Table des matières 1 Introduction 2 Fonctions trigonométriques

CHAPITRE 6 – F ONCTIONS USUELLES
Table des matières
1 Introduction
1
2 Fonctions trigonométriques
1
2.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Logarithme népérien et exponentielle
7
3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 Courbes représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4 Fonctions exponentielles et logarithmes en base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Fonctions puissances
11
5 Cosinus et sinus hyperboliques
12
5.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.2 Courbes représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5.3 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1 Introduction
Pendant les cours de Mathématiques au collègue puis au lycée, vous avez rencontré de nombreuses fonctions : d’abord les fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente, vous avez également utilisé les touches arccos et arcsin de votre calculatrice,
puis, en terminale, vous avez défini les fonctions exponentielle et logarithme népérien etc.
Dans ce chapitre, nous faisons des rappels autour de ces fonctions et nous en introduisons de nouvelles : les fonctions
cosinus et sinus hyperboliques. Il existe une fonction tangente hyperbolique, mais elle n’est pas au programme de PCSI.
2 Fonctions trigonométriques
2.1 Fonctions circulaires
Définitions et premières propriétés a
Les notions de cosinus, de sinus et de tangente apparaissent dès le collège dans les triangles rectangles. Les trois fonctions
circulaires sont ensuite introduites au lycée.
2.1 Fonctions circulaires
Définition 2.1.1 (fonctions trigonométriques, cosinus, sinus et tangente).
Les fonctions trigonométriques sont les fonctions cosinus, notée cos, sinus, notée sin, et tangente, notée tan :


cos : R −→ [−1, 1]


sin : R −→ [−1, 1]
n
o


tan : R \ π + kπ| k ∈ Z −→ R
2
.
Les valeurs prises par ces trois fonctions sont liées au cercle trigonométrique, i.e. le cercle de centre 0 et de rayon 1 :
sin θ
tan θ
θ
cos θ
0
1
— Ce dessin permet de retrouver bon nombre de relations entre ces trois fonctions. Il
B Attention
faut savoir et avoir le réflexe d’utiliser ce genre de dessin ! !
Proposition 2.1.1.
° La fonction cosinus est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• la fonction cosinus est de classe C
∞
sur R avec cos0 = . . . . . . ;
• la fonction cosinus réalise une bijection de . . . . . . . . . dans . . . . . . . . . .
° La fonction sinus est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• la fonction sinus est de classe C
∞
sur R avec sin0 = . . . . . . ;
• la fonction sinus réalise une bijection de . . . . . . . . . dans . . . . . . . . . .
° La fonction tangente est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• la fonction tangente est de classe C
∞
sur son ensemble de définition et tan0 = . . . . . . = . . . . . . ;
• la fonction tangente réalise une bijection de . . . . . . . . . dans . . . . . . . . . .
Proposition 2.1.2 (cas d’égalité des fonctions trigonométriques).
On a :
• cos x = cos y ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• sin x = sin y ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• tan x = tan y ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes représentatives a
• Les courbes des fonctions cosinus et sinus sont les suivantes :
Sommaire
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2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
y = sin x
1
π
0
−1
y = cos x
• La courbe de la fonction tangente est la suivante :
y = tan x
1
π
0
On peut alors lire graphiquement les limites suivantes ; celles-ci peuvent aussi se démontrer en utilisant l’expression de
la tangente en fonction du cosinus et du sinus.
Proposition 2.1.3.
On a :
(i)
tan x = +∞.
(ii) lim
π−
lim tan x = −∞ ;
x→− π2 +
x→ 2
Relations trigonométriques a
Il existe beaucoup d’égalités autour des fonctions trigonométriques. Parmi celles-ci, beaucoup peuvent être retrouvées très rapidement en utilisant un dessin représentant le cercle trigonométrique ou en utilisant les nombres complexes et leur forme
exponentielle. C’est la raison pour laquelle la plupart de ces formules ne sont pas à apprendre par cœur mais à savoir retrouver
très rapidement.
