Chapitre II Arithmetique ( PDF

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Nombres entiers et rationnels
CHAPITRE II
1. Division euclidienne
Dividende
Diviseur
37 8
5 4
37  8  4  5
Reste
364 13
104 28
0
Quotient
364  13  8
Dividende = Quotient  Diviseur + Reste
2. Diviseurs d’un nombre
Comme le reste de la division de 364 par 13 est nul, on dit que 13 est un diviseur de 364.
25 a 3 diviseurs : 25 , 5 , 1
29 n’a pas de diviseurs autres que lui même et 1. On dit que 29 est un nombre premier.
3. Pour calculer à la main un PGCD
Tous les diviseurs de 60 sont :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Tous les diviseurs de 100 sont :
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Le Plus Grand des Diviseurs Communs est donc 20
Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20
4. Fractions irréductibles
On simplifie la fraction suivante :
on dit que
56 28 7


72 36 9
On ne peut plus simplifier
7
,
9
7
est une fraction irréductible
9
Une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux
Pour simplifier plus facilement, il faudrait savoir par quoi diviser le numérateur et le dénominateur, c’est à dire trouver le
plus grand diviseur commun : le PGCD
5. Nombres premiers
Définition : Un nombre est premier s’il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.
6.
Nombres premiers entre eux
Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Tous les diviseurs de 10 sont :
1, 2, 5, 10
On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux.
Tous les diviseurs de 7 sont :
1, 7
donc PGCD(10,7) = 1
2
7.
Algorithme d’Euclide ( calcul du PGCD de deux nombres entiers)
A Chaque étape,
Le diviseur devient le
Exemple avec le PGCD de 324 et 264
dividende et le reste
Présentation 1
devient le diviseur.
Etape 1
324
264
60 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
264 60
60 24
24 12
24 4
12 2
0 2
le PGCD est le dernier
reste non nul
A Chaque étape,
Présentation 2
Le nombre b (diviseur)
devient a ( dividende)
et le reste devient le b
Etapes
1
2
3
4
a
dividende
324
264
60
24
b
diviseur
264
60
24
12
Reste
le PGCD est le dernier
reste non nul
(diviseur).
60
24
12
0
Le PGCD 324 et 264 est 12
Des exemples page 13 du livre.
Avec la calculatrice Ex 46 page 18
Avec un ordinateur Ex 98 page 22
PGCD ( 324 ;264) = 12