SOLUTIONS - M. Gilles Paul

12e
SOLUTIONS : UNITÉ 5
REVUE DE L’EXAMEN
Les fonctions sinusoïdales prennent les formes suivantes :
ou
où
a
k
d
c
y = a·sin k(x – d) + c
y = a·cos k(x – d) + c
représente l’amplitude,
représente l’élongation horizontale de la fonction (pour connaître la période),
représente le déphasage (la translation horizontale),
représente la translation verticale
1. a) La période
= fin d’un cycle – début du cycle
= 6π – 0
= 6π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ 6π
=
L’amplitude
1
3
= (valeur max – valeur min) ÷ 2
=
9−1
2
= 4
translation verticale
= moyenne des valeurs max et min
9+1
=
2
= +5
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de 0 .
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de
L’équation est y = 4·cos
1
3
x+5
ou
y = 4·cos
1
3
(x +
3𝜋
2
3𝜋
2
)+5
vers la gauche.
1. b) La période
= fin d’un cycle – début du cycle
= 5π – π
= 4π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ 4π
=
L’amplitude
1
2
= (valeur max – valeur min) ÷ 2
=
−1 −(−5)
2
= 2
translation verticale
= moyenne des valeurs max et min
−1 + (−5)
=
2
= -3
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de 2π (vers la gauche ou vers la droite).
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de π vers la droite.
L’équation est y = 2·cos
1
2
(x – 2π) – 3
ou
y = 2·sin
1
2
(x – π) – 3
1. c) La période
= fin d’un cycle – début du cycle
=
=
π–0
π
k = 2π ÷ période
= 2π ÷ π
= 2
L’amplitude
= (valeur max – valeur min) ÷ 2
=
3 −(−1)
2
= 2
translation verticale
= moyenne des valeurs max et min
=
3 + (−1)
2
= +1
Le déphasage : Si on prend la fonction cosinus (qui commence son cycle avec sa valeur
max), le déphasage sera de
𝜋
4
vers la droite.
Si on prend la fonction sinus (qui commence son cycle à partir de sa valeur
moyenne en montant), le déphasage sera de 0.
𝜋
L’équation est y = 2·cos 2(x – ) + 1
ou
4
2. a)
y = 2·sin 2x + 1
période
y
2
amplitude
1
pas de
translation
verticale
0
-1
-2
0
3π
4
3π
2
9π
4
3π
aucun déphasage
x
2. b) y
après le
déphasage et
la translation
verticale, on
trans.
obtient ►
vert.
5
amplitude
0
-5
y déphasage
5
0
-5
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
x
période
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
y
5
et en gardant le premier
cycle passé x = 0, on obtient ►
0
-5
0
3.
π
4
π
2
k = 1 , alors la période reste inchangée à 2π
+a
transl. verticale : 1 vers le bas
c
𝜋
4
4
x
3π
2
-1
-2
Dans ce cycle :
Domaine = { x ϵ R ;
5π
4
-a
vers la droite
𝜋
π
0
a = 1 (l’amplitude demeure 1)
déphasage :
3π
4
≤x≤
9𝜋
4
π
4
}
d
Image = { y ϵ R ; -2 ≤ y ≤ 0 }
3π
4
5π
4
7π
4
9π
4
période
4. a) Le déphasage est représenté par la variable d dans l’équation y = a·cos k(x – d) + c
Dans l’équation y = cos(x – 2π) – 4 , d = 2π . Alors le déphasage est de 2π vers la droite.
À noter :
Vu que la période est de 2π, un déphasage de 2π ramènera la fonction à sa
position initiale. Donc, il est préférable de dire qu’il n’y a aucun déphasage.
b) Le déphasage est représenté par la variable d dans l’équation y = a·sin k(x – d) + c
Notre équation : y = 3·sin(4x + π) + 1 doit être réécrite sous cette forme.
Elle devient y = 3·sin 4(x +
Alors le déphasage est de
𝜋
4
𝝅
𝟒
)+1,
𝜋
où d = - .
vers la gauche.
4
x
5. a) À minuit t = 0.
h(0) = 5 + 4·sin(
𝜋(0)
6
)
h(0) = 5 m
b) période =
2𝜋
2𝜋
=
𝑘
𝜋
6
= 12 h
c) La hauteur maximale des eaux = translation verticale + amplitude
= 5+4
= 9m
Je vais faire une esquisse de la fonction pour être en mesure de vérifier mes réponses.
h
h(t) = 4·sin
𝜋𝑡
6
9
+5
amplitude
7
translation
verticale
5
amplitude
3
1
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
t
minuit
6.