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Sommaire
2.2 Fonctions circulaires réciproques
Proposition 2.1.4.
Pour tous réels θ, on a :
(i) cos(−θ) = . . . . . . . . . ;
°
sin θ
(ii) sin(−θ) = . . . . . . . . . ;
(iii) tan(−θ) = . . . . . . . . . ;
° (iv) cos(π − θ) = . . . . . . . . . ;
π−θ
(v) sin(π − θ) = . . . . . . . . . ;
(vi) tan(π − θ) = . . . . . . . . . ;
− cos θ
θ
cos θ
0
° (vii) cos(π + θ) = . . . . . . . . . ;
1
−θ
(viii) sin(π + θ) = . . . . . . . . . ;
π+θ
(ix) tan(π + θ) = . . . . . . . . . ;
³π
´
−θ = ......... ;
° (x) cos
2
³π
´
(xi) sin
−θ = ......... ;
2
´
³π
−θ = ..........
(xii) tan
2
− sin θ
Théorème 2.1.1 (formules d’addition).
Pour tous réels a et b, on a :
(i) cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b ;
(ii) cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b ;
(iii) sin(a + b) = sin a. cos b + sin b. cos a ;
tan a + tan b
(v) tan(a + b) =
;
1 − tan a. tan b
(iv) sin(a − b) = sin a. cos b − sin b. cos a ;
tan a − tan b
(vi) tan(a − b) =
.
1 + tan a. tan b
Théorème 2.1.2.
Pour tout réel θ, on a :
(i) cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ = 1 − 2 sin2 θ = 2 cos2 θ − 1 ;
(ii) sin(2θ) = 2 sin θ cos θ.
Il suit les formules de linéarisation suivantes :
cos2 θ =
1 − cos(2θ)
1 + cos(2θ)
et sin2 θ =
.
2
2
2.2 Fonctions circulaires réciproques
Définitions et premières propriétés a
Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que les fonctions cosinus, sinus et tangente induisaient les bijections suivantes :


cos : [0, π] −→ [−1, 1]
sin : [− π2 , π2 ] −→ [−1, 1]


tan :] − π2 , π2 [−→ R
.
Ainsi, il est intéressant de s’intéresser aux fonctions réciproques de ces bijections.
Sommaire
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2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Définition 2.2.2 (fonctions trigonométriques réciproques, arc-cosinus, arc-sinus et arc-tangente).
Les fonctions trigonométriques réciproques sont les fonctions
• arc-cosinus, notée arccos, définie par :
½
[−1, 1] −→ [0, π]
arccos :
y 7−→ x où x est l’unique solution dans [0, π] de l’équation cos x = y ;
• arc-sinus, notée arcsin, définie par :
(
arcsin :
h π πi
[−1, 1] −→ − ,
2 2
£
¤
y 7−→ x où x est l’unique solution dans − π2 , π2 de l’équation sin x = y ;
• arc-tangente, notée arctan définie par :
(
arctan :
i π πh
R −→ − ,
2 2
y 7−→ x où x est l’unique solution de l’équation tan x = y.
Attention — • Ces fonctions trigonométriques réciproques ne sont les bijections réciproques des
B applications
cosinus, sinus et tangente car ces trois fonctions ne sont pas injectives. Ce sont les
bijections réciproques de restrictions des fonctions trigonométriques.
• Lorsque l’on travaille avec les fonction trigonométriques réciproques, il faut être
particulièrement vigilant sur les intervalles.
Proposition 2.2.5.
° La fonction arc-cosinus est strictement décroissante ;
• la fonction arc-cosinus est continue sur [−1, 1] et de classe C
∞
sur ] − 1, 1[ avec :
1
arccos0 x = − p
sur ] − 1, 1[ ;
1 − x2
° La fonction arc-sinus est impaire et strictement croissante ;
• la fonction arc-sinus est continue sur [−1, 1] et de classe C
∞
sur ] − 1, 1[ avec :
1
arcsin0 x = p
sur ] − 1, 1[ ;
1 − x2
° La fonction arc-tangente est impaire et strictement croissante ;
• la fonction arc-tangente est de classe C
∞
sur R et arctan0 x =
1
1+x 2
sur R.
