ECE2 – Concours blanc n°1 Mathématiques Mercredi 30 Novembre

ECE2 – Concours blanc n°1
Mathématiques
Mercredi 30 Novembre 2016
Documents et calculatrices sont interdits
Exercice 1 – d'après EDHEC 2016
On désigne par I la matrice identité de M3(IR).
 3 -1 1 
On considère la matrice A =  2 0 2 .
 1 -1 3 
On note B = (e1, e2, e3) la base canonique de M3,1(IR).
1. Calculer A2 – 4A.
2. La matrice A est-elle inversible ? Déterminer A-1 en fonction de I et de A.
3. Soit F = { X  M3,1(IR) / AX = 2X }
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M3,1(IR).
b) Résoudre l'équation AX = 2X d'inconnue X  M3,1(IR), puis en déduire une base (u1, u2)
de F.
c) On pose u3 = e1 + e2 + e3. Montrer que la famille (u1, u2, u3) est une base de M3,1(IR).
On admet dans la suite qu'il existe une matrice P inversible telle que : A = PTP-1, avec
2 0 1
T =  0 2 2 .
0 0 2
4. a) En écrivant T = 2I + N , déterminer, pour tout entier naturel n, la matrice Tn comme
combinaison linéaire de I et N , puis de I et T.
b) Expliquer pourquoi l’on a :
 n  IN, An = n2n-1A – (n – 1)2nI
c) Vérifier que la formule trouvée à la question 4. b) reste valable pour n = -1.
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Exercice 2 – EML 2016
On considère l’application f : [0; +∞[  IR définie, pour tout t de [0; +∞[, par :
2
 t − t ln(t) si t  0

f(t) = 0 si t = 0

On admet : 0,69 < ln(2) < 0,70.
Partie I : Étude de la fonction f
1. Montrer que f est continue sur [0; +∞[.
2. Justifier que f est classe C2 sur ]0; +∞[ et calculer, pour tout t de ]0; +∞[, f ′(t) et f′′(t).
3. Dresser le tableau de variations de f. On précisera la limite de f en +∞.

 

4. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j ).
a) Montrer que C admet une tangente en O et préciser celle-ci.
b) Montrer que C admet un point d’inflexion et un seul, noté I, et préciser les coordonnées de
I.
c) Tracer l’allure de C.
5. Montrer que l’équation f(t) = 1, d’inconnue t ∈ [0; +∞[, admet une solution et une seule et
que celle-ci est égale à 1.
Partie II : Étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un)nIN définie par : u0 =
1
et n  IN, un+1 = f(un).
2
1
6. Montrer : ∀n IN, un   , 1.
2 
7. Montrer que la suite (un)nIN est croissante.
8. En déduire que la suite (un)nIN converge et déterminer sa limite. (On pourra
étudier les variations de la fonction t  t − ln(t).)
9. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel N tel
que 1 − uN < 10−4.

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Exercice 3 – EDHEC 2016
On admet dans cet exercice que si x désigne un réel élément de [0;1[,
+ k
x
 k = - ln(1 – x).
k=1
Partie I : Questions préliminaires
1. Soit m un entier naturel fixé. A l’aide de la formule du triangle de Pascal, établir l’égalité :
q
 q  m, 
(km) = (q+1
m+1)
k=m
2. Soit n un entier naturel non nul.
On considère une suite (Xn)n IN* de variables aléatoires, mutuellement indépendantes (c'est-àdire deux à deux indépendantes). On admet que dans ce cas, si n  IN, et si f est une fonction
de IRn dans IR, alors les variables aléatoires f(X1, …, Xn) et Xn+1 sont indépendantes.
On considère que les variables aléatoires (Xn)n IN* suivent toutes la loi géométrique de
n
paramètre x  [0;1[, et on pose Sn =  Xk.
k=1
(a) Déterminer Sn() puis établir que, pour tout entier k supérieur ou égal à n + 1, on a :
k-1
P(Sn+1 = k) =  P((Sn = j)  (Xn+1 = k – j))
j=n
(b) En déduire, par récurrence sur n, que la loi de Sn est donnée par :
 k  [[n; + [[, P(Sn = k) =
(k-1
n-1)x (1 – x)
n
k-n
(c) En déduire, pour tout x de ]0; 1[ et pour tout entier naturel n non nul :
+  k-1
 n-1
k=n
( )(1 – x)
k-n
=
1
.
xn
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Partie II : étude d’une variable aléatoire.
Dans cette partie, on désigne par p un réel de ]0; 1[ et on pose q = 1 – p.
qk
On considère la suite (uk)k  IN*, définie par :  k  IN*, uk = k ln p
1. (a) Vérifier que la suite (uk)k  IN* est à termes positifs.
+
(b) Montrer, en utilisant le résultat donné dans l'énoncé que  uk = 1.
k=1
On considère dorénavant une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par :
 k  IN*, P(X = k) = uk.
2. (a) Montrer que X possède une espérance et la déterminer.
- q(q + ln p)
(b) Montrer également que X possède une variance et vérifier que : V (X) =
.
(p ln p)2
3. Soit k un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire Y dont la loi,
conditionnellement à l’évènement (X = k), est la loi binomiale de paramètres k et p.
(a) Montrer que Y() = IN puis utiliser la formule des probabilités totales, pour montrer que :
ln(1 + q)
P(Y = 0) = 1 +
ln p
k
k-1
(
n) (n - 1)
(b) Après avoir montré que , pour tout couple (k, n) de IN*  IN*, on a :
=
, établir
k
n
que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
P(Y = n) = -
pnqn + 

n ln p k=n
(kn -- 11)(q )
2 k-n
.
En déduire grâce à la question 2) de la première partie, l’égalité :
qn
P(Y = n) = n (1 + q)n ln p
+
(c) Vérifier que l’on a  P(Y = k) = 1.
k=0
(d) Montrer que Y possède une espérance et donner son expression en fonction de ln p et q.
(e) Montrer aussi que Y possède une variance et que l’on a :
q(q + (1 + q)ln p)
V(Y) = (ln p)2
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