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Ann´ee universitaire 2016-2017
COURS DE MATH´ EMATIQUES
Modules M 1201 & M 1302
SEMESTRE 1
Auteur : Florent ARNAL
Adresse ´electronique : fl[e-mail]

Table des mati`eres
1INTEGRATIONETEQUATIONSDIFFERENTIELLES 1
I Int´egrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 1
II Lien Int´egration-Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 2
III Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 3
2GENERALITESSURLESFONCTIONS 5
I Propri´et´es graphiques des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 5
I.1 Domaine de d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 5
I.2 Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 5
I.3 Parit´e d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 6
II P´eriodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 7
III Translations de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 8
IV Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 9
IV.1 G´en´eralit´es sur les fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . ............ 9
IV.2 Formules de Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 10
V Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 13
V.1 La fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 13
V.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 13
3GENERALITESSURLESNOMBRESCOMPLEXES 15
I Forme alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 15
I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 15
I.2 Nombre complexe conjugu´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 15
II Nombres complexes et g´eom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 16
III Forme trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 16
III.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 16
III.2 Arguments d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 17
IV Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 18
IV.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 18
IV.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 19
IV.2.1 Lin´earisation de cosnxet sinnx........................... 19
IV.2.2 Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos xet sin x.......... 20
V Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 20
V.1 Racines carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 20
V.2 Equations du second degr´e du type az2+bz +c=0 (a̸=0) . . . . . . . . . . . . . . 22
V.3 Racines n-i`eme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V.3.1 Racines n-i`eme de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V.3.2 Racines n-i`eme d’un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4LIMITESDEFONCTIONS 25
I Rappel sur les limites `a droite et `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ 25
II Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 25
III Th´eor`emes g´en´eraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ 26
III.1 Limite d’une somme de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 26
III.2 Limite d’un produit de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 26
III.3 Limite de l’inverse d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 26
III.4 Limite d’un quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 26
III.5 Limite de la compos´ee de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 27
IV Th´eor`emes de comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 27
V Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 28
VI Croissances compar´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . ................ 28
2

TABLE DES MATI ` ERES 3
5D
´
ERIVATION ET CONTINUIT´ E31
I Fonction d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 31
I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 31
I.2 D´eriv´eees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 31
I.3 D´eriv´ees et limites usuelles en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 32
I.4 Op´erations sur les fonctions d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ 32
II Applications de la d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 33
II.1 Sens de variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 33
II.2 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 33
II.3 Plan d’´etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 33
II.4 Application de la d´erivation aux calculs d’incertitude (diff´erentielle) . . . . . . . . . . . 34
III Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 35
III.1 Continuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 35
III.2 Fonction continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 35
III.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 35
III.4 Prolongement par continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 35
IV Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ 36
IV.1 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ 36
6APPLICATIONSDESNOMBRESCOMPLEXES 39
I Factorisation de polynˆomes `a coefficients r´eels . . . . . . . . . . . . ............... 39
I.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
I.2 Racine, multiplicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 39
II Transformations du plan et ´equations de cercles . . . . . . . . . . . ............... 40
II.1 Equation de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 40
II.2 Ecriture complexe d’une transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 41
II.3 Etude de l’inversion (complexe de centre Oet de rapport 1) . . . . . . . . . . . . . . . 42
III Application aux circuits fonctionnant en r´egime permanent
sinuso¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 43
III.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 43
III.2 Imp´edance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 43
III.2.1 Cas d’une r´esistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 43
III.2.2 Cas d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
III.2.3 Cas d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 44
7FONCTIONSRECIPROQUES 45
I G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 45
II Fonctions r´eciproques des fonctions trigonom´etriques . . . . .................... 46
II.1 Fonction r´eciproque de la fonction cos : arccos . . . . . . . . . . . ............ 46
II.2 Fonction r´eciproque de la fonction sin : arcsin . . . . . . . . . . . . . .......... 48
II.3 Fonction r´eciproque de la fonction tan : arctan . . . . . . . . . . . ............ 49
8D
´
ECOMPOSITION EN ´ EL´ EMENTS SIMPLES 51
I G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 51
II D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 51
9CALCULINT
´
EGRAL 55
I Primitives (Rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 55
II Int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 56
II.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 56
II.2 Utilisation de l’int´egrale en GEII : Valeurs moyenne et efficace . . . ........... 57
III Calculs d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 58
III.1 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 58
III.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 59
III.3 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 60
III.3.1 Recherche des primitives de x"→ 1
(x2+1)
n..................... 60
III.3.2 Cas de certaines fonctions trigonom´etriques (voir TD) . . . ............ 61