Démonstration — A faire.
Courbes représentatives a
Les courbes des fonctions arc-cosinus et arc-sinus sont les suivantes (les tangentes verticales de ces deux courbes sont également
représentées).
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Sommaire
2.2 Fonctions circulaires réciproques
y = arccos x
π
π
2
y = arcsin x
y = sin x
1
π
2
−
1
π
2
−1
0
1
π
0
−1
1
π
2
1
π
2
−
−1
y = cos x
π
2
La courbe de la fonction arc-tangente est la suivante.
y = tan x
π
−
2
π
2
1
y = arctan x
1
0
−
π
2
π
2
On peut alors lire graphiquement les limites suivantes (ou on les démontre en utilisant les limites de la fonction tangente).
Proposition 2.2.6.
On a :
(i)
lim arctan x = −
x→−∞
π+
;
2
(ii)
lim arctan x =
x→+∞
π−
.
2
Liens entre les fonctions circulaires et les fonctions circulaires réciproques a
Comme les fonctions trigonométriques sont liées entre elles, il n’est pas étonnant d’avoir des liens entre les diverses fonctions
trigonométriques et les fonctions trigonométriques réciproques.
Sommaire
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3 LOGARITHME NÉPÉRIEN ET EXPONENTIELLE
Les formules de ce paragraphes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur mais il faut savoir qu’elles existent et
pouvoir les retrouver très rapidement.
Proposition 2.2.7 (relations avec l’arc-cosinus et l’arc-sinus).
• Pour tout réels x ∈ [−1, 1], on a :
(i) cos(arcsin x) =
p
1 − x2 ;
(ii) sin(arccos x) =
p
1 − x2 ;
(iv) tan(arccos x) =
p
1 − x2
.
x
• Pour tout réels x dans [−1, 1], on a :
x
(iii) tan(arcsin x) = p
;
1 − x2
• Pour tout x ∈ [−1, 1], on a :
(v) arccos(−x) + arccos x = π ;
(vi) arccos x + arcsin x =
π
;
2
(vii) arcsin(−x) + arcsin x = 0.
Démonstration — Les preuves de toutes ces égalités seront faites en exercices.
Proposition 2.2.8 (relations avec l’arc-tangente).
• Pour tout réels x, on a :
x
(ii) sin(arctan x) = p
.
1 + x2
1
(i) cos(arctan x) = p
;
1 + x2
• Pour tout x ∈ R∗ , on a :
(
1 si x > 0
π
1
arctan x + arctan = ε avec ε =
x
2
−1 si x < 0
.
Démonstration — A faire.
3 Logarithme népérien et exponentielle
3.1 Définitions et premières propriétés
Définition 3.1.3 (logarithme népérien).
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive sur R+,∗ de la fonction inverse x 7→
en 1.
Z x
dt
∀x ∈ R+,∗ , ln x =
.
1 t
1
x
qui s’annule
On a par conséquent :
∀x ∈ R+,∗ , ln0 (x) =
1
et ln 1 = 0.
x
Proposition 3.1.9.
Le logarithme népérien est :
(i) strictement croissante sur R+,∗ ;
(ii) de classe C
∞
sur R
+,∗
(iii) une bijection de R+,∗ dans R ;
(iv) concave sur R+,∗ .
;
Démonstration — A faire en attendant momentanément le lemme suivant.
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3.2 Courbes représentatives
Lemme.
On a :
(i)
lim ln x = +∞ ;
(ii) lim ln x = −∞.
x→+∞
x→0+
Démonstration — A faire.
Définition 3.1.4 (exponentielle).
La fonction exponentielle, notée exp ou simplement e, est la fonction réciproque du logarithme népérien sur R+,∗ :
exp : R −→ R+,∗ avec exp ◦ ln = id et ln ◦ exp = id.
