Chapitre 3 : Introduction aux probabilités

IUT de Sceaux Département TC1
Mathématiques
Chapitre 3 :
Introduction aux probabilités
1.
Évènements
Les événements élémentaires sont les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Un événement est un ensemble d'événements élémentaires.
L'univers (des possibles) est l'ensemble de tous les événements élémentaires. Il est noté
Ω (omega).
Exemple:
expérience aléatoire : Jet d'un dé à six faces
événement élémentaire : obtenir 3
univers :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
événement : obtenir un nombre pair={2, 4, 6}
Les opérations qu'on peut faire avec les événements sont les opérations des ensembles :
opération des ensembles
connecteur logique
A∪B
A∩B
Complémentaire A
OU
Union
Intersection
Le symbole
∅
ET
NON
indique l'ensemble vide.
Exemple:
A = {2, 4, 6} =obtenir un nombre pair
B = {4, 5, 6} =obtenir un nombre plus grand que 3
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}=obtenir un nombre pair OU plus grand que
A ∩ B = {4, 6}=obtenir un nombre pair ET plus grand que 3
A = {1, 3, 5} =obtenir un nombre qui n'est pas pair
2.
3
Loi de Probabilité
Une loi de probabilité est une fonction qui associe à chaque événement,
produire
A,
la probabilité de se
P(A).
P(A) est un nombre compris entre 0 et 1.
Si P(A) = 0, l'événement A est impossible.
Si
P(A) = 1,
l'événement
Si on connaît la probabilité des événements élémentaires
pi = probabilité
d'obtenir
1
i = P({i})
A
est certain.
2
alors on peut calculer la loi de chaque événement
P(A) =
∑
pi = somme
des probabilités des évén. élem. qui sont dans
A
i∈A
Exemple:
Jet d'un dé truqué tel que la table de la loi est
résultat
i
probabilité
pi
1
2
3
4
5
6
0,1
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
On a alors
P(obtenir
un nombre >3)
= P({4, 5, 6}) = p4 + p5 + p6 = 0, 7.
Les calculs se simplient dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité
1
= ,( où n = |Ω| =nombre des résultats possibles). On dit que les événements élémentaires sont
n
équiprobables. Dans ce cas
P(A) =
Exemple:
Jet d'un dé équilibré,
|A|
=
|Ω|
cas favorables
cas possibles
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(obtenir
un nombre >3)
= P({4, 5, 6}) =
3
= 0, 5.
6
Voici les propriétés fondamentales des probabilités :
1.
P(∅) = 0
2.
P(Ω) = 1
donc
∑
pi = 1
i∈Ω
3.
4.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
En particulier si A et B sont deux événements
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
incompatibles , c-à-d
P(A) = 1 − P(A)
3.
Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle de
B
sachant
A
PA (B) =
est :
P(A ∩ B)
P(A)
Exemple:
Météo France a fait les prévisions suivantes pour demain :
la probabilité qu'il y ait du soleil est de 0,6
la probabilité qu'il y ait du soleil et du vent est de 0,2.
A∩B =
Ø, alors
3
Quelle la probabilité qu'il fasse du vent sachant qu'il y a le soleil ?
PS (V ) =
0, 2 ∼
= 0, 3333
0, 6
Les plus importantes propriétés de la probabilité conditionnelle sont :
1.
La probabilité conditionnelle est une probabilité donc respecte les propriétés fondamentales
des probabilités :
PA (Ω) = 1
PA (B ∪ C) = PA (B) + PA (C) − PA (B ∩ C)
PA (B) =
1 − PA (B)
2.
P(A ∩ B) = PA (B)P(A)
3.
P(A) = PB (A)P(B) + PB (A)P(B)
4.
La formule de Bayes qui permet d'échanger le conditionnement
PB (A) =
PA (B)P(A)
P(B)
Exemple:
Parmi les employés d'un bureau il y a 60% de hommes. On sait que 30% des hommes fument et
40% des femmes fument.
On note H l'ensemble des hommes
PH (F ) = 0, 3 et PH (F ) = 0, 4
et
F
l'ensemble des fumeurs. On sait donc que
P(H) = 0, 6,
Quelle la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit un homme fumeur ?
P(H ∩ F ) = P(H) × PH (F ) = 0, 6 × 0, 3 = 0, 18
Quelle la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit un fumeur ?
P(F ) = 0, 6 × 0, 3 + (1 − 0, 6) × 0, 4 = 0, 34
Quelle est la probabilité qu'un fumeur choisi au hasard soit un homme ?
PF (H) =
4.