Chapitre 1
INTEGRATION ET EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
Introduction
La notion d’int´egration est essentielle en physique et la r´esolution d’´equations diff´erentielles du premier ordre
est fondamentale, notamment en ´electronique.
Dans cette partie, nous nous contenterons de rappeler (ou pr´eciser) certaines notions indispensables `a la bonne
compr´ehension de notions abord´ees tr`es rapidement dans d’autres disciplines. En math´ematiques, ces notions
seront approfondies ult´erieurement.
IInt´egralesdeRiemann
D´ efinition 1 : On appelle subdivision de l’intervalle [a;b] une famille finie σ={x0;x1;x2...;xn}telle
que : x0=a<x
1<x 2<...<x n=b.
Exemple 1
•σ1={0; 0,5; 1}et σ2={0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1}sont des subdivisions de [0; 1].
•σ=!a;a+b−a
n;a+2b−a n;...;b"est une subdivision de [a;b].
D´ efinition 2 : (Sommes de Riemann)
Soit fune fonction continue sur [a;b].
On consid`ere un entier nnon nul et la subdivision σ={x0;x1;x2...;xn}avec xk=a+kb−a
n.
La somme de Riemann (la plus commun´ement rencontr´ee) associ´ee `a f,not´eeSn(f) est d´efinie par :
Sn(f)= b−a
n
n
#
k=1
f$a+kb−a
n%=
n
#
k=1
(xk−xk−1)f(xk).
Remarque 1 : Ces sommes de Riemann sont utilis´ees dans la m´ethode des rectangles pour le calcul approch´e
des int´egrales.
Th´eor`eme-D´efinition 1 :On dit qu’une fonction fest int´egrable (au sens de Riemann) sur [a;b]si
lim
n→+∞Snexiste et est finie.
Toute fonction fcontinue sur [a;b] est int´egrable et son int´egrale, not´ee &b
a
f(x)dx, est d´efinie par :
&b
a
f(x)dx= lim
n→+∞Sn.
1

2CHAPITRE 1. INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Figure 1.1 – Lien entre aire de rectangles et int´egrale
Remarque 2 : Interpr´etation physique pour les fonctions positives
Consid´erons que la largeur de chaque rectangle est tr`es petite (∆xdevient dx). L’aire d’un rectangle est
assimilable `a f(x)dx. L’aire de la partie situ´ee entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites verticales
d’´equations x=aet x=best ´egale `a la somme des aires de tous les rectangles.
Pour obtenir une valeur exacte, on consid`ere qu’il y a une infinit´e de rectangles et que leur largeur dx est
infiniment petite.
&b
a
f(x)dxva additionner toutes ces aires pour donner l’aire totale.
II Lien Int´egration-Primitive
Th´eor`eme 1 :Th´eor`eme Fondamental de l’Analyse (Leibniz-Newton)
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a;b].
•La fonction F:x"→ &x
a
f(t)dtest l’unique primitive de fqui s’annule en a.
•Pour toute primitive Gde f,ona:&b
a
f(x)dx =[G(x)]b
a=G(b)−G(a).
De fa¸con plus g´en´erale, une primitive de fse note parfois : &f(x)dx.
De mˆeme, la d´eriv´ee de fpeut ˆetre d´efinie ainsi : f′(x)= df(x)
dxvoire f′=df dx.
Pour une fonction fde la variable x,onadonc: df=f′dx.
Exercice 1.1 Consid´erons la fonction f:(x, t)"→ 2x+3t.Ona:
df
dx=··· ;df dt=··· et df dy=···.
Exercice 1.2 Recherche de primitives
&dx=··· ;&xdx=··· ;&3Cdy=··· et &dy
y=··· sur ]0; +∞[.
Exercice 1.3 D´etermination de diff´erentielles
•Si y:x"→ x2alors dy=······
•Si yest constante alors dy=······.