Feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Feuille d’exercices no7
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A, +, ×) l’ensemble de ses éléments nilpotents,
i.e. l’ensemble des éléments x ∈ A pour lesquels il existe n ≥ 1 tel que xn = 0. Démontrer que
le nilradical de A est un idéal de A.
Exercice 2.
On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de Z2 .
1. Soit I un anneau de Z2 et I1 = {x ∈ Z; (x, 0) ∈ I}, I2 = {y ∈ Z; (0, y) ∈ I}. Démontrer
que I1 et I2 sont deux idéaux de Z.
2. Démontrer que I = I1 × I2 .
3. Conclure.
Exercice 3.
Résoudre les systèmes suivants :
{
x ≡ 5 mod 9
(S1 )
x ≡ 2 mod 21
{
4x ≡ 2 mod 7
(S2 )
8x ≡ 4 mod 11
{
(S3 )
x ≡ 3 mod 6
3x ≡ 6 mod 9
Exercice 4.
Soit A ∈ Mn (R). On note C = {M ∈ Mn (R); AM = M A}. Montrer que C est une algèbre.
Exercice 5.
Pour a, b, c ∈ R, on note

a b

c a
M (a, b, c) =
b c

c
b 
a
et E = {M (a, b, c); a, b, c ∈ R}. Démontrer que E une algèbre, et en donner une base en tant
qu’espace vectoriel.
1
Exercice 6.
Soient K, L deux corps et soit f : K → L un morphisme d’anneaux.
1. Démontrer que si x ∈ K\{0K }, alors f (x) est inversible, et déterminer son inverse.
2. En déduire qu’un morphisme de corps est injectif.
Exercice 7.
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
1. X 4 + 5X 3 + 12X 2 + 19X − 7 par X 2 + 3X − 1 ;
2. X 4 − 4X 3 − 9X 2 + 27X + 38 par X 2 − X − 7 ;
3. X 5 − X 2 + 2 par X 2 + 1.
Exercice 8.
Déterminer les pgcd suivants :
1. P (X) = X 4 − 3X 3 + X 2 + 4 et Q(X) = X 3 − 3X 2 + 3X − 2 ;
2. P (X) = X 5 − X 4 + 2X 3 − 2X 2 + 2X − 1 et Q(X) = X 5 − X 4 + 2X 2 − 2X + 1 ;
3. P (X) = X n − 1 et Q(X) = (X − 1)n , n ≥ 1.
Exercice 9.
Décomposer en produits d’irréductibles de R[X] les polynômes suivants :
1. X 4 + 1
2. X 8 − 1
3. (X 2 − X + 1)2 + 1
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 10.
Soit D l’ensemble des nombres décimaux,
{ n
}
D=
; n ∈ Z, k ∈ N .
k
10
Démontrer que (D, +, ×) est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles ?
Exercice 11.
Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A l’ordre de 1A dans le groupe additif (A, +).
Dans la suite, on supposera que A est de caractéristique finie n.
1. Démontrer que, pour tout x ∈ A, nx = 0.
2. Démontrer que si A est intègre, n est un nombre premier.
3. Démontrer que si A est intègre et commutatif, alors x 7→ xn est un morphisme d’anneaux.
2
Exercice 12.
Soit Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z2 }.
1. Démontrer que Z[i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
2. Quels sont les éléments inversibles de Z[i] ?
3. Soit z ∈ C. Démontrer qu’il existe ω ∈ Z[i] tel que |z − ω| < 1.
4. Soient u, v ∈ Z[i] avec v ̸= 0. Démontrer qu’il existe q, r ∈ Z[i] avec u = qv + r et |r| < |v|.
A-t-on unicité ?
5. Démontrer que Z[i] est principal.
Exercice 13.
Démontrer que Q n’admet pas d’autre sous-corps que lui-même.
Exercice 14.
Quel est le reste de la division euclidienne de (X + 1)n − X n − 1 par
1. X 2 − 3X + 2
2. X 2 + X + 1
3. X 2 − 2X + 1?
Exercice 15.
Soient A, B, P ∈ K[X] avec P non-constant. On suppose que A ◦ P |B ◦ P . Démontrer que A|B.
Exercice 16.
1. Rappeler la décomposition en produits d’irréductibles de X n − 1.
2. En déduire la décomposition en produits d’irréductibles de 1 + X + · · · + X n−1 .
( )
∏n−1
3. Calculer k=1 sin kπ
n .
(
)
∏n−1
4. Pour θ ∈ R, calculer k=0 sin kπ
n +θ .
3. Exercices d’approfondissement
Exercice 17.
Soit A un anneau principal.
1. On suppose que toute suite décroissante (pour l’inclusion) d’idéaux de A est stationnaire.
Montrer que A est un corps.
2. Démontrer que toute suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de A est stationnaire.
3
Exercice 18.
Soit K un corps fini. Calculer
∏
x∈K ∗
x.
Exercice 19.
Déterminer les polynômes P de degré supérieur ou égal à 1 et tels que P ′ |P .
Exercice 20.
On dit qu’un polynôme P ∈ C[X] de degré n est réciproque s’il s’écrit P = an X n + · · · + a0 avec
ak = an−k pour tout k dans {0, . . . , n}.
1. Soit P( ∈) C[X] de degré n. Démontrer que P est réciproque si et seulement si P (X) =
1
X nP X
.
2. Montrer qu’un produit de polynômes réciproques est réciproque.
3. On suppose que P et Q sont réciproques et que Q|P . Démontrer que
P
Q
est réciproque.
4. Soit P ∈ C[X] un polynôme réciproque.
(a) Démontrer que si α est une racine de P , alors α ̸= 0 et α−1 est une racine de P .
(b) Démontrer que si 1 est une racine de P , alors sa multiplicité est supérieure ou égale
à 2.
(c) Démontrer que si le degré de P est impair, alors −1 est racine de P .
(d) Démontrer que si P est de degré pair et si −1 est une racine de P , alors sa multiplicité
est supérieure ou égale à 2.
5. Démontrer que tout polynôme réciproque de C[X] de degré 2n se factorise en
P = a2n (X 2 + b1 X + 1) . . . (X 2 + bn X + 1).
Que peut-on dire si le degré de P est impair ?
4