0, 6 × 0, 3 ∼
= 0, 53
0, 34
Événements indépendants
On dit que deux événements sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Il est facile de démontrer que deux événements sont indépendants si et seulement si
PB (A) = P(A)
L'indépendance de deux événements peut être une conséquence des conditions sous lesquelles se
déroule l'expérience aléatoire. Deux expériences aléatoires séparées qui ne s'inuencent pas l'une
l'autre produisent des événements indépendants.
4
Exemple:
Si on lance deux dés les événements :
A = {obtenir un nombre ≥ 3 au 1er dé} et
B = {obtenir un nombre ≥ 4 au 2eme dé}
sont indépendants et on peut donc calculer
P(A ∩ B) =
4
6
×
3
6
=
1
3
Dans des autres cas on ne peut pas savoir à priori si les événement sont indépendants, mais on doit
le vérier à l'aide d'un calcul
Exemple:
On lance un dé et on considère les événements :
A = {obtenir un nombre ≤ 4} et B = {obtenir un nombre
2
1
1
On calcule P(A) = 3 et P(B) = 2 donc P(A) × P(B) = 3
On calcule
P(A ∩ B) =
2
6
=
pair}.
1
3
On peut donc conclure que, puisque
P(A ∩ B) = P(A)P(B),
A et B sont indépendants.
Exercices
Ex 1.
Une assurance fait une prospection auprès des clients potentiels, en téléphonant à un numéro pris
au hasard sur l'annuaire de la ville.
1. Expliciter l'événements élémentaires et l'univers de l'expérience aléatoire.
2. Donner un exemple d'un événement.
3. On considère les événements suivants :
F="la personne contactée est une femme"
V="la personne contactée possède une voiture"
J="la personne contactée a moins de 35 ans".
A l'aide des opérations d'intersection, union et complémentaire, écrire les ensembles correspondants
aux événements suivants :
a.
la personne contactée est un homme
b.
la personne contactée est une femme de moins de 35 ans
c.
la personne contactée a moins de 35 ans ou possède une voiture
d.
la personne contactée est un homme de plus de 35 ans
e.
la personne contactée n'est pas une femme de moins de 35 ans
f.
la personne contactée n'est pas une femme et elle n'a pas moins de 35 ans
g.
la personne contactée est un homme ou elle a plus de 35 ans
4. Est-ce que les ensembles décrits en d. , e., f. et g. sont tous diérents ?
Ex 2.
A l'aide d'un diagramme de Venn (les patates), déterminer lesquelles parmi les égalités suivantes
sont vériées par tout ensemble A, B et C
a.
b.
Ex 3.
(A ∪ B) = A ∪ B ou bien (A ∪ B) = A ∩ B
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ou bien (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C)
Un jeu de cartes pour enfants représente des animaux coloriés. Les cartes représentent 5 animaux
diérents (Chat, Souris, Poisson, Canard et Poule) de 3 couleurs (Bleue, Rouge et Vert). Toutes les
cartes sont diérentes et toute les combinaisons possibles sont représentées.
a.
De combien de cartes est composé ce jeu ?
5
On tire une carte au hasard dans un jeu et on considère les événements suivants :
A : La carte tirée est Rouge B : La carte tirée est un Canard
C : La carte tirée représente un oiseau
b.
Dénir par une phrase les événements :
A, A ∩ B , B ∩ C , A ∩ B ∩ C , A ∪ B , B ∪ C
c.
Ex 4.
Calculer les probabilités des événements
A ∩ B ∪ C.
A, B , C et des
et
événements décrits en b.
Météo France a fait les prévisions suivantes pour demain :
la probabilité qu'il y ait du soleil est de 0,6
la probabilité qu'il y ait du vent est de 0,4
la probabilité qu'il y ait du soleil et du vent est de 0,2
Écrire les événements suivants comme ensemble et calculer leur probabilité :
a.
Ex 5.
Demain il n'y aura pas de soleil.
b.
Demain il y aura du soleil ou du vent.
c.
Demain il n'y aura ni du soleil ni du vent
Les clients d'un club de gym se répartissent de la façon suivante :
Femme
Homme
Pratiquent le yoga
23%
7%
Ne pratiquent pas le yoga
28%
42%
70%
51%
49%
100%
30%
Quelle est la probabilité que :
a.
Ex 6.
un client pris au hasard pratique le yoga ?
b.
un client pris au hasard soit une femme et pratique le yoga ?
c.
un client pris au hasard pratique le yoga, si on sait que le client est une femme ?
d.
un client pris au hasard parmi ceux qui pratiquent le Yoga soit une femme ?
Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boites sont
abîmées. Le géerant estime que :
60% des boites abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.
98% des boites non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.
Un client achète une boite du lot au hasard. On considère les évènements :
"A= la boite achetée est abîmée" et D="la boite achetée contient un CD-ROM défectueux" a.
