SOLUTIONS - M. Gilles Paul

SOLUTIONS : UNITÉ 5
REVUE DE L’EXAMEN
Les fonctions sinusoïdales prennent les formes suivantes : y = a·sin k(x – d) + c
ou y = a·cos k(x – d) + c
où a représente l’amplitude,
k représente l’élongation horizontale de la fonction (pour connaître la période),
d représente le déphasage (la translation horizontale),
c représente la translation verticale
1. a) La période = fin d’un cycle – début du cycle
= 6π – 0
= 6π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ 6π
= 
L’amplitude = (valeur max – valeur min) ÷ 2
= 
= 4
translation verticale = moyenne des valeurs max et min
= 
= +5
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de 0 .
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de 
 vers la gauche.
L’équation est y = 4·cos 
 x + 5 ou y = 4·cos   (x +  ) + 5
12e

1. b) La période = fin d’un cycle – début du cycle
= 5π – π
= 4π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ 4π
= 
L’amplitude = (valeur max – valeur min) ÷ 2
= 
= 2
translation verticale = moyenne des valeurs max et min
= 
= -3
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de 2π (vers la gauche ou vers la droite).
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de π vers la droite.
L’équation est y = 2·cos 
 (x – 2π) – 3 ou y = 2·sin   (x – π) – 3

0
-2 x
y
1
2
-1
3π
43π9π 4
3π
2
0
amplitude
période
aucun déphasage
pas de
translation
verticale
1. c) La période = fin d’un cycle – début du cycle
= π – 0
= π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ π
= 2
L’amplitude = (valeur max – valeur min) ÷ 2
= 
= 2
translation verticale = moyenne des valeurs max et min
= 
= +1
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de 
 vers la droite.
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de 0.
L’équation est y = 2·cos 2(x – 
) + 1 ou y = 2·sin 2x + 1
2. a)

0
-5 x
y
5
π
4
π3π
4
π
2
0 5π
4
3π
2
trans.
vert. 0
-5 x
y
5
π
4π3π 4
π
2
05π
43π 2
déphasage
-1
-2
0
π
43π
45π
47π
49π
4
période
c
+a
-a
d
π
4
π3π
4
π
2
5π
4
3π
2
0
-5 x
y
5
0
amplitude
période
2. b)
après le
déphasage et
la translation
verticale, on
obtient ►
et en gardant le premier
cycle passé x = 0, on obtient ►
3. k = 1 , alors la période reste inchangée à 2π
a = 1 (l’amplitude demeure 1)
transl. verticale : 1 vers le bas
déphasage : 
 vers la droite
Dans ce cycle :
Domaine = { x ϵ R ; 
 ≤ x ≤   }
Image = { y ϵ R ; -2 ≤ y ≤ 0 }
4. a) Le déphasage est représenté par la variable d dans l’équation y = a·cos k(x – d) + c
Dans l’équation y = cos(x – 2π) – 4 , d = 2π . Alors le déphasage est de 2π vers la droite.
À noter : Vu que la période est de 2π, un déphasage de 2π ramènera la fonction à sa
position initiale. Donc, il est préférable de dire qu’il n’y a aucun déphasage.
b) Le déphasage est représenté par la variable d dans l’équation y = a·sin k(x – d) + c
Notre équation : y = 3·sin(4x + π) + 1 doit être réécrite sous cette forme.
Elle devient y = 3·sin 4(x + 
 ) + 1 , où d = -  .
Alors le déphasage est de 
 vers la gauche.

1
t
h
9
312960 15 18 2421
7
3
27
minuit
translation
verticale
amplitude
5
amplitude
5. a) À minuit t = 0.
h(0) = 5 + 4·sin
h(0) = 5 m
b) période = 
 = 
 = 12 h
c) La hauteur maximale des eaux = translation verticale + amplitude
= 5 + 4
= 9 m
Je vais faire une esquisse de la fonction pour être en mesure de vérifier mes réponses.
h(t) = 4·sin 
 + 5
6. Règles générales pour prouver des identités.
no 1 Convertis tout en sin et en cos (si nécessaire) et simplifie
no 2 Place les fractions sur un dénominateur commun pour additionner ou soustraire
(si nécessaire, c’est-à-dire s’il y a des fractions) et simplifie
no 3. Utilise l’identité de Pythagore (si nécessaire) et simplifie
a) MG = 
= 
 ... identité du quotient
= 
 = MD