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Quelques notions de base
1. Mesure des angles
On peut mesurer les angles en degrés, en grades, en tours ou en radians, la conversion se
faisant selon le barème suivant :
360 degrés = 400 grades = 1 tour = 2π radians.
Le radian vient naturellement lorsqu'on considère que la longueur d'un arc de cercle est
proportionnelle à l'angle au centre qui le sous-tend : si l'angle au centre a une mesure
ϑ
, selon
l'unité choisie, on trouvera pour la longueur de l'arc sous-tendu (le rayon étant de longueur
R) :
2
360
2
400
2
L R
L R
L R
L R
ϑ
π
ϑ
π
π ϑ
ϑ
=
=
=
=
La dernière expression étant manifestement la plus condensée / la plus simple. De cette
définition, il résulte qu'un angle au centre d'un radian sous-tend un arc de longueur R, soit un
peu moins du sixième de la circonférence ; il correspond donc à un peu moins de 60°, plus
exactement 57° 17' 44".
Voici la table de conversion pour quelques angles courants :
30° π / 6 45° π / 4
60° π / 3 90° π / 2
120° 2π / 3 135° 3π / 4
150° 5π / 6 180° π
210° 7π / 6 225° 5π / 4
240° 4π / 3 270° 3π / 2
300° 5π / 3 315° 7π / 4
330° 11π / 6 360° 2π
La plupart des calculatrices, y compris celle figurant dans les programmes accessoires de
Windows, permettent de choisir l'unité employée pour exprimer les angles. Le tableur Excel
fonctionne aussi en radians.
Si on exprime les fonctions trigonométriques par un développement en série du type :
( ) ( )
( ) ( )
3 5 7 2 1
0
2 4 6 2
0
sin 1
3! 5! 7! 2 1 !
cos 1 1
2! 4! 6! 2 !
n
n
n
n
n
n
n
n
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ
+
∞
=
∞
=
= − + − + = −
+
= − + − + = −
∑
∑
…
…
l'expression ainsi écrite ne vaut que si l'angle est exprimé en radians.
Finalement, on peut encore relever que, tout comme les expressions x
2
et x
3
qui désignent au
départ respectivement l'aire d'un carré de côté x et le volume d'un cube d'arête x peuvent être
calculées hors de ce contexte, rien ne s'oppose à calculer le sinus ou le cosinus d'un nombre

quelconque. Ces fonctions sont omniprésentes dans la description de phénomènes oscillatoires
ou ondulatoires.
2. Dérivées
On ne donnera ici que des indications pratiques, sans démonstration.
2.1. Qu'est-ce que c'est ?
La dérivée d'une fonction f(x) est donnée par :
(
)
(
)
0 0
lim lim
x déf x
f x x f x
df f
dx x x
δ δ
δ
δ
δ δ
→ →
+ −
=
=
On peut écrire indifféremment
df
dx
ou
d
f
dx
, le choix s'effectuant le plus souvent sur des
critères de clarté typographique.
Par exemple, si f ( x ) = x
3
:
(
)
( ) ( )
3
2 2 3
33 2 2 3
2 2
2
0
3 3
3 3
3 3
3
lim
x
f x x
f x x x x x
f x x x x x x x x x x
fx x x x
xfx
x
δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δδ δ
δδδ
→
=⇒= + +
+ = + = + + + 
= + +
=
Il résulte de cette définition que la dérivée d'une fonction constante est nulle.
2.2. Quelques dérivées typiques
1
1
sin cos ln
cos sin
m m x x
d d
x mx e e
dx dx
d d
x x x
dx dx x
dx x
dx
−
= =
= =
= −
L'expression donnée pour les dérivées de fonctions trigonométriques ne vaut que lorsque leur
argument est exprimé en radians.
Lorsqu'une fonction résulte de la somme de plusieurs fonctions, sa dérivée est la somme des
dérivées de chaque terme :
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2
dF x df x df x
F x f x f x
dx dx dx
= + ⇒= +
Pour les produits et les quotients, c'est un peu plus compliqué. On a :
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
1 2
1 2 2 1
dF x df x df x
F x f x f x f x f x
dx dx dx
=⇒= +
et :

( ) ( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
1 2
2 1
12
22
df x df x
f x f x
f x dF x
dx dx
F x f x dx f x
−
=⇒= 
On peut considérer un exemple pour lequel la vérification est aisée. Si on prend :
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
7
1 2
5
2
f x x
F x f x f x x
f x x
=
⇒= =
=
on peut calculer directement :
(
)
7
6
7
dF x dx
x
dx dx
= =
on peut aussi calculer :
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
5 2 4
2
1
1 2
6 6 6
2 1
5
2425
2
2 5 7
5
x x
xx
df x dx xdF x df x df x
dx dx
f x f x x x x
dx dx dx
df x dx x
dx dx
= = 
⇒= + = + =
= = 
et vérifier la cohérence des deux modes de calcul.
On vérifie à partir de ce qui précède que si C est une constante et F(x) = C f(x), alors
(
)
( )
(
)
(
)
0
dF x df x df x
dC f x C C
dx dx dx dx
= + =
Un dernier cas est à considérer, celui où une fonction résulte de l'application successive de
deux fonctions :
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
u g x
dF x df u dg x
F x f g x
dx du dx
=
=⇒=
Exemple :
( )
2
x
F x e
−
=
qui correspond à :
(
)
( )
2
x
f x e
g x x
=
= −
L'application de la recette donnée ci-dessus conduit à :
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2
uu x
u g x
u g x
u g x
x x
df u de e e
du du dF x
e x xe
dx
d x
dg x x
dx dx
−
=
=
=
− −
= = = 
⇒= − = −
−
= = − 

