Chapitre II Arithmetique ( PDF

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CHAPITRE II Nombres entiers et rationnels
1. Division euclidienne
37
8
54837 
364
13
813364 
5
4
104
0
28
Dividende = Quotient Diviseur + Reste
2. Diviseurs d’un nombre
Comme le reste de la division de 364 par 13 est nul, on dit que 13 est un diviseur de 364.
25 a 3 diviseurs : 25 , 5 , 1
29 n’a pas de diviseurs autres que lui même et 1. On dit que 29 est un nombre premier.
3. Pour calculer à la main un PGCD
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Le Plus Grand des Diviseurs Communs est donc 20
Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20
4. Fractions irréductibles
On simplifie la fraction suivante :
56 28 7
72 36 9
On ne peut plus simplifier
7
9
,
on dit que
9
7
est une fraction irréductible
Une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux
Pour simplifier plus facilement, il faudrait savoir par quoi diviser le numérateur et le dénominateur, c’est à dire trouver le
plus grand diviseur commun : le PGCD
5. Nombres premiers
Définition : Un nombre est premier s’il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.
6. Nombres premiers entre eux
Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Tous les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10 Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 7 donc PGCD(10,7) = 1
On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux.
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste

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7. Algorithme d’Euclide ( calcul du PGCD de deux nombres entiers)
Exemple avec le PGCD de 324 et 264
Présentation 1
Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4
324
264
264
60
60
24
24
12
60
1
24
4
12
2
0
2
Présentation 2
Etapes
a
dividende
b
diviseur
Reste
1
324
264
60
2
264
60
24
3
60
24
12
4
24
12
0
Le PGCD 324 et 264 est 12 PGCD ( 324 ;264) = 12
Des exemples page 13 du livre.
Avec la calculatrice Ex 46 page 18
Avec un ordinateur Ex 98 page 22
le PGCD est le dernier
reste non nul
le PGCD est le dernier
reste non nul
A Chaque étape,
Le diviseur devient le
dividende et le reste
devient le diviseur.
A Chaque étape,
Le nombre b (diviseur)
devient a ( dividende)
et le reste devient le b
(diviseur).