Règles générales pour prouver des identités.
no 1 Convertis tout en sin et en cos (si nécessaire) et simplifie
no 2 Place les fractions sur un dénominateur commun pour additionner ou soustraire
(si nécessaire, c’est-à-dire s’il y a des fractions) et simplifie
no 3. Utilise l’identité de Pythagore (si nécessaire) et simplifie
a) MG =
tan 𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥
]
cos 𝑥
[
=
=
sin 𝑥
1
cos 𝑥
... identité du quotient
= MD
6. b) MD
=
=
1
sin 𝑥
–
cos 𝑥
tan 𝑥
1
cos 𝑥
– sin 𝑥
sin 𝑥 [
]
... identité du quotient
cos 𝑥
=
=
1 − cos2 𝑥
sin 𝑥
[sin2 𝑥]
= sin x
c) MG =
=
=
... identité de Pythagore
sin 𝑥
= MG
sin2 𝑥
1 − cos 𝑥
[1 − cos2 𝑥]
... identité de Pythagore
1 − cos 𝑥
(1 − cos 𝑥)(1 + cos 𝑥)
1 − cos 𝑥
= 1 + cos x
= MD
d) MG = cos2 x + tan2 x·cos2 x
=
cos2 x
+[
sin 𝑥 2
cos 𝑥
]
·cos2 x
... identité du quotient
= cos2 x + sin2 x
= [1]
= MD
... identité de Pythagore
7.
Quand les angles sont des multiples de
𝜋
rad (ou 15º), on doit se servir des
12
formules d’angles composés pour déterminer la valeur exacte des rapports sin, cos et tan.
a) On doit convertir l’angle en une addition d’angles remarquables :
sin(
5𝜋
)
12
= sin(
𝜋
𝜋
)
12
3𝜋
12
+
2𝜋
12
=
𝜋
4
+
𝜋
6
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
=
(sin 4 ) (cos 6 ) + (cos 4 ) (sin 6 )
=
( 2 ) ( 2 ) + ( 2 ) (2)
=
√6 + √2
4
√2
√3
= tan(
𝜋
√2
1
𝜋
12
=
4𝜋
12
–
3𝜋
12
=
𝜋
3
–
𝜋
4
𝜋
– )
3 4
𝜋
=
12
=
+ )
4
6
b) On doit convertir l’angle en une addition d’angles remarquables :
tan(
5𝜋
𝜋
tan 4 − tan 6
𝜋
4
𝜋
6
1 + tan ·tan
1
√3
=
1
1 + 1·
√3
1−
=
√3 − 1
√3+ 1
= 2 – √3
c)
On doit convertir l’angle en une addition d’angles remarquables :
cos(
7𝜋
)
12
= cos(
𝜋
𝜋
+ )
3
4
𝜋
𝜋
√2
√3
𝜋
𝜋
=
(cos 3 ) (cos 4 ) − (sin 3 ) (sin 4 )
=
(2) ( 2 ) − ( 2 ) ( 2 )
=
√2 − √6
4
1
√2
7𝜋
12
=
4𝜋
12
+
3𝜋
12
=
𝜋
3
+
𝜋
4
8. a) 2·cos x = - √3
cos x = -
√3
2
D’après le cercle unitaire, les solutions pour 0 ≤ x ≤ 2π sont :
5𝜋
6
et
7𝜋
6
b) 3·sin x = sin x + 1
2·sin x = 1
sin x =
1
2
D’après le cercle unitaire, les solutions pour 0 ≤ x ≤ 2π sont :
c)
𝜋
6
et
5𝜋
6
3·sin x + 3 = 6·cos2 x
3·sin x + 3 = 6·[1 – sin2 x]
3·sin x + 3 = 6 – 6·sin2 x
6·sin2 x + 3·sin x – 3 = 0
2·sin2 x + sin x – 1 = 0
(2·sin x – 1)(sin x + 1) = 0
Le produit est égal à zéro quand
2·sin x – 1 = 0
sin x =
ou
1
2
D’après le cercle unitaire, les solutions pour 0 ≤ x ≤ 2π sont :
sin x + 1 = 0
sin x = -1
𝜋 5𝜋
3𝜋
,
et
6 6
2