fonctions circulaires
Définitions et premières propriétés a
Les notions de cosinus, de sinus et de tangente apparaissent dès le collège dans les triangles rectangles. Les trois fonctions
circulaires sont ensuite introduites au lycée.

2.1 Fonctions circulaires
Les fonctions trigonométriques sont les fonctions cosinus, notée cos,sinus, notée sin, et tangente, notée tan :
cos : R−→[−1,1]
sin : R−→[−1,1]
tan : R\nπ
2+kπ|k∈Zo−→R
.
Les valeurs prises par ces trois fonctions sont liées au cercle trigonométrique, i.e. le cercle de centre 0 et de rayon 1 :
0 1
θ
sinθ
cosθ
tanθ
Définition 2.1.1 (fonctions trigonométriques, cosinus, sinus et tangente).
BAttention —Ce dessin permet de retrouver bon nombre de relations entre ces trois fonctions. Il
faut savoir et avoir le réflexe d’utiliser ce genre de dessin! !
°La fonction cosinus est .................................... ;
•la fonction cosinus est de classe C∞sur Ravec cos0=...... ;
•la fonction cosinus réalise une bijection de ......... dans ..........
°La fonction sinus est .................................... ;
•la fonction sinus est de classe C∞sur Ravec sin0=...... ;
•la fonction sinus réalise une bijection de ......... dans ..........
°La fonction tangente est .................................... ;
•la fonction tangente est de classe C∞sur son ensemble de définition et tan0=...... =...... ;
•la fonction tangente réalise une bijection de ......... dans ..........
Proposition 2.1.1.
On a :
•cosx=cos y⇐⇒.......................................... ⇐⇒...........................................
•sinx=sin y⇐⇒.......................................... ⇐⇒...........................................
•tanx=tan y⇐⇒.......................................... ⇐⇒...........................................
Proposition 2.1.2 (cas d’égalité des fonctions trigonométriques).
Courbes représentatives a
•Les courbes des fonctions cosinus et sinus sont les suivantes :
Sommaire -2- A.LAURENT — Lycée Descartes

2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
π
−1
1
0
y=sinx
y=cosx
•La courbe de la fonction tangente est la suivante :
π
1
0
y=tanx
On peut alors lire graphiquement les limites suivantes ; celles-ci peuvent aussi se démontrer en utilisant l’expression de
la tangente en fonction du cosinus et du sinus.
On a :
(i) lim
x→−π
2+tanx=−∞; (ii) lim
x→π
2−tanx=+∞.
Proposition 2.1.3.
Relations trigonométriques a
Il existe beaucoup d’égalités autour des fonctions trigonométriques. Parmi celles-ci, beaucoup peuvent être retrouvées très ra-
pidement en utilisant un dessin représentant le cercle trigonométrique ou en utilisant les nombres complexes et leur forme
exponentielle. C’est la raison pour laquelle la plupart de ces formules ne sont pas à apprendre par cœur mais à savoir retrouver
très rapidement.
A.LAURENT — Lycée Descartes -3- Sommaire

2.2 Fonctions circulaires réciproques
Pour tous réels θ,ona:
°(i) cos(−θ)=......... ;
(ii) sin(−θ)=......... ;
(iii) tan(−θ)=......... ;
°(iv) cos(π−θ)=......... ;
(v) sin(π−θ)=......... ;
(vi) tan(π−θ)=......... ;
°(vii) cos(π+θ)=......... ;
(viii) sin(π+θ)=......... ;
(ix) tan(π+θ)=......... ;
°(x) cos³π
2−θ´=......... ;
(xi) sin³π
2−θ´=......... ;
(xii) tan³π
2−θ´=..........
Proposition 2.1.4.
1
θ
sinθ
cosθ
−sinθ
−cosθ
−θ
π−θ
π+θ
0
Pour tous réels aet b,ona:
(i) cos(a+b)=cos a.cosb−sina.sinb;
(iii) sin(a+b)=sin a.cosb+sinb.cosa;
(v) tan(a+b)=tan a+tanb
1−tana.tanb;
(ii) cos(a−b)=cos a.cosb+sina.sinb;
(iv) sin(a−b)=sin a.cosb−sinb.cosa;
(vi) tan(a−b)=tan a−tanb
1+tana.tanb.
Théorème 2.1.1 (formules d’addition).
Pour tout réel θ,ona:
(i) cos(2θ)=cos2θ−sin2θ=1−2sin2θ=2cos2θ−1 ; (ii) sin(2θ)=2sinθcosθ.
Il suit les formules de linéarisation suivantes :
cos2θ=1+cos(2θ)
2et sin2θ=1−cos(2θ) 2.
Théorème 2.1.2.
2.2 Fonctions circulaires réciproques
Définitions et premières propriétés a
Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que les fonctions cosinus, sinus et tangente induisaient les bijections suivantes :
cos : [0,π]−→[−1,1]
sin : [−π
2,π 2]−→[−1,1]
tan :]−π
2,π 2[−→R
.
Ainsi, il est intéressant de s’intéresser aux fonctions réciproques de ces bijections.
Sommaire -4- A.LAURENT — Lycée Descartes

2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Les fonctions trigonométriques réciproques sont les fonctions
•arc-cosinus, notée arccos, définie par :
arccos : ½[−1,1] −→ [0,π]
y7−→ xoù xest l’unique solution dans [0,π] de l’équation cosx=y;
•arc-sinus, notée arcsin, définie par :
arcsin : ([−1,1] −→ h−π
2,π 2i
y7−→ xoù xest l’unique solution dans £−π
2,π 2¤de l’équation sinx=y;
•arc-tangente, notée arctan définie par :
arctan : (R−→ i−π
2,π 2h
y7−→ xoù xest l’unique solution de l’équation tanx=y.
Définition 2.2.2 (fonctions trigonométriques réciproques, arc-cosinus, arc-sinus et arc-tangente).
BAttention —•Ces fonctions trigonométriques réciproques ne sont les bijections réciproques des
applications cosinus, sinus et tangente car ces trois fonctions ne sont pas injectives. Ce sont les
bijections réciproques de restrictions des fonctions trigonométriques.
•Lorsque l’on travaille avec les fonction trigonométriques réciproques, il faut être
particulièrement vigilant sur les intervalles.
°La fonction arc-cosinus est strictement décroissante;
•la fonction arc-cosinus est continue sur [−1,1] et de classe C∞sur ] −1,1[ avec :
arccos0x=− 1
p1−x2sur ]−1,1[ ;
°La fonction arc-sinus est impaire et strictement croissante ;
•la fonction arc-sinus est continue sur [−1,1] et de classe C∞sur ] −1,1[ avec :
arcsin0x=1
p1−x2sur ]−1,1[ ;
°La fonction arc-tangente est impaire et strictement croissante ;
•la fonction arc-tangente est de classe C∞sur Ret arctan0x=1
1+x2sur R.
Proposition 2.2.5.
Démonstration — A faire.
Courbes représentatives a
Les courbes des fonctions arc-cosinus et arc-sinus sont les suivantes (les tangentes verticales de ces deux courbes sont également
représentées).
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