Logique

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TD n˚8 : Calcul des séquents classique et intuitionniste & élimination des
coupures
Exercice 1 :
Donnez des preuves en calcul des séquents classique des formules suivantes :
•((A⇒B)⇒A)⇒A
•(A⇒(B⇒C)) ⇒((A⇒B)⇒(A⇒C))
• ¬(A∨B)⇔ ¬A∧ ¬B
• ¬∀x. R(x)⇒ ∃x. R(x)
• ∀x. (Q∨R(x)) ⇒(Q∨ ∀x. R(x))
Exercice 2 :
Eliminez les coupures des preuves obtenues à la question 1 de l’exercice 3 du TD précédant.
Exercice 3 :
1) Donnez une preuve avec coupure de ∃x. (R(a)∨R(b)⇒R(x)).
2) Eliminez les coupures de cette preuve.
Exercice 4 :
Donnez une preuve sans coupure de ∃x. (P(x)⇒ ∀z. P (z)).
Exercice 5 :
Si Aest une formule, on note L(A)l’ensemble des variables libres et des symboles de fonction
et de prédicat apparaissants dans A. Par extension, si Γest un multiensemble de formules,
on note L(Γ) = S
A∈Γ
L(A). Nous voulons ici montrer que si L(Γ1∪Γ2∪∆1∪∆2)ne contient
pas de symbole de fonction et si Γ1,Γ2`∆1,∆2est prouvable, alors il existe une formule F
telle que :
–Γ1`F, ∆1et Γ2, F `∆2sont prouvables ;
–L(F)⊆L(Γ1∪∆1)∩L(Γ2∪∆2)
1) Que pouvez-vous dire du cas de la coupure ?
2) Prouvez ce résultat. Vous regarderez en particulier les cas suivants : ax ; ⇒d;⇒g;∀g.
3) Déduisez le théorème d’interpolation : si Aet Bsont des formules sans symbole de fonction
et si A⇒Best prouvable alors il existe une formule Ftelle que :
–A⇒Fet F⇒Bsont prouvables ;
–L(F)⊆L(A)∩L(B).
4**) En réalité, le théorème d’interpolation est aussi vrai lorsque Aet Bont des symboles
de fonctions. Voyez-vous un moyen de vous ramener au cas précédent ?
5) Soient Pet P0deux symboles de prédicat unaire. Soit Γ(P)un ensemble de formules closes
ne contenant pas le symbole P0. On note Γ(P0)l’ensemble de formules obtenu en rempla-
çant dans Γ(P)le symbole Ppar P0. On dit que l’ensemble Γ(P)définit explicitement P

s’il existe une formule A(x)n’utilisant ni P, ni P0telle que Γ(P)` ∀x. (A(x)⇔P(x)) est
prouvable. On dit que Γ(P)définit implicitement Psi Γ(P),Γ(P0)` ∀x. (P(x)⇔P0(x)).
Montrez le théorème de Beth : Γ(P)définit explicitement Pssi Γ(P)définit implicitement
P.
Exercice 6 :
Donnez des preuves en calcul des séquents intuitionniste des formules suivantes :
• ¬(A∨B)⇔(¬A∧ ¬B)
•A⇒ ¬¬A
• ¬¬¬A⇒ ¬A
• ¬¬(A∨ ¬A)
Exercice 7 :
Prouvez que ces formules ne sont pas prouvables en logique intuitionniste sans utiliser la
sémantique :
•X∨ ¬X
•(X⇒Y)∨(Y∨X)
•(¬X⇒Y)⇒(X∨Y)
• ∃x. ∀y. P (x)⇒P(y)
• ¬∀x. R(x)⇒ ∃x. ¬R(x)