Feuille d`exercices : Énergie et ondes électromagnétiques

Feuille d'exercices : Énergie et ondes électromagnétiques
P Colin
23 mars 2017
Formulaire d'analyse vectorielle
coordonnées cylindro-polaires :
∂f
1 ∂f
∂f
−−→
gradf =
u~r +
u~θ +
u~z
∂r
r ∂θ
∂z
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
divA
r ∂r
r ∂θ
∂z
∂Aθ
∂Ar
∂Az
1 ∂
∂Ar
1 ∂Az
−→ ~
−
u~r +
−
u~θ +
(rAθ ) −
u~z
rot(A) =
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
1 ∂
∂f
1 ∂2f
∂2f
∆f =
r
+ 2 2 + 2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
Coordonnées sphériques :
∂f
1 ∂f
1 ∂f
−−→
gradf =
u~r +
u~θ +
u~ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aϕ
(r Ar ) +
(sin θAθ ) +
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂
∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂
1 ∂
∂Ar
−→ ~
rot(A) =
(sin θAϕ ) −
u~r +
−
(rAϕ ) u~θ +
(rAθ ) −
u~ϕ
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r ∂r
∂θ
∂f
1
∂
∂f
1
∂2f
1 ∂
∆f = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
~=
divA
1
1 Puissance transportée par un câble coaxial en régime continu
Un câble coaxial d'axe Oz est constitué de deux cylindres métalliques d'épaisseur négligeable, de rayons respectifs a et b, de résistances négligeables. Ils sont parcourus par le
même courant continu d'intensité I dans le sens de Oz pour le cylindre intérieur et dans
l'autre pour l'extérieur.
1. Calculer, en coordonnées cylindriques, le champ magnétique entre les cylindres.
La diérence de potentiel entre les cylindres est U et concomitamment le cylindre
intérieur porte une densité surfacique uniforme de charges σ .
2. Calculer, en coordonnées cylindriques, le champ électrique entre les cylindres en fonction, entre autres, de σ , puis U en fonction de σ ; Éliminer σ pour exprimer le champ
électrique en fonction de U , de r (a < r < b) et des constantes du problème.
3. Calculer le vecteur de Poynting entre les cylindres puis son ux à travers une couronne
d'axe Oz et de rayons a et b. Commenter.
2 Bilan énergétique et eet Joule
L'espace compris entre deux sphères métalliques minces concentriques est occupé par
un gaz isolant pour les instants t < 0 et conducteur, de conductivité uniforme γ , pour les
instants t > 0 1 . Pour t < 0, la sphère intérieure, de rayon R1 , porte une charge électrique
Q0 uniformément répartie à sa surface, la sphère extérieure, de rayon R2 > R1 , étant alors
globalement neutre.
1. Déterminer le champ électrique en chaque point du gaz pour t < 0.
2. En déduire l'énergie électromagnétique stockée dans le gaz isolant pour t < 0.
3. En admettant que les deux sphères séparées par le gaz isolant forment un condensateur, exprimer la capacité de ce condensateur en fonction des rayons de chacune des
sphères et de ε0 .
4.
5.
6.
7.
On s'intéresse maintenant uniquement au cas t > 0.
Montrer que la charge Q0 va progressivement migrer vers la sphère extérieure.
Que peut-on déduire, par des considérations de symétrie, sur le champ électrique et
magnétique ?
En faisant un bilan de charge sur une boule de rayon r avec R1 < r < R2 , montrer
que le champ électrique suit une loi de décroissance exponentielle.
Établir un bilan énergétique sur le gaz et vérier que l'énergie électrostatique initialement stockée dans le condensateur est entièrement dissipée par eet Joule.
1. On peut réaliser une telle transformation en soumettant le gaz à un "ash LASER" à t = 0, ce qui
a pour eet de le transformer en un plasma, c'est à dire en un mélange de molécules ionisées, d'électrons
libres et de molécules restées neutres.
2
3 Propagation de l'énergie électromagnétique
Un faisceau laser émet une onde plane monochromatique polarisée rectilignement selon
Oz qui se propage dans le plan Oxy suivant une direction Ox0 inclinée de 60◦ par rapport
à l'axe Ox.
1. Écrire les composantes du vecteur d'onde, du champ électrique, du champ magnétique
et du vecteur de Poynting. Calculer leurs normes dans le cas d'un laser à argon ionisé
(λ = 488 nm) qui émet en continu un faisceau cylindrique de 1mm2 de section, de
puissance moyenne 1W.
2. Quelle est l'énergie électromagnétique localisée en moyenne dans un tranche d'espace
plane perpendiculaire à Ox0 , d'épaisseur dx0 et de surface S ? Quelle est l'énergie
rayonnée en moyenne à travers la surface S pendant le temps dt ? En déduire la
vitesse à laquelle se propage l'énergie électromagnétique moyenne.
4 Superposition de deux ondes planes de directions diérentes
On considère une onde plane polarisée rectilignement de pulsation ω et de vecteur
→
−
→
−
−
−
−
d'onde k 1 tel que k 1 = k[cos α→
e x + sin α→
e y ]. Le champ électrique est parallèle à →
e z.