Remarques
• L’existence de l’exponentielle est assurée par le premier point de la proposition 9.
• Comme nous l’avons vu dans le chapitre 5 – Ensemble C, nombres complexes et géométrie, l’exponentielle est prolongeable en une fonction définie sur C. Comme nous l’avons également vu, l’exponentielle complexe a les mêmes propriétés
que l’exponentielle réelle.
Proposition 3.1.10.
L’exponentielle est :
(i) une bijection de R dans R+,∗ ;
(iii) strictement croissante sur R ;
0
(ii) dérivable sur R avec exp = exp et e = 1 ;
0
(iv) convexe sur R+,∗ .
Remarques
• Il est également possible de d’abord définir l’exponentielle comme l’unique fonction vérifiant la propriété (iii) puis de
définir le logarithme népérien comme la fonction réciproque de l’exponentielle.
∞
• L’égalité du troisième entraîne le fait que l’exponentielle est de classe C sur R et que exp(n) = exp pour tout entier naturel
n.
Démonstration — A faire.
Notation.
Pour simplifier l’écriture, on introduit le nombre e défini par e = exp(1). Ce nombre est donc l’unique solution de
l’équation ln x = 1. On a la valeur numérique e ' 2.71828182.
3.2 Courbes représentatives
Proposition 3.2.11.
• Pour tout x ∈ R+,∗ , on a ln x ≤ x − 1 avec égalité si, et seulement si, x = 1.
• Pour tout x ∈ R, on a e x ≥ x + 1 avec égalité si, et seulement si, x = 0.
Remarque
Ces résultats se retrouvent aisément avec les représentations ci-dessous.
Démonstration — A faire.
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3 LOGARITHME NÉPÉRIEN ET EXPONENTIELLE
y = x −1
1
0
1
y = x +1
e
y = ln x
e
1
y = ex
0
1
Remarque
Ces deux graphes sont symétriques par rapport à la première diagonale, i.e. la droite d’équation y = x. Rien d’étonnant à ça
puisque le logarithme népérien et l’exponentielle sont deux applications réciproques (cf. chapitre 2 – Ensembles, applications et relations).
3.3 Propriétés algébriques
Proposition 3.3.12.
Soit x et y ∈ R+,∗ , soit α ∈ R. On a les propriétés suivantes :
(i) ln(x y) = ln x + ln y ;
(ii) ln
x
= ln x − ln y ;
y
(iii) ln(x α ) = α ln x ;
p
1
(iv) ln x = ln x.
2
(iii) (e x )α = e αx ;
(iv)
Démonstration — A faire.
Proposition 3.3.13.
Soit x et y deux réels, soit α ∈ R. On a alors :
(i) e x+y = e x × e y ;
(ii) e x−y =
ex
;
ey
p
x
ex = e 2 .
Remarques
• Ces propriétés justifient pleinement la notation de l’exponentielle sous forme de puissance : les puissances et l’exponentielle se comportent exactement de la même manière.
• Il est facile d’adapter toutes ces propriétés pour x et y complexes non plus simplement dans R (cf. chapitre 5 – Ensemble
C, nombres complexes et géométrie).
Démonstration — A faire.
3.4 Fonctions exponentielles et logarithmes en base quelconque
Définition 3.4.5 (logarithme en base α, logarithme décimal).
Soit α ∈ R+,∗ avec α 6= 1. La fonction logarithme en base α, notée logα , est définie par :
∀x ∈ R+,∗ , logα x =
ln x
.
ln α
Si α = 10, on parle de « logarithme décimal ». Si α = e, on retrouve le logarithme népérien.
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3.5 Limites
Tout les logarithmes héritent des propriétés fonctionnelles du logarithme népériens (ce sont des bijections —croissantes
∞
si α > 1, décroissantes sinon— de R+,∗ dans R concaves et de classe C ) mais également des propriétés algébriques vues dans
le paragraphe §3.3.