Traduire les donnée du problème dans le langage de probabilité.
P(A ∩ D)
et
P(A ∩ D).
b.
Calculer
c.
Calculer la probabilité que la boite achetée contienne un CD-ROM défectueux
Traduire les résultats avec des phrases.
d.
Le client constate qu'un des CD-ROM achetée est défectueux. Quelle est a la probabilité pour
qu'il ait acheté une boite abimée
Ex 7.
Un test est utilisé pour dépister une substance illicite. Si le patient fait eectivement usage de la
substance, le test donne un résultat positif dans 99 % des cas. Cependant, il se peut que le résultat
du test soit positif alors que le patient n'utilise pas la substance, et ceci se produit dans 2 % des
cas. On estime qu'une personne sur 1000 fait usage de la substance à dépister.
a.
Traduire les donnée du problème dans le langage de probabilité.
b. Calculer la probabilité que, eectuant le test sur une personne choisie au hasard, elle soit positive
au test.
6
Quelle est la probabilité que la personne fasse usage de la substance sachant que le test a été
c.
positif ?
d.
Le directeur d'un IUT décide de faire passer le test à tous les 1012 étudiants de l'institut. On
en trouve 19 positifs. Est-ce que on peut conclure que 1,9 % des étudiants de l'IUT fait usage de la
substance ?
On lance deux dés, un rouge et un vert.
Ex 8.
1. Sans calculer des probabilités, déterminer si les deux évènements des couples ci-dessous sont
indépendants, incompatibles ou ni l'un ni l'autre. Calculer ensuite la probabilité de l'intersection
P(A ∩ B).
A="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge", B= "Obtenir un nombre pair sur le dé vert"
a.
b. A="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge", B="Obtenir un nombre impair sur le dé rouge"
A="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge", B="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge"
c.
2. Pour les deux couples d'évènements suivants, calculer d'abord les probabilités
P(A ∩ B).
P(A), P(B)
et
En déduire si les deux évènements sont indépendants.
d.
A="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge", B="la somme de deux dés est égale à 3"
e.
A="Obtenir un nombre pair sur le dé rouge", B="la somme de deux dés est inférieure ou
égale à 3"
L'année dernière une entreprise a acheté des ordinateurs dont 25% de la marque Frick et 34% de
Ex 9.
la marque Krack. Sur l'ensemble des ordinateurs achetés 32% sont défectueux. On a aussi remarqué
que 8% des ordinateurs sont défectueux et de la marque Frick et 12% sont défectueux et de la
marque Krack. On choisit un ordinateur au hasard on considère les événements :
D="l'ordinateur est défectueux", F="l'ordinateur est de la marque Frick" et K="l'ordinateur est
de la marque Krack"
Les événements D et F sont ils indépendants ?
a.
b.
Les événements D et K sont ils indépendants ?
c.
On prend un ordinateur défectueux au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit de la marque
Frick ? Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque Krack ?
d.
On choisit on ordinateur de la marque Frick au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit
défectueux ?
On choisit on ordinateur de la marque Krack au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit
e.
défectueux ?
Ex 10.
Une urne contient 6 boules rouges, 9 boules vertes et on eectue deux tirages. On considère les
évènements :
Ri =obtenir une boule Rouge à l'i-ème tirage
Vi =obtenir une boule Verte à l'i-ème tirage
1.La règle du jeu prévoit qu'après chaque tirage on remet la boule dans le sac.
a.
b.
Est-ce que
R1
et
V2
sont indépendants ?
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage et une boule verte au
deuxième ?
c.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte (dans n'importe quelle
ordre) ?
d.
Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule verte ?
2. On fait un tirage sans remise (c'est-à-dire on ne remet pas les boules tirées dans le sac). Répondre
aux questions a. b. c. et d. du point 1.
7
3. On eectue 5 tirages avec remise.
a.
Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules vertes ?
b.
Quelle la probabilité de tirer au moins une boule rouge ?
4. Mêmes questions pour 5 tirages sans remise.
Ex 11.
Un journal organise une loterie parmi ses abonnés parmi lesquels on compte 20% de femmes.
a.
La loterie comporte 3 tirages, chaque tirage désigne un gagnants parmi les abonnés de façon
équiprobable et les tirages sont indépendants. Quelle est la probabilité que parmi les gagnants il y
ait au moins une femme ?
b.
Pour des raisons de marketing la direction du journal aimerait qu'il y ait une femme parmi les
gagnants. Combien de tirages faut-il prévoir pour que la probabilité d'avoir au moins une femmes
soit supérieure à 0,9 ?
Rappel. Si
b, a > 0
alors
bx = a
si et seulement si
x = log(a)/ log(b)