Logique

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TD n˚8 : Calcul des séquents classique et intuitionniste & élimination des
coupures
Exercice 1 :
Donnez des preuves en calcul des séquents classique des formules suivantes :
• ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A
• (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))
• ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
• ¬∀x. R(x) ⇒ ∃x. R(x)
• ∀x. (Q ∨ R(x)) ⇒ (Q ∨ ∀x. R(x))
Exercice 2 :
Eliminez les coupures des preuves obtenues à la question 1 de l’exercice 3 du TD précédant.
Exercice 3 :
1) Donnez une preuve avec coupure de ∃x. (R(a) ∨ R(b) ⇒ R(x)).
2) Eliminez les coupures de cette preuve.
Exercice 4 :
Donnez une preuve sans coupure de ∃x. (P (x) ⇒ ∀z. P (z)).
Exercice 5 :
Si A est une formule, on note L(A) l’ensemble des variables libres et des symboles de fonction
et de prédicat apparaissants
dans A. Par extension, si Γ est un multiensemble de formules,
S
L(A). Nous voulons ici montrer que si L(Γ1 ∪ Γ2 ∪ ∆1 ∪ ∆2 ) ne contient
on note L(Γ) =
A∈Γ
pas de symbole de fonction et si Γ1 , Γ2 ` ∆1 , ∆2 est prouvable, alors il existe une formule F
telle que :
– Γ1 ` F, ∆1 et Γ2 , F ` ∆2 sont prouvables ;
– L(F ) ⊆ L(Γ1 ∪ ∆1 ) ∩ L(Γ2 ∪ ∆2 )
1) Que pouvez-vous dire du cas de la coupure ?
2) Prouvez ce résultat. Vous regarderez en particulier les cas suivants : ax ; ⇒d ; ⇒g ; ∀g .
3) Déduisez le théorème d’interpolation : si A et B sont des formules sans symbole de fonction
et si A ⇒ B est prouvable alors il existe une formule F telle que :
– A ⇒ F et F ⇒ B sont prouvables ;
– L(F ) ⊆ L(A) ∩ L(B).
4**) En réalité, le théorème d’interpolation est aussi vrai lorsque A et B ont des symboles
de fonctions. Voyez-vous un moyen de vous ramener au cas précédent ?
5) Soient P et P 0 deux symboles de prédicat unaire. Soit Γ(P ) un ensemble de formules closes
ne contenant pas le symbole P 0 . On note Γ(P 0 ) l’ensemble de formules obtenu en remplaçant dans Γ(P ) le symbole P par P 0 . On dit que l’ensemble Γ(P ) définit explicitement P
s’il existe une formule A(x) n’utilisant ni P , ni P 0 telle que Γ(P ) ` ∀x. (A(x) ⇔ P (x)) est
prouvable. On dit que Γ(P ) définit implicitement P si Γ(P ), Γ(P 0 ) ` ∀x. (P (x) ⇔ P 0 (x)).
Montrez le théorème de Beth : Γ(P ) définit explicitement P ssi Γ(P ) définit implicitement
P.
Exercice 6 :
Donnez des preuves en calcul des séquents intuitionniste des formules suivantes :
• ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)
• A ⇒ ¬¬A
• ¬¬¬A ⇒ ¬A
• ¬¬(A ∨ ¬A)
Exercice 7 :
Prouvez que ces formules ne sont pas prouvables en logique intuitionniste sans utiliser la
sémantique :
• X ∨ ¬X
• (X ⇒ Y ) ∨ (Y ∨ X)
• (¬X ⇒ Y ) ⇒ (X ∨ Y )
• ∃x. ∀y. P (x) ⇒ P (y)
• ¬∀x. R(x) ⇒ ∃x. ¬R(x)