Définition 3.4.6 (exponentielle en base α, exponentielle décimale).
Soit αR+,∗ . La fonction exponentielle en base α est la fonction réciproque du logarithme logα sur R+,∗ ; elle est
définie par :
½
R −→
R+,∗
.
x
x 7−→ α = e x ln α
En effet, pour tout x ∈ R et tout y ∈ R+,∗ , on a :
logα (αx ) =
µ
¶
ln αx ln e x ln α
ln y
=
= x et αlogα (y) = e x logα (y) = exp
ln α = y.
ln α
ln α
ln α
De même que pour le logarithme, si la base α est α = 10, on parle alors d’exponentielle décimale.
De même, l’exponentielle en base α hérite des propriétés fonctionnelles de l’exponentielle (c’est, par exemple, une bijection de R dans R+,∗ —croissante si α > 1, décroissante α < 1— concave etc) et de ses propriétés algébriques.
y = (1/2)x
y = log2 x
y = 2x
1
2
0
1/2
1
2
1
1/2
0
1
y = log1/2 x
Remarque
Comme pour le logarithme népérien et l’exponentielle, on constate ici la symétrie entre les courbes de l’exponentielle en
base 2 et le logarithme en base 2 (et la même symétrie pour les fonctions en base 12 ).
3.5 Limites
Sur les courbes qui ont été représentées, on peut noter la présence de nombreuses asymptotes ; cela permet de retrouver les
limites vues dans un paragraphe précédent.
Proposition 3.5.14.
On a :
(i)
lim ln x = +∞ ;
x→+∞
(ii) lim ln x = −∞ ;
x→0+
(iii)
(iv)
lim e x = 0+ ;
x→−∞
lim e x = +∞ ;
x→+∞
(v)
(vi)
x
lim α =
x→−∞
lim αx =
x→+∞
(
0
si α > 1
+∞
(
+∞
si α < 1
si α > 1
0+
si α < 1
;
.
Démonstration — A faire.
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4 FONCTIONS PUISSANCES
Proposition 3.5.15 (croissances comparées et logarithme népérien).
Soit α > 0 et β > 0. Alors :
(i)
lnβ x
= 0+ ;
x→+∞ x α
(ii) lim x α |ln x|β = 0+ .
lim
x→0+
e βx
b
Remarque
Cette proposition n’est que la formulation mathématiques de « toutes puissances de x l’emporte sur le logarithme népérien
en 0 et en +∞ ».
Démonstration — A faire.
Proposition 3.5.16 (croissances comparées et exponentielle).
Soit α ∈ R et β > 0. Alors :
(i)
e βx
= +∞ ;
x→+∞ x α
lim
(ii)
lim |x|α e βx = 0+ .
x→−∞
e βx
b
Remarque
Cette proposition n’est que la formulation mathématiques de « l’exponentielle l’emporte sur toutes puissances de x à l’infini »
Démonstration — A faire.
Comme souvent, il est possible d’apprendre davantage d’égalité sur les limites de l’exponentielle ou du logarithme népérien comme par exemple :
ln(1 + x)
ln(x)
ex − 1
lim
= 1, lim
= 1 et lim
= 1.
x→0
x→1 x − 1
x→0
x
x
Toutefois, il semble préférable d’avoir le réflexe de voir en ces limites des taux d’accroissement plutôt que d’apprendre ces
égalités.
4 Fonctions puissances
Définition 4.0.7 (fonctions puissances).
Soit α un nombre réel quelconque. La fonction puissance d’exposant α est l’application définie par :
½ +,∗
R
x
−→
7−→
R+,∗
.
x = exp(α ln x)
α
Remarque
Lorsque α ∈ Q, on retrouve la définition classique des fonctions puissances.
Proposition 4.0.17 (prolongement des fonctions puissances).
Soit α un nombre réel.
(i) Si α > 0, la fonction x 7→ x α est prolongeable par continuité à l’origine en lui donnant la valeur 0.