→
−
→
−
1. Préciser le champ électrique E 1 et le champ magnétique B 1 de cette onde.
On considère une autre onde de mêmes amplitude, pulsation, polarisation, mais de
→
−
→
−
vecteur d'onde k 2 , symétrique de k 1 par rapport à Ox.
→
− →
− →
−
2. Préciser k 2 , E 2 , B 2 pour cette onde.
3. On superpose les deux ondes précédentes.Déterminer les champs électriques et magnétiques résultants. Montrer l'existence de plans équiphases que l'on précisera. Déterminer la direction et la vitesse de propagation de la phase.
4. Déterminer en un point quelconque la valeur moyenne de la densité d'énergie électromagnétique, ainsi que le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. Dans quels plans
l'énergie électromagnétique est elle minimale ? Dans quels plans est elle maximale ?
5 Onde longitudinale dans un plasma
On utilise la même modélisation d'un plasma que celle développée dans le cours mais on
s'intéresse à la propagation d'une onde électromagnétique dont le champ électrique s'écrit :
~ = E0 cos (ωt − kx) ~ux
E
1. Caractériser cette onde.
2. Que vaut le champ magnétique ?
3. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux électrons.
3
4. En déduire une relation entre
∂~j
∂t
~.
et E
~.
5. À l'aide des équations de Maxwell, trouver une autre relation entre ~j et E
~ puis la relation de dispersion.
6. En déduire l'équation de propagation vériée par E
Quelle est sa particularité ?
7. Exprimer la vitesse de groupe.
8. Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique d'énergie électromagnétique.
Pourquoi n'est-elle pas constante ? Que devient-elle ?
9. Que dire de la densité volumique de charge dans le plasma ?
6 Réexion d'une onde électromagnétique sur une feuille métallique
→
−
Une OPPH (pulsation ω , vecteur d'onde k ) se propageant dans le vide dans la direction
→
−
−
e x et polarisée rectilignement selon →
e y est envoyée en incidence normale sur une feuille à
faces planes d'épaisseur l, constituée d'un métal ohmique de conductivité γ . La feuille est
comprise entre x = 0 et x = l.
1. Établir l'équation diérentielle vériée par le champ électrique dans le conducteur
(dans lequel on suppose que le courant de déplacement est négligeable). Donner la
forme générale des solutions harmoniques de cette équation en faisant intervenir deux
constantes indéterminées et exprimer le champ magnétique correspondant.
On fera apparaître la profondeur de peau δ et la quantité km = 1−j
δ .
2. Pour x > l, il existe une onde transmise de champ électrique Et exp j (ωt − k (x − l))
et pour x < 0, on a une onde rééchie de champ Er exp j (ωt + kx) (en plus de l'onde
incidente E0 exp j (ωt − kx).
Écrire les équations permettant de déterminer les amplitudes des ondes rééchie et
transmise. On introduira les deux ondes présentes dans le métal.
3. On suppose δ l. Dans ce cas, on peut considérer que le métal est inni et qu'il
n'existe dans ce métal qu'une onde qui se propage dans le sens des x croissants.
(a) Déterminer le coecient de réexion en amplitude r = EEr0 en fonction de k et
km .
(b) Pour l'argent, γ = 107 Ω−1 .m−1 . Calculer numériquement le nombre complexe
km et k = ωc (λ = 0, 5 µm dans le vide).
(c) Pour l'argent déterminer numériquement le module et l'argument de r. Comparer au cas du conducteur parfait.
7 cavité résonnante et circuit résonnant LC
Une cavité parallélépipédique est dénie par : 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c.
Elle est vide et délimitée par des plans parfaitement conducteurs. Un générateur de haute
4
fréquence entretient dans cette cavité une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation
ω.
→
−
πy
−
1. Montrer que le champ électrique E = E0 →
e z sin πx
a sin b exp (−jωt) peut convenir pourvu que la pulsation ait une valeur que l'on déterminera. De quel type d'onde
s'agit-il ?
2. Déterminer le champ magnétique associé. Caractériser les courants qui apparaissent
sur les parois de la cavité.
3. Calculer la moyenne spatiale de l'énergie volumique électrique, puis de l'énergie volumique magnétique. Montrer que l'énergie électromagnétique volumique est constante
en moyenne et qu'elle oscille périodiquement entre sa forme électrique et sa forme
magnétique.
4. Calculer la charge surfacique sur les parois et montrer que la cavité se comporte
comme un condensateur plan dont on évaluera la charge. Déduire de l'énergie la
valeur de sa capacité.
5. En s'appuyant sur une analogie avec un circuit résonnant LC , trouver le coecient
d'auto-inductance de cette cavité. Expliquer son origine physique.
On rappelle les relations de passages :
n
o σ(P, t)
~
~
lim
E (P2 , t) − E (P1 , t) =
~n1→2
ε0
P1 → P
P2 → P
lim
P1 → P
P2 → P
n
o
~ (P2 , t) − B
~ (P1 , t) = µ0 js (P, t) ∧ ~n1→2
B
5