2015/2016 Logique mathématique - E

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Support de cours
Logique Mathématique
Cours déstiné aux étudiants de 2me année licence Informatique
Préparé par
Dr ADEL née AISSANOU Karima
2015/2016

1
A Zahir, Melissa et Badis.............

Table des matières
Table des matières 1
Introduction 4
1 Le langage du calcul propositionnel 8
1.1 Introduction .................................... 8
1.2 Définition ..................................... 9
1.3 Le langage propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 La syntaxe du langage propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Priorité des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Sémantique d’un langage propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Satisfiabilité................................ 13
1.4.2 Satisfiabilité d’un ensemble de formules . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Tautologie................................. 13
1.4.4 Conséquence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Théorème de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6 Théorème de remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Système complet de connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Formenormale .................................. 16
1.6.1 Obtention de Forme normale disjonctive (FND) . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Forme normale conjonctive (FNC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Conclusion..................................... 17
1.8 Exercices ...................................... 18
2 Théorie de la démonstration pour le calcul propositionnel 21
2.1 Introduction .................................... 21
2.2 Listedesaxiomes ................................. 22
2

3
2.3 Les règles ou schémas de déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Règle de détachement (ou Modus Ponens) . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Règle de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 RègleS................................... 24
2.3.4 RèglesI................................... 24
2.3.5 RèglesII .................................. 25
2.3.6 RèglesIII.................................. 25
2.3.7 RèglesIV.................................. 25
2.3.8 RèglesV .................................. 26
2.4 Listedesthéorèmes................................ 27
2.5 Exercices ...................................... 28
2.6 Corrigésdesexercices .............................. 29
3 Le langage du calcul des prédicats du premier ordre 35
3.1 Introduction .................................... 35
3.2 Définitions..................................... 36
3.3 Le langage des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Alphabet.................................. 36
3.3.2 Les expressions du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3 Priorité des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.4 Champ d’un quantificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.5 Variable libre et variable liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.6 Formule close (fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Sémantique de la logique des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Interprétation............................... 38
3.4.2 Valuation ................................. 39
3.4.3 Interprétation d’un terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.4 Interprétation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.5 Satisfiablité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.6 Modèle d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.7 Formulevalide .............................. 41
3.4.8 Satisfiabilité d’un ensemble de formules . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.9 Modèle d’un ensemble de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.10 Conséquence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Table des matières 4
3.4.11 Renommage................................ 42
3.5 Normalisation................................... 43
3.5.1 Formeprénexe .............................. 43
3.5.2 Forme de Skolem (Skolemisation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.3 Formeclausale .............................. 45
3.6 Complétude et décidabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Conclusion..................................... 46
3.8 Exercices ...................................... 47
3.9 Corrigésdesexercices .............................. 49
4 Le calcul des séquents 54
4.1 Introduction .................................... 54
4.2 Exercices ...................................... 58