(ii) Si α ∈ Z, la fonction x 7→ x α est prolongeable sur R∗ en posant :
α
(
∀x > 0, (−x) =
x α si α ≡ 0 mod 2
−x α sinon
.
En particulier, si α est pair, alors la fonction x 7→ x α est paire tandis que si α est impair, alors la fonction x 7→ x α est
impaire.
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Sommaire
Proposition 4.0.18.
Soit α et β deux nombres réels. Alors pour tout x, y ∈ R+,∗ , on a :
(i) x α+β = x α x β ;
(ii) x −α =
(iv) (x α )β = x αβ ;
xα
(iv) x α−β = β ;
x
µ ¶α
x
xα
(vi)
= α.
y
y
1
;
xα
(v) (x y)α = x α y α ;
Proposition 4.0.19.
Soit α un nombre réel.
(i) Si α 6= 0, la fonction x 7→ x α est une bijection de R+,∗ sur lui-même. Sa fonction réciproque est définie par :
x 7→ x 1/α .
(ii) La fonction x 7→ x α est strictement croissante si, et seulement si, α > 0 .
(iii) La fonction x 7→ x α est strictement décroissante si, et seulement si, α < 0.
(iv) Si β est un réel vérifiant α < β, alors :
(
x α > x β si 0 < x < 1
x α < x β si x > 1
.
On visualise tout cette dernière proposition sur les courbes suivantes.
α>1
α=1
0<α<1
α=0
1
α<0
0
Sommaire
1
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5 COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUES
5 Cosinus et sinus hyperboliques
5.1 Définitions et premières propriétés
Définition 5.1.8 (cosinus et sinus hyperboliques).
• Le cosinus hyperbolique, notée cosh ou ch, est la fonction définie sur R par :
cosh x =
e x + e −x
.
2
• Le sinus hyperbolique, notée sinh ou sh, est la fonction définie sur R par :
sinh x =
e x − e −x
.
2
Remarques
• Le nom de ces deux fonctions vient naturellement du ressemblances avec le cosinus et le sinus lorsque l’on utilise les
formules d’Euler.
• Ces deux fonctions sont prolongeables à C en utilisant l’exponentielle complexe.
Proposition 5.1.20.
• Le cosinus hyperbolique est une fonction paire de classe C
• Le sinus hyperbolique est une fonction impaire de classe C
∞
∞
sur R et l’on a cosh0 = sinh.
sur R et l’on a sinh0 = cosh.
Démonstration — A faire.
5.2 Courbes représentatives
Proposition 5.2.21.
• Le tableau de variation de la fonction cosinus hyperbolique est le suivant :
x
variations de cosh
−∞
+∞
0
&1%
+∞
+∞
En particulier, la fonction cosinus hyperbolique réalise une bijection de R+ dans [1, +∞[.
• Le tableau de variation de la fonction sinus hyperbolique est le suivant :
x
−∞
variations de sinh
−∞ %
0
0%
+∞
+∞
En particulier, la fonction sinus hyperbolique réalise une bijection de R dans R.
Démonstration — A faire.
Les résultats de cette dernière proposition peuvent être retrouvés avec les courbes des fonctions cosh et sinh.
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Sommaire
5.3 Propriétés algébriques
y = cosh x
1
0
1
y = sinh x
5.3 Propriétés algébriques
Proposition 5.3.22.
Soit t ∈ R. Alors :
(i) e t = cosh t + sinh t ;
(ii) e −t = cosh t − sinh t .
Démonstration — A faire.
Proposition 5.3.23.
2
2
Soit t ∈ R.
( Alors cosh t − sinh t = 1. Plus précisément, on a un paramétrage de l’arc d’hyperbole représenté ci2
2
x −y =1
dessous
puisque l’on a l’équivalence :
x ≥0
+
2
2
x ∈ R , y ∈ R, x − y = 1 ⇐⇒ ∃t ∈ R,
(
cosh t = x
sinh t = y
.
Démonstration — A faire.
H2
H1
1
0
Sommaire
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1
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