notes de cours - Département de physique

MÉCANIQUE QUANTIQUE II
PHQ430
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
21 août 2016

2

Table des matières
Table des matières 3
1 Rappels et principes de base 9
A Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.1 État d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2 Grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.4 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B Observables compatibles, ECOC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.1 Ensemble complet d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.2 Compatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
C Observables incompatibles et relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.1 Incompatibilité des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.2 Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D Mouvement d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D.2 Moment conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D.3 Particule dans un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E Systèmes composés : produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
E.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
E.2 Produit tensoriel d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
F Principe variationnel de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 L’oscillateur harmonique 37
A États propres de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.1 Opérateurs d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.2 États propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.3 Opérateurs position et impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.4 Fonctions d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B Mouvement dans un champ magnétique: niveaux de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C Le champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C.1 Modes électromagnétiques dans une cavité simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C.2 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
D États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
D.1 Superposition d’états stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
D.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Théorie du moment cinétique 59
A Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B Quantification du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3

4 TABLE DES MATIÈRES
B.1 États propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.2 Matrices du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
C Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
C.1 Moment cinétique orbital en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . 64
C.2 Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
D Moment cinétique et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
D.1 Rotations en tant que transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
D.2 Rotations infinitésimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
D.3 Rotations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
D.4 Rotations d’une observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
D.5 Invariance par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
E Niveaux de rotation des molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
E.1 Le rotor quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
E.2 Le rigide quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Systèmes à deux niveaux 85
A Spin 1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.1 Moment cinétique intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.3 Expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.1 Sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.2 Correspondance avec le spin 1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.3 Rotation d’un spineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.4 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
C Résonance magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.1 Précession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.2 Champ transverse et oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.3 Résonance magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
D Autres systèmes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D.1 Restriction aux deux niveaux les plus bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
E Interaction lumière-matière: modèle de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Potentiel central et atome d’hydrogène 109
A Problème à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B Mouvement d’une particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
C Problème de Kepler: atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.1 Solution de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.2 Quantification de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
C.3 Description des états propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C.4 Raies spectrales de l’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
C.5 Échelles caractéristiques et atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
D L’oscillateur harmonique tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Théorie des perturbations 127
A Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

TABLE DES MATIÈRES 5
A.1 Approximation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2 Approximation du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3 Cas d’un niveau dégénéré au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.1 Effet Stark dans l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.2 Force de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C Perturbations dépendant du temps et spectres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.1 Série de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C.2 Approximation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C.3 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C.4 Processus de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C.5 Absorption et émission stimulée de rayonnement par un atome . . . . . . . . . 143
7 Particules identiques 149
A Particules indiscernables en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.1 Rappels sur les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.2 Opérateur de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3 Fermions et bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B Fonctions d’ondes à plusieurs fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.1 Déterminants de Slater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.2 Fermions sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
B.4 Principe d’exclusion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C Atomes à plusieurs électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.2 Couches électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C.3 Addition des moments cinétiques, termes spectroscopiques et règles de Hund 163
8 Mesure et environnement 173
A Matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.1 Motivation: système comportant deux spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.4 Trace sur un sous-système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.5 Théorème de Gleason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
A.6 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
A.7 Enchevêtrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B Le processus de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.1 Évolution temporelle de la matrice densité: systèmes découplés . . . . . . . . . . 181
B.2 Évolution non unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.3 Décohérence et réduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C Paradoxes de la réalité quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.1 Paradoxe d’Einstein-Podolsky-Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.2 Le paradoxe de Greenberger-Horne-Zeilinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
C.3 Inégalité de Clauser-Horne-Shimony-Holt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
C.4 Confirmations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190