On peut éventuellement dériver à nouveau la dérivée d'une fonction, et répéter l'opération
(pourvu que ce soit possible, toutes les fonctions ne sont pas dérivables). On notera dans ce
cas :
( )
( )
( )
n
n
n fois
d d d d d
f x f x
dx dx dx dx dx
  =
⋯
et on parlera de la dérivée énième de f ou encore de sa dérivée d'ordre n .
2.3. À quoi cela sert-il ?
Relevons que pour une fonction croissante, les variations δx et δf sont toujours de même signe
et ont donc un quotient positif, alors que pour une fonction décroissante, ces variations sont
toujours de signes opposés et ont donc un quotient négatif. Le signe du quotient est conservé
lors du passage à la limite. On déduit de ceci que le signe de la dérivée d'une fonction indique
si elle est croissante ou décroissante.
Par exemple, la dérivée de x
2
vaut 2 x et est positive lorsque x est positif, négative lorsque x est
négatif, ce qui correspond bien au fait que x
2
croît pour les valeurs positives de x et décroit
pour les valeurs négatives.
L'annulation de la dérivée correspond à un point stationnaire, qui peut être :
• un minimum, c'est le cas de la fonction x
2
;
• un maximum, c'est le cas de la fonction – x
2
;
• un point d'inflexion horizontale, c'est le cas de la fonction x
3
.
Lorsqu'on identifie un zéro de la dérivée d'une fonction, il faut donc encore en départager les
trois interprétations possibles.
Dans une première approche, on peut considérer les valeurs que prend la dérivée au voisinage
de son point d'annulation. Pour les exemples ci-dessus on voit que :
• la dérivée de x
2
vaut 2 x et est négative pour x < 0 et positive pour x > 0 ;
• la dérivée de – x
2
vaut –2 x et est positive pour x < 0 et négative pour x > 0 ;
• la dérivée de x
3
vaut x
2
et est positive tant pour x < 0 que pour x > 0.
On en déduit que :
• la succession – 0 + indique un minimum ;
• la succession + 0 – indique un maximum ;
• la succession + 0 + (ou – 0 –) indique un point d'inflexion horizontale d'une fonction
croissante (décroissante).
Une autre approche consiste à calculer la valeur de la dérivée seconde au point considéré.
Pour nos trois exemples, la dérivée seconde vaut, pour x = 0,
• 2 et est donc positive ;
• –2 et est donc négative ;
• 2 x et est donc nulle pour x = 0.
On déduit donc qu'un point stationnaire (une valeur de la variable pour laquelle la dérivée
première s'annule) est un minimum lorsque la valeur de la dérivée seconde, calculée en ce
point est positive, un maximum si elle est négative et un point d'inflexion horizontale si elle
est nulle. Cette première conclusion mène cependant à un résultat erroné si on considère la
fonction
x
4
, qui a un minimum en 0 et dont les deux premières dérivées s'annulent en ce point.

La règle est que la nature d'un point stationnaire dépend de l'ordre de la première dérivée non
nulle en ce point. Si la première dérivée non nulle est d'ordre
• pair et si sa valeur est positive, on est en présence d'un minimum ;
• pair et si sa valeur est négative, on est en présence d'un maximum ;
• impair et si sa valeur est positive, on est en présence d'un point d'inflexion horizontale
d'une fonction croissante ;
• impair et si sa valeur est négative, on est en présence d'un point d'inflexion horizontale
d'une fonction décroissante.
On peut, à titre d'exercice, vérifier l'exactitude de la méthode pour des fonctions de type x
m
.
Attention, cette méthode ne permet pas de trouver les extrema si ceux-ci se situent à la
frontière de l'ensemble de définition de la fonction. Ainsi la fonction f ( x ) = x , définie sur
l'intervalle [0,1] atteint son maximum pour x = 1 et son minimum pour x = 0, sans qu'aucun de
ces points ne soit un point d'annulation de sa dérivée.
3. Fonctions de plusieurs variables
Si une fonction dépend de plusieurs variables, x
1
, x
2
… x
i
… x
n
, on appelle dérivée partielle par
rapport à la variable x
i
la fonction obtenue comme suit :
(
)
(
)
1 1
0
, , , , , , , ,
lim
i
i i n i n
x
i i
f x x x x f x x x
f
x x
δ
δδ
→
+ −
∂=
∂
… … … …
La notation à l'aide d'un d rond ( ∂ ) permet d'attirer l'attention sur le fait que la fonction dépend
d'autres variables en sus de celle par rapport à laquelle on dérive.
3.1. Points stationaires
Les points stationnaires d'une fonction de plusieurs variables sont ceux où toutes les dérivées
partielles s'annulent.
Pour être complet, signalons encore sans entrer dans les détails que la nature du point
stationnaire est en général déterminée par l'étude de la matrice des dérivées secondes (matrice
hessienne), c'est-à-dire du tableau carré dont les éléments sont donnés par :
2
,i j
i j
f
h
x x
∂
=
∂ ∂
3.2. Différentielle
Pour exprimer que f
i
( x
1
,…, x
n
) ( i = 1,…, n ) est la dérivée par rapport à x
i
d'une fonction
F ( x
1
,…, x
n
) on note :
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
n
i i n n i i
i
dF f x dx f x dx f x dx f x dx
=
= + + + + = ∑ … …
où x représente ( x
1
,…, x
n
).
Donc, si on rencontre dans le cours de thermodynamique une expression telle que
v
dU nc dT pdv
= −
ɶ
cela signifie