énoncé

TD 1 : ENERGIE
Ex 1 Un sauteur à l’élastique saute du haut d’un pont de
m50
. Il pèse
kg60
. L’élastique fait
m15
de long et
a une constante de raideur
1
60  Nmk
. Un élastique casse quand il s’étend de plus de 5 fois sa longueur.
a/ L’élastique est-il adapté ?
b/ A quelle hauteur du sol va-t-il commencer à remonter ?
c/ Si on néglige les frottements et la perte d’énergie de l’élastique, à quelle hauteur le sauteur remonte-t-il ?
d/ Que se passerait-il avec un élastique de
m4
.
e/ On ajoute
m5
à l’élastique. A quelle vitesse le sauteur touche-t-il le sol ?
Ex 2 Une masse attachée à un ressort peut se déplacer sur un axe
Ox
. La force exercée par le ressort est de
la forme
x
ukxF
.
x
étant l’allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide.
a/ Déterminer le travail effectué par le ressort lorsque la masse se déplace d’une position telle que
1
xx 
à la
position telle que
2
xx 
.
b/ Pourquoi peut-on associer une énergie potentielle au ressort ? Déterminer son expression.
c/ Le ressort est maintenu en position verticale. De quelle quantité
0
x
doit-on le comprimer afin de propulser
la masse
m
verticalement d’une hauteur
H
. Avec quelle vitesse initiale
0
V
la masse va-t-elle quitter le
ressort ?
Ex 3 Le pendule asymétrique
Un pendule de longueur l et de masse m est
lâché sans vitesse initiale d’un angle
0 avec
la verticale.
Calculer l’angle atteint par m à gauche de
l’obstacle de longueur l0.
Ex 4
Une particule matérielle glisse sans frottements dans une gouttière terminée par une boucle circulaire de
rayon
R
. On souhaite déterminer la valeur minimale de l’altitude initiale pour que la particule, abandonnée
en
A
, sans vitesse initiale, reste en contact avec la gouttière tout au long du trajet.
a/ En appliquant le principe fondamental de
la dynamique, déterminer l’expression de la
réaction du support.
b/ en appliquant le théorème de l’énergie
cinétique entre
A
et
M
, déterminer
l’expression de la vitesse en
M
.
c/ En déduire une condition sur la hauteur
H
, pour que la particule ne décolle pas de la
gouttière.
A
B
S
0
M
l
l0
0

Ex 5
La section AB forme le quadrant d’un cercle dont le rayon mesure 2 m ; sa surface est parfaitement lisse. La
section entre B et C a une longueur de 3 m, elle est caractérisée par un coefficient de frottement cinétique k
= 0.25. Dans la section CD, sous le ressort le frottement est négligeable. Un bloc d’une masse de 1 Kg
commence à se déplacer en A. Après avoir glissé le long de la piste, il comprime un ressort de 0.2 m.
Determiner:
1) sa vitesse au point B,
2) le travail effectué sur lui lorsqu’il
passe du point B au point C,
3) sa vitesse au point C,
4) la constante de rappel k du ressort.
Ex 6 Mouvement circulaire
Un corps de masse m est attaché à la tige rigide de longueur l. L’autre extrémité est attachée à un plan
incliné de 30° avec l’horizontale (figure).
Calculer la perte d’énergie cinétique lorsque le corps passe de A à B.
a) sans frottements
b) un coefficient de frottement dynamique
d.
c) Quelle est la vitesse initiale minimale
qu’il faudrait donner au corps pour qu’il
atteigne le point B.
Ex 7 Les équations en coordonnées polaires d’une hélice rigide d’axe vertical
Oz
sont :
ar 
et
hz 
.
Un petit anneau enfilé sur l’hélice est abandonné sans vitesse initiale au point d’altitude
hH 2
. On
assimile cet anneau à une particule matérielle mobile sans frottement le long de l’hélice.
Déterminer à l’aide du théorème de l’énergie cinétique, le temps que met l’anneau pour atteindre le plan
horizontal
0z
.
Ex 8 On considère une molécule d’iodure d’hydrogène
HI
. Il est possible d’associer à ce système une
énergie potentielle
p
E
due à l’interaction entre l’atome d’hydrogène et l’atome d’iode. En assimilant les
deux atomes à des masses ponctuelles distantes de
r
, une forme possible pour
p
E
est donnée par
l’expression :
r
k
r
C
Ep 9
.
C
et
k
étant des constantes positives.
a/ Donner l’allure de
p
E
en fonction de
r
.
b/ Déterminer la position d’équilibre et étudier sa stabilité.
c/ Déterminer l’expression de l’énergie de dissociation de la molécule (travail qu’il faut fournir pour
éloigner les deux atomes de la distance à l’équilibre à l’infini.
D
r = 2 m
m = 1 Kg
A
B
C
A
B

Exercice III
Un mobile M de masse m se déplace en ligne droite sur un plan horizontal à une vitesse constante
0
v
. Il
subit une force de frottement
r
F
de norme constante, parallèle et opposée au mouvement. Le moteur du
mobile fournit une puissance instantanée P constante ;
1) a) Déterminer la norme de la force motrice
m
F
(considérée parallèle au déplacement).
b) Présenter les forces qui s’exercent sur le mobile sur un schéma. Montrer que la norme de la force de
frottement est égale à la norme de la force motrice :
mr FF  
.
2) A l’instant t = 0 le mobile aborde au point A une descente rectiligne faisant un angle  avec
l’horizontale. La puissance fournie par le moteur et la norme de la force de frottement
m
F
restent
inchangées.
a) Donner l’accélération prise par le mobile dans la descente.
b) Donner la norme de la vitesse du mobile en fonction de la distance x au point A.
c) Donner la valeur de la norme de vB lorsque le mobile arrive en B à la distance l de A.
3) A partir de B, la trajectoire du mobile M devient une portion de cercle de centre O et de rayon R et dont
la tangente en B est colinéaire à AB.
Soit C le point le plus bas de la trajectoire située à la verticale de O. On a donc
 OCOB,
. Le mobile
est repéré par l’angle
OMOB,
.
Soit
t
u
et
n
u
les vecteurs unitaires du repère local. La puissance du moteur et la norme de la force de
frottement
r
F
sont les mêmes que précédemment.
a) Donner les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère local et faire un schéma
du mobile avec les forces appliquées.
b) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer la norme de la vitesse de M en un
point quelconque du cercle sachant que la norme de la vitesse au point B est
M
O
A
B
C
D
E

sin2
2
0glvvB
. Donner également les valeurs de
C
v
et
D
v
. (tel que
0,  ODOC
.
c) Ecrire l’équation du principe fondamentale de la dynamique de M en utilisant la base locale. A
l’aide de la vitesse trouvée précédemment exprimer la norme de la réaction normale
N
.
Calculer
max auquel le mobile M peut aller
OEOB,
max
.
4) La trajectoire du mobile devient à partir du point D une montée rectiligne dans le prolongement de la
tangente au cercle au point D. Cette montée fait un angle avec l’horizontale.
La puissance fournie par le moteur et la norme de la force de frottement sont les mêmes que précédemment.
a) Calculer la vitesse du mobile M en fonction de sa distance x au point D. Quelle distance parcourt-
il avant de s’arrêter ?
b) Quelle puissance le moteur devrait-il fournir pour que le mobile conserve dans la montée une
vitesse constante ?
O
A
